初中数学竞赛试题汇编

（第2题图）

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120 分钟）

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．

1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）

A ．41

B ．31

C ．2

1 D ．1

2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN

于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ）

A ．38

B ．39

C ．40 D. 41

3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x

的值等于（ ）

A ．

95 B ．59 C ．52011- D ．9

2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边

为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6

B. 7 C ．8

D ．9

5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2

)2(2b

a cx x b

a y ----=在1=x 时取最小值

b 5

8-，则△ABC 是（ ）

A ．等腰三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

6照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数

据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5

个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）

A ．5种

B ．6种

C ．10种

D ．12种

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .

8．（人教版考生做）如图A ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．

8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则

FG

AF

= ． （1） （c 2）

（第6题图）

9．已知012

=--a a ，且32

22322324-=-++-a

xa a xa a ，则=x ．

10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．

11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为

12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，

y

x

四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）

已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式．求证： c b a ==．

14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最

大值？

（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的

3

1

？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=.（1）证明：抛

物线q px x y ++=2通过定点；

（备用图）

(第14题图)

(第11题图)

A

B

C

D

（第8题图A ）

G

F

E

C

B

A

（第8题图B ）

D

O

（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.

2013年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分

1. 用圆珠笔或钢笔作答；

2. 2.解答书写时不要超过装订线；

3. 3草稿纸不上交。

一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1.设非零实数a 、b 、c 满足⎩

⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，则2

22c b a ca

bc ab ++++的值为（ ） (A) -

21 ( B) 0 (C) 2

1

(D) 1 2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 中，以

211x ，22

1

x 为两个实根的是（ ） (A) 0)2(2

2

2

2

=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2

2

2

2

=+--a x ac b x c

(C)0)2(2

2

2

2

=--+a x ac b x c (D) 0)2(2

2

2

2

=+--a x ac b x c

3，如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB,

垂足为D ，DE ⊥OC,垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD 、OE 、DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）

(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC

4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 上，且BC=4AF ，DCFE 是平行四边形，则图阴影部分(△BDE+△ADE)的面积为（ ）。

(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8

5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为