《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
《高等数学》课件第6章 常微分方程
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
第六章常微分方程
第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。
定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。
高数第6章 常微分方程
二、微分方程的定义
含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程. 如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方 程称为常微分方程；如果未知函数中含有两个或两个以上 自变量，则此微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微 分方程，简称微分方程.
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为 微 分 方 程 的 阶 . 例 如 ， ysin x xy 是 一 阶 微 分 方 程 ； xy cos x ey 是二阶微分方程； ysin x yex 1 是三阶微分 方程.
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立 的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称为微 分方程的通解.在通解中，若使任意常数取某一定值， 或由附加条件求出任意常数的值后得到的微分方程的 解称为特解.用来确定通解中任意常数的附加条件，称 为初始条件.
例如，引例 1 中，y x2 C 是y 2x 的通解，过点 （1，3）是初始条件， y x 2 是特解；引例 2 中， S (t) 2t2 C1t C2 是 S(t) 4 的通解，S (0) 0, S(0) 5 是初
两边积分，得 ln y ln x C1
化简得 y eC1 x ， 即 y eC1 x 令 C eC1 ， 则 y Cx
另外，可以看出 y 0也是方程的解，因此，原方程的通 解为
y Cx 。
说明：凡遇到积分后有对数的情形，都应做类似于上 述的讨论，因其比较烦琐，而且一般情况下，最后得到的 函数形式确是微分方程的通解。为方便起见，今后遇到这 种情形可做如下简化处理.以例 2 为例，示范如下：
(1
x)dx
即
arctan y 1 (1 x)2 C 2
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。
常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。
1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。
它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。
常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。
2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。
一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。
3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。
它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。
求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。
4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。
这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。
5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。
6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。
例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。
7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。
这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。
总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
高等数学(上册)常微分方程
比较同幂次项系数, 得 a0 2, a1 0, a2 7 于是 y 2x2 7, 方程通解为
y C1 cos x C2 sin x 2x2 7 其中C1,C2 为任意常数.
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
特点：不用积分就可以求出y* 来.
1. y ay by Pn( x) 型方程
Q( x) aQ( x) bQ( x) Pn( x)
(9 34)
当b 0 时, Q( x) 应为 n 次多项式, 即设
y* Qn ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an ,
当b 0, 且 a 0 时, Q( x) 应为 n 1 次多项式, 即设
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
若 u0, 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
y* Q( x) xQn( x) a0 xn1 a1xn an1x2 an x ,
当b 0, 且 a 0时,
直接由方程 y Pn( x) 直接积分得到.
高等数学(经管类)第6章 常微分方程-PPT精品文档
6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法
6.1.2 可分离变量的微分方程 定义 8.6 形如
gy () d y f() x d x
的微分方程，称为可分离变量的微分方程。 求解可分离变量的微分方程的方法为： (1)将方程分离变量得
dy f ( x)dx g ( y)
(2)等式两端求积分，得通解
第六章 常微分方程
2．教学重点与难点 （1）重点 一阶微分方程的类型和解法。典型二阶微分 方程的类型和解法。 （2）难点 齐次方程、二阶常系数非齐次线性微分方程 的求解法。
第六章 常微分方程
6.1 常微分方程的基本概念 与分离变量法
6.1.1 微分方程的基本概念 引例 已知曲线上任意一点切线的斜率等 于该点横坐标的二倍，且曲线过点(2,4)，求该 曲线的方程。
1 x d x
6.2 一阶线性微分方程
y y 2 xy xe 的通解。 例4 求微分方程 2
2
2 x
z ， 2 y y z 解：令 y
方程叫常微分方程，多元未知函数的微分方程
叫偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶
数叫微分方程的阶。
6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法
定义6.2 代入微分方程中，使其成为恒等 式的函数叫微分方程的解。解有两种形式，
含任意常数的个数等于微分方程的阶数的解叫
微分方程的通解，给通解中任意常数以确定值 得出的解叫微分方程的特解。
第六章 常微分方程
6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数线性微分方程
6.4 应用与实践
6.5 拓展与提高
第六章 常微分方程
一
知识结构
高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】
6.3.3 形如 的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具．现实世 界中，能用微分方程建模研究的实际问题有很多，涉及的领域包括物理 学、化学、经济、生物、军事、资源等．下面举几个简单的例子，说明 如何运用微分方程解决实际问题．
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如 的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
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微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
了解可分离变量的微分方程的概 念，掌握求解的步骤；了解一阶 齐次线性微分方程和非齐次线性 微分方程的概念；掌握求解一阶 线性方程的基本步骤，并能够灵 活运用.
