正态性检验的一般方法汇总

正态性检验的一般方法

姓名：蓝何忠

学号：1101200203 班号：1012201

正态性检验的一般方法

【摘要】：正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的一种分布因此,人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立,牵涉到正态性检验.在一般性的概率统计教科书中，只是把这个问题放在一般性的分布拟合下作简短处理，而这种"万精油"式的检验方法,对正态性检验不

具有特效.鉴于此,该文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，

【引言】一般实际获得的数据，其分布往往未知。在数据分析中，经常要判断一组数据的分布是否来自某一特定的分布，比如对于连续性

分布，常判断数据是否来自正态分布，而对于离散分布来说，常判断是否来自二项分布.泊松分布，或判断实际观测与期望数是否一致，然后才运用相应的统计方法进行分析。

几种正态性检验方法的比较。

一、2拟合优度检验：

（1）当总体分布未知，由样本检验总体分布是否与某一理论分布一致。

H0:总体X的分布列为p{X= }= ,i=1,2,……

H1:总体X的分布不为”\

—厲一昭）2

I np i

4=1

其中j 为样本中£发生的实际频数，聊为HO 为真时£发生的理 论频数。

（2）检验原理

若沪二。,则fj =n*意味着对于片，观测频数与期望频数完全一致， 即完全拟合。

观察频数与期望频数越接近，则2值越小。

当原假设为真时，有大数定理，4与》不应有较大差异，即 彳值 应较小。

若2值过大，则怀疑原假设。

拒绝域为R={ 2 d}，判断统计量是否落入拒绝域，得出结论。

二、Kolmogorov-Smirnov 正态性检验：

Kolmogorov-Smirnov 检验法是检验单一样本是否来自某一特定 分布。比如检验一组数据是否为正态分布。

它的检验方法是以样本数

Z

构造统计量

t=l

据的累积频数分布与特定理论分布比较， 若两者间的差距很小，则推 论该样本取自某特定分布族。即对于假设检验问题：

H0:样本所来自的总体分布服从某特定分布

H1:样本所来自的总体分布不服从某特定分布

统计原理：Fo ( x )表示分布的分布函数，Fn (x )表示一组随机 样本的累计概率函数。

设D 为Fo(x)与Fn (x )差距的最大值，定义如下式

D=max|F n(x)-Fo(x)|

对于给定的a ， P{Dn>d}二a.

例如：35位健康男性在未进食前的血糖浓度如表所示，试测验这组 数据是否来自均值a =80,标准差(T =6的正态分布 87 77 92 68 80 78 84 77 81 80 80 77 92 86 76 80 81 75 77 72 81 90 84 86 80 68 77 87 76 77 78 92 75 80 78 n=35

检验过程如下：

假设H0:健康成人男性血糖浓度服从正态分布

F n (X)

#{x 岂 x,i =12川,n}

n

计算过程如表:

浓度⑶

(f)

累计次

Fn(x)-F a

标准化值

理陀甘

布

D

0.0571 -2-0C 0.022£ 0.02

-4

r

4 0.1 i4S -1J33 0.4»34 91

75

fi 0 1714 -Q.S3 02033 0.02

r Ar $ 0.2286 -0.6 ? 0.2514 09

77

6 14 0.4(X)0

4150 0.308? 0.03

5 17 0.4®5?

-0.J3 0.3707 旧

帥

6 23 0.«71 0 0.5000 0.02 £1 r 26 07429 0.1

7 0iMT5 28

64 r Ar 2S

0.80Q0 0 67 0J4SS 0.09

丽 1 弭

C.S571 too 0.341 j 15

87

£ 32

09143 1.17 D.S79D

on 贮

5

1.0M0

2.00

50

0.15 71

o.r 54

0.05 14

o.oi 55

0.03 53

0.02

结论：上表中的理论值/(x)是根据标准化值z 查表得到，实际上

查D 值表，故不能拒绝HO 即健康成年男人血糖浓度服从正态分布， 当样本容量n 大时可以用 D a, n=1.36/求得结果，如上述 D0.55, 35=1.36/=0.2299=0.23

结论：当实际观测D>Dn 则接受H1,反之则不拒绝H0假设。

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拟合优度检验与K-S 正态检验的比较：

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拟合优度检验与 K-S 正态检验都采用实际频数与期望频数进

行检验。它们之间最大的不同在于前者主要用于类别数据，

而后者主

D=max |Fn (x)-

0.23

要用于有计量单位的连续和定量数据，拟合优度检验虽然也可以用于定量数据，但必须先将数据分组得到实际观测频数，并要求多变量之

间独立，而K-S正态检验法可以不分组直接把原始数据的n个观测值

进行检验，所以它对数据的利用较完整。

三、Lilliefor 正态分布检验

该检验是对Kolmogorov-Smirnov检验的修正，当总体均值和方

差未知时，Lilliefor 提出用样本均值和标准差代替总体的期望和标准差，然后使用Kolmogorov-Smirnov正态性检验法，它定义了一个D统计量；

D=max Fn （x）- Fo（x）|参数未知，由直二監孑二F计算得

到统计量，查表得Lilliefor 检验的临界值，确定拒绝域，得出结论。

四、偏度峰度检验法：

（一）偏度检验：

设随机变量X具有数学期望卩i £和方差:•产勺；”，「为X的偏度，所谓偏度检验就是检验如下假设：

=0亂奏竝

注意到，拒绝原假设F ,则可以认为样本不是来自正态总体。接受原