九年级数学圆中的证明与计算(二)

1、如图，AB 是⊙O 的直径，D 为弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，AC 、BD 交于点G 。 （1）求证：①AC ＝2DE ； ②OF ∥BD ； （2）若AB ＝10，AC ＝8，求AF 的长。

1、证明切线的方法有哪些

2、切线的有关常见题型

【例题精讲一】切线的性质

例1. 1、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为弧AD 上一点，BF 交CD 于G ，FH 切⊙O 于点F ，交CD 的延长线于H ，

（1）求证：FH ＝GH ； （2）若AB ＝2FH ，GF ＝32，求AG 的长。

证明：(1) 连接OF ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF ⊥FH 即∠OFB ＋∠HFG ＝90°

∵OB ＝OF ∴∠OFB ＝∠OBF ∵AB ⊥CD ∴∠OBF ＋∠BGE ＝90° ∴∠BGE ＋∠DFG ＝DGF ∴FH ＝GH

(2) 连接OA 、OF ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB ＝90° ∴∠OFA ＋∠OFB ＝90° 又∠OFB ＋∠HFG ＝90° ∴∠OFA ＝∠HFG ∵AB ＝2FH ∴OA ＝FH

∴△OAF ≌△HGF （AAS ） ∴AF ＝GF ＝32 ∴AG ＝62

2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ；

（2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为

2

5

，CD ＝4，求EF 的长。

3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。

（1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°；

（2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。

【课堂练习】

1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点O，与AC、AB分别相交于点E、F。

（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于C，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。

（1）求证：BE=BF；（2）若⊙O的半径为R，AG=R+1，CE=R-1，求弦AG的长

3、如图，AB为⊙O的直径，CD为的弦，且AB⊥CD于点E，F为劣弧AD上一点，BF交CD于点G，过点F作的切线，交CD的延长线于H。

（1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH＝10，GF＝25，求AG的长。

【例题精讲二】切线的判定

例2.1、如图，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C。

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝2，CE＝4，求AB的长。

2、如图1 ，⊙O 的半径25

3

r =

，弦AB 、CD 相交于点E ，C 为AB 的中点 ，过D 点的直线交AB 的延长线于F ，且DF ＝ EF 。 （1）试判断DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接AC ，若AC ∥DF ，BE 3

5

AE =

，求CE 的长。

3、如图，点O 是∠APB 角平分线CP 上一点，⊙O 与PA 相切于点E 。 （1）如图1，求证：PB 是⊙O 的切线；

（2）如图2， 若⊙O 的半径为1，∠APB ＝60°，点D 为⊙O 上一点，且∠PDE ＝90°，求DE 的长。

图2

图1

O

F

D

B

E

C

A

D

F

B

C

E O

A

知识点三 【例题精讲】

一、圆与最值问题

1．(元调)如图，在⊙O 中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC 的底边BC 所在直线经过点D ，若⊙O 的半径等于1，则OC 的长不可能为( )A A ．2－3 B ．3－1 C ．2 D ．3＋1

2．如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以42为半径，过B 、C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值为__________．27222++

3．如图，弓形ABC 中，∠BAC ＝60°，BC ＝23，若点P 在优弧BAC 上由点B 向点C 移动，记△PBC 的内心为I ，点I 随点P 的移动所经过的路程为m ，则m 的取值范围为

______________．4

03

m π<<

4．如图△ABC 中，∠ACB ＝45°，AB ＝ 42，以AB 为直径作⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E ，则CE 的长( ) B

A ．不变为4

B ．有最大值为42

C ．有最小值为4

D ．

E 为BC 的中点

D

C

B A

O

1、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF 、DC 。已

知OA ＝OB ，CA ＝CB ，DE ＝10，DF ＝6。

（1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC ＝∠EDC ； （2）求CD 的长。

2、如图，点O 是四边形AEBC 外接圆的圆心，点O 在AB 上，点P 在BA 的延长线上，且∠PEA ＝∠ADE ，CD ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点D 。

（1）求证：PE 是⊙O 的切线； （2）若D 为劣弧 BE 的中点，且AH ＝16，BH ＝9，求EG 的长。

E D A

O

B

C