四点共圆的几种常用判定方法_欧阳晓善

四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角

与角之间的等量转换外，

还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。

一、直接找出一点到所证四点的距离相等

例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、

BD 相交于点O ，四条边AB 、

BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。求证：E 、

F 、

G 、

H 四点共圆。分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可

知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。

图1

证明：连接OE 、

OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，

ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。

又ȵ在Rt △AOB 、

Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、

CD 、DA 的中点，

ʑOE =

12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，

OH =12AD 。又ȵAB =BC =CD =DA （已证），

ʑOE =OF =OG =OH 。

ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。

二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角

例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过

点A 和点B 的圆与AD 、

BC 分别交于E 、F 点。求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。

分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四

边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可

。

图2证明：连接EF ，

ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，

ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。

又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，

ʑ∠A +∠D =180ʎ。

ʑ∠BFE =∠D 。

ʑC 、D 、E 、F 四点共圆。

三、利用相交弦定理以及切割线定理的逆定理证明四点共圆

例3（第19届美国数学奥林匹克试题）如图3所示，给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC'及其延长

线交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高BB'及其延长线交于点P 、

Q 。

求证：M 、

N 、P 、Q 四点共圆。分析：由于所证四点M 、

N 、P 、Q 刚好是相交线段MN 与PQ 的端点，不妨设交点为K ，此时只需证明MK ·KN =PK ·KQ 成立即可。又因为两圆相交，自然想到过A 点作两圆的

公共弦。由于点K 是重心，AB 是圆的直径，所以公共弦经过

K 点且与BC 的垂足为两圆的另一交点。利用两圆中的相交弦定理即可证。

证明：连接AK 并延长与BC 相交于E ，

ȵK 为△ABC 高线的交点，

ʑAK ⊥BC ，垂足为E 。

ʑ∠AEB =90ʎ。

又ȵAB 为圆的直径，不妨设两圆另一交点为E'ʑ∠AE'B =90ʎ。

ʑ点E 与点E'重合，即点E 为两圆的交点

。

图3在以AB 为直径的圆中，有：

KA ·KE =KN ·KM 。

在以AC 为直径的圆中，有：

KA ·KN =KP ·KQ 。

ʑKN ·KM =KP ·KQ 。

ʑM 、N 、P 、Q 四点共圆。

四、证明线段同侧的两点对线段

的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆

例4（第27届莫斯科数学奥林匹克试题）如图4所示，

A 、

B 、

C 三点共线，点O 在A 、

B 、

C 所在直线外，O 1、O 2、O 3分别为△OAB 、△OBC 、△OCA 的外心。

求证：O、O1、O2、O3四点共圆。

分析：欲证点O、点O1、点O2、点O3四点共圆，可将这四点连结成四边形OO1O3O2，然后证明线段OO1同侧的张角∠OO2O1=OO3O1即可。

证明：分别连接OO1、OO2、OO3、O1O2、O1O3、O2O3、AO3、BO

2

，

ȵO

1、O

2

分别为△OAB、△OBC的外心，

ʑOB是⊙O

1

和⊙O2的公共弦，O1O2是⊙O1和⊙O2的圆心距。

ʑO

1O

2

垂直且平分OB

。

图4

在△OBC的外接圆⊙O2中，有：

∠OO2O1=1

2

∠OO2B=∠OCB。

同理可得：∠OO3O1=1

2

∠OO3A

=∠OCA。

ʑ∠OO

2O

1

=∠OO

3

1

。

ʑO、O

1、O

2

、O

3

四点共圆。

五、要证五点共圆时，可证明其中两组四点共圆

例5如图5所示，四边形ABCD是圆的内接正方形，对角线AC、BD相交于O点，E、F是劣弧AB、BC的中点，弦DE 分别交AB、AC于点P和点Q，弦DF分别交BC、AC于点S和点R。求证B、P、Q、R、S五点共圆。

分析：由于点P与点S，点Q与点R关于BD对称，所以只要证明B、P、Q、R四点共圆即可。从而只需证∠AQP=