微分方程模型之人口增长模型
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传染病模型学习小结
一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型)
3 SIS模型
4 SIR模型 二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型
关于经济的正面或负面影响地分析
——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容.
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r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
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阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
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退 出
日期 练习：2006年1 月至2007年4月 上证指数历史 数据如下。建 立指数增长模 型和logistic 模型；进行模 型验证；并分 别进行为期2个 月的预测。男 生用开盘价做， 女生用收盘价 做。
开盘
收盘
交易量 451,695,086 466,549,964 502,812,897 825,969,500
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
r
( r , t ) (r )
1,156,306,218
985,911,905 837,135,633 631,743,902 782,391,998 802,099,313 1,193,314,480
20061229 2,106.30 2,675.47
20070131 2,728.19 2,786.34 20070228 2,744.81 2,881.07
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
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模型检验
指数增长模型 xk x0 (1 r ) k dx rx , x (0) x0 dt 阻滞增长模型(Logistic模型)
dx x r ( x ) x rx(1 ) dt xm
x (t )
x(t ) x0 e
20060125 1,163.88 1,258.05 20060228 1,263.00 1,299.03 20060331 1,299.15 1,298.30 20060428 1,298.68 1,440.22
20060531 1,446.99 1,641.30
20060630 1,639.67 1,672.21 20060731 1,677.31 1,612.73 20060831 1,619.63 1,658.64 20060929 1,658.66 1,752.42 20061031 1,768.14 1,837.99 20061130 1,838.68 2,099.29
xm
rt
百度文库
xm rt 1 ( 1)e x0
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 x(1990 x x(1990 rx(1990 1 x(1990 / xm ] ) ) ) )[ )
x(2000 274.5 )
实际为281.4 (百万)
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rm
f (t )
t
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退 出
生育率的分解
k (r , t ) ~ (女性)性别比函数 b(r , t ) ~ (女性)生育数 [r1 , r2 ] ~ 育龄区间
f (t ) r b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
h(r, t ) h(r )
b(r , t ) (t )h(r , t )
人口 发展 方程
F (r , t ) ~ 人口分布函数(年龄 r的人口）
p(r , t ) ~ 人口密度函数 N (t ) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t )
F p( r , t ) r
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退 出
微分方程模型之如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
1,523,273,039
114,021,217 857,208,999
20070330 2,877.20 3,183.98
20070416 3,196.59 3,596.44
647,300,270
110,402,529
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阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
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常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) r x(t ) t
dx rx , x (0) x0 dt
x(t ) x0 e
r t
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
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t
退 出
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
[ p(r dr1 , t dt) p(r , t dt)] [ p(r , t dt) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt, dt dr1
一阶偏微分方程
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p p ( r , t ) p( r , t ) r t
p0 (r )
p(r, t )
• 正反馈系统 • 滞后作用很大
f (t )
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
(t )
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人口指数
1）人口总数
N (t ) 0 p(r , t )dr
rm
m
r 1 2）平均年龄 R (t ) 0 rp (r , t )dr N (t )
3）平均寿命
S (t )
e
t
0 ( r ,t ) dr
t
d
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数
控制生育率
(t ) R(t ) / S (t )
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
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本节学习要求
1 熟练掌握指数增长和logistic模型的构建 2 掌握指数增长和logistic模型参数的确定方法 3 掌握指数增长和logistic模型参数的验证方法
h(r , t )dr 1
r2 r 1
0
r1
r2
r
h~生育模式
(t ) r b(r , t )dr
r2
1
~总和生育率
f (t ) (t ) r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
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退 出
人口发展方程和生育率
f (t ) (t )r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
(t ) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) f (t r )e ( s ) ds , t r
r r t r 0
r
tr
p0 (r )
0
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) ( s ) ds f (t r )e , tr
r t r 0
tr tr
F (r , t ) 0 p( s, t )ds
r
N (t ) 0 p( s, t )ds
模型应用——预报美国2010年的人口
加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
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退 出
5.6 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性
• 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
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阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
人口发展方程
t , 年龄[ r, r dr]人数
(r , t ) ~ 死亡率
(t , t dt )内
t dt, 年龄[r dr , 1 r dr dr]人数 1
dt dr1 死亡人数
p(r , t )dr p(r dr , t dt)dr (r, t ) p(r, t )drdt 1
一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型)
3 SIS模型
4 SIR模型 二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型
关于经济的正面或负面影响地分析
——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容.
