如何求球体的体积和表面积PPT课件
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1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
.
6
A
O
O
n 等分O A n 切割半球为 层
每层近似于“薄圆片”
每个“薄圆片”近似于薄圆柱
（取其底面为“薄圆片”的下底面）
i 计算第 层“薄圆片“的体积 由勾股定理 ri R2 R ni 1 2,
积是___9 ____。
2
2.一个球的表面积是100 , 那么它的体积是__5 _0 _0 _。
3
3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是__3 _6__.
.
17
1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。
2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算体积变为原来的几倍？
i
三个近似
S i
s i
Rh i
当“小锥体”的底面非常小时，V v
i
i
已知棱锥的体积公式为
1
v h s ,
3 i
ii
用近似量代换得
1
V RS ,
i3
i
.
S i
O
O
R
s i v i
h i
11
球体积为
V 1 RS ,
i3
i
V V V V ,
1
2
i
O
11
1
V SR SR SR .
31 32
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
.
3
教学重难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想方
.
4
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
3i
1RSS S O
31
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
.
12
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
从而
V 4 R3
3
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理 半径是 R 的球的表面积是
S 4R2
.
O
O O
13
例1 有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等
于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就. 近似于等R2 .
5
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
V半球
2 R3
3
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
.
9
思考：我们能用同样的方法推导球
的表面积公式吗？
S i
o
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用S,S, ,S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
为顶点的“小锥体”
为第 i 个小锥体，则球表面积为
S S S S,
1
2
3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里 所装的水深度为8cm，将一个钢球完全 浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm， 求钢球的半径。
P74 习题9.11 5.6.7
.
18
分割
近似
求和
逼近
.
V 4 R3
3
S 4R2 19
设空心球的内径为2x cm,那么钢球的质量是
7.94352334x3142,
x3
523
1423 11.3. 7.943.14
得 x 2.24, 直径 2x4.5cm.
答：
空心钢球的内径约为 .
4.5cm.
14
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
R3 1222 n12
R
n n
n2
n
R3 1n1n2n1
n nn2
6
R3
n12n1
1
6n2
第i 层
.
ri
8
V半球
R3
1
1
1 n
6
2
1 n
.
①
随着 n
1 的增大，n
越来越小
当
n1000时，
1 n
1 1000
当
n10000时，
1 n
100100
当 n 时，1n 0
由①式得
V球 ＝4323＝332cm A
S球 ＝ 42216cm
.
C′
o
15
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
为6370km，火星的直径约为地球的一半。
(1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
解：
S地球=4R2=4 x 637025.10x18(0km2)
V 地球
=
4 3
R3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3 .
=
R地3
=8
16
1.一个球的直径为3cm，则
它的表面积是___9 ____，体
i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是
半球的体积V 是ir i2R n n R 3 1 i n 1 2 , i 1 ,2 ,3 , ,n .
V 半 球V 1V 2
V n
n R 3 1 1 1 n 2 2 1 n 2 2 2 1 n n 2 1 2
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
.
1
教学目标
重点难点 球的体积 球表面积
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课后作业
.
2
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
.
6
A
O
O
n 等分O A n 切割半球为 层
每层近似于“薄圆片”
每个“薄圆片”近似于薄圆柱
（取其底面为“薄圆片”的下底面）
i 计算第 层“薄圆片“的体积 由勾股定理 ri R2 R ni 1 2,
积是___9 ____。
2
2.一个球的表面积是100 , 那么它的体积是__5 _0 _0 _。
3
3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是__3 _6__.
.
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1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。
2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算体积变为原来的几倍？
i
三个近似
S i
s i
Rh i
当“小锥体”的底面非常小时，V v
i
i
已知棱锥的体积公式为
1
v h s ,
3 i
ii
用近似量代换得
1
V RS ,
i3
i
.
S i
O
O
R
s i v i
h i
11
球体积为
V 1 RS ,
i3
i
V V V V ,
1
2
i
O
11
1
V SR SR SR .
31 32
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
.
3
教学重难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想方
.
4
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
3i
1RSS S O
31
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
.
12
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
从而
V 4 R3
3
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理 半径是 R 的球的表面积是
S 4R2
.
O
O O
13
例1 有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等
于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就. 近似于等R2 .
5
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
V半球
2 R3
3
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
.
9
思考：我们能用同样的方法推导球
的表面积公式吗？
S i
o
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用S,S, ,S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
为顶点的“小锥体”
为第 i 个小锥体，则球表面积为
S S S S,
1
2
3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里 所装的水深度为8cm，将一个钢球完全 浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm， 求钢球的半径。
P74 习题9.11 5.6.7
.
18
分割
近似
求和
逼近
.
V 4 R3
3
S 4R2 19
设空心球的内径为2x cm,那么钢球的质量是
7.94352334x3142,
x3
523
1423 11.3. 7.943.14
得 x 2.24, 直径 2x4.5cm.
答：
空心钢球的内径约为 .
4.5cm.
14
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
R3 1222 n12
R
n n
n2
n
R3 1n1n2n1
n nn2
6
R3
n12n1
1
6n2
第i 层
.
ri
8
V半球
R3
1
1
1 n
6
2
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.
①
随着 n
1 的增大，n
越来越小
当
n1000时，
1 n
1 1000
当
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1 n
100100
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由①式得