函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质

主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]：

【教材与学情分析】

学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。

1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。

第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

【教学目标】

1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】

教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

○

1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x

○

1

从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1

○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．

3．f(x) = x 2 ○

1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：

○

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2；当x1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

（二）典型例题

例1．（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：课本P32练习第3题

例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：

○1课本P32练习第4题；

○2证明函数

1

y x

x

在（1，+∞）上为增函数．

思考：画出反比例函数

1

y

x

的图象．

○1这个函数的定义域是什么？

○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

四、作业布置

课本P39习题1．3（A组）第1、2题．

五、教学反思：利用定义证明函数的单调性的变形过程是难点。

第2课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

【教学目标】

1．理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

【教学重难点】

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

【教学过程】 一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○

1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○

2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）()23f x x

（2）()23f x x [1,2]x

（3）2

()

21f x x x

（4）2

()

21f x x x

[0,2]x

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动） 注意：

○

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例2．（新题讲解）

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