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r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
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阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
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退 出
日期 练习：2006年1 月至2007年4月 上证指数历史 数据如下。建 立指数增长模 型和logistic 模型；进行模 型验证；并分 别进行为期2个 月的预测。男 生用开盘价做， 女生用收盘价 做。
开盘
收盘
交易量 451,695,086 466,549,964 502,812,897 825,969,500
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
r
( r , t ) (r )
1,156,306,218
985,911,905 837,135,633 631,743,902 782,391,998 802,099,313 1,193,314,480
20061229 2,106.30 2,675.47
20070131 2,728.19 2,786.34 20070228 2,744.81 2,881.07
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
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模型检验
指数增长模型 xk x0 (1 r ) k dx rx , x (0) x0 dt 阻滞增长模型(Logistic模型)
dx x r ( x ) x rx(1 ) dt xm
x (t )
x(t ) x0 e
20060125 1,163.88 1,258.05 20060228 1,263.00 1,299.03 20060331 1,299.15 1,298.30 20060428 1,298.68 1,440.22
20060531 1,446.99 1,641.30
20060630 1,639.67 1,672.21 20060731 1,677.31 1,612.73 20060831 1,619.63 1,658.64 20060929 1,658.66 1,752.42 20061031 1,768.14 1,837.99 20061130 1,838.68 2,099.29
xm
rt
百度文库
xm rt 1 ( 1)e x0
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 x(1990 x x(1990 rx(1990 1 x(1990 / xm ] ) ) ) )[ )
x(2000 274.5 )
实际为281.4 (百万)
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rm
f (t )
t
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生育率的分解
k (r , t ) ~ (女性)性别比函数 b(r , t ) ~ (女性)生育数 [r1 , r2 ] ~ 育龄区间
f (t ) r b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
h(r, t ) h(r )
b(r , t ) (t )h(r , t )
人口 发展 方程
F (r , t ) ~ 人口分布函数(年龄 r的人口）
p(r , t ) ~ 人口密度函数 N (t ) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t )
F p( r , t ) r
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微分方程模型之如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
1,523,273,039
114,021,217 857,208,999
20070330 2,877.20 3,183.98
20070416 3,196.59 3,596.44
647,300,270
110,402,529
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阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
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常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) r x(t ) t
dx rx , x (0) x0 dt
x(t ) x0 e
r t
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
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t
退 出
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
[ p(r dr1 , t dt) p(r , t dt)] [ p(r , t dt) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt, dt dr1
一阶偏微分方程
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p p ( r , t ) p( r , t ) r t
p0 (r )
p(r, t )
• 正反馈系统 • 滞后作用很大
f (t )
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
(t )
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人口指数
1）人口总数
N (t ) 0 p(r , t )dr
rm
m
r 1 2）平均年龄 R (t ) 0 rp (r , t )dr N (t )
3）平均寿命
S (t )
e
t
0 ( r ,t ) dr
t
d
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数
控制生育率
(t ) R(t ) / S (t )
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
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本节学习要求
1 熟练掌握指数增长和logistic模型的构建 2 掌握指数增长和logistic模型参数的确定方法 3 掌握指数增长和logistic模型参数的验证方法
h(r , t )dr 1
r2 r 1
0
r1
r2
r
h~生育模式
(t ) r b(r , t )dr
r2
1
~总和生育率
f (t ) (t ) r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
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人口发展方程和生育率
f (t ) (t )r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
(t ) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) f (t r )e ( s ) ds , t r
r r t r 0
r
tr
p0 (r )
0
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) ( s ) ds f (t r )e , tr
r t r 0
tr tr
F (r , t ) 0 p( s, t )ds
r
N (t ) 0 p( s, t )ds
模型应用——预报美国2010年的人口
加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
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5.6 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性
• 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
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阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
人口发展方程
t , 年龄[ r, r dr]人数
(r , t ) ~ 死亡率
(t , t dt )内
t dt, 年龄[r dr , 1 r dr dr]人数 1
dt dr1 死亡人数
p(r , t )dr p(r dr , t dt)dr (r, t ) p(r, t )drdt 1