6.2.1 可分离变量的微分方程
形d 如 yf(x)g(y)的一阶微分 可方 分程 离 的称 变 微为 量 分 dx
可写成y(0) 1),将其代入到上式c得 0,于是所求曲线方程
为:
y x2 1 .
想一想：一辆汽4车 0m/s以 的速度在直,制 道动 上后 行汽 驶车
速度为 80m/s2,求开始制动后 向汽 前车 行继 驶续 的
S关于时ห้องสมุดไป่ตู้t的间 函. 数
解析：
由题意知,制动阶段汽车运动规函律数S
S(t)应满足d2S
2
2
将初始条件y(0) 0代入通解中 ,得C 1,故所求特解为： 2
ey 1 e2x 1. 22
6.2.2 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x)的方程 一称 阶 为 线性.微 dx
当 Q(x)0时 ,方程d变 yP(为 x)y0称 , 一 为阶线 dx
所y以 ex2C 1C ex2(由y于 0也是 ,故 C 为 解任)意 . 常数
2求 . 微 y e 2 x 分 y 满方 y 足 0 0 的 程 条 . 特 件 解
解：分离变量为eydy e2xdx,两边积分得eydy e2xdx
eydy 1 e2xd2xey 1 e2x C (C为任意常数).
方.程 这类方程的求为解两一步般：分
1 分离变量：化d原 y方 f(x程 )d的 x为形式；
g(y)
2 两边积 gd分 (yy)： f(x)d得 x 到 x与y的一个关 ,即系通式 . 解
例题
1.求微分 dy方 2x程 的 y 通 . 解 dx
解：分离变 dy y2量 xd,两 为 x 边积 dy y分 2xd 得 xlnyx2C 1.
1 y2yy2x 2 3xdy 2xdx0 3 y4y23y
解：1 二阶2 微 一分 阶方 3 微 四 程 分 阶方 微
2验 .y C 证 e x C e 2 x 是微 y 3 y 分 2 y 0 方 的,求 程 通满 解
1
2
初始 y 0 0 ,条 y 0 1 的 件 . 特解
解：y C1ex 2C2e2x, y C1ex 4C2e2x,代入微分方程得：
便可得到 . 它的通解
初始条件
确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件.
例 S(0)0 ,S(0)4就 0 是微 d2S 分 0.8 的 方 初 程 . 始 d2t
微分方程的特解
微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解.
例函y 数 x2是微y分 2x的 方特 .程解
例题
1 . 判断下列各 ：方程的阶数
点(0,1求 ),曲线. 方程
解析：
已知曲线上各点的切 斜线 率等于该点横坐标 二的 倍,且过
设所求曲线方程y为 f (x),M(x, y)为曲线上任意一,则点
依题意有dy dx
2x.两端对x积分,得y
2xdx,即y
x2
c
(c为任意常数 ).又因曲线通过(0点,1)(或写成条件 y| 1,也 x0
1
2
S 0.4t2 40t.
6.1.2 微分方程的基本概念
微分方程
含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.未
知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函
数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
例 dy2x,d2S0.8都是常微.分方程 dx d2t
微分方程的阶
在一个微分方程中,未知函数导数的最高阶数称为微分
第6章 常微分方程
知识目标
了解二阶微分方程解的结构； 理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各
特解等概念； 掌握可分离变量方程的解法； 掌握一阶线性微分方程的解法； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，
掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性 微分方程的解法.
能力目标
通过微分方程的学习，进一步培养学生独 立自主的思考能力，明辨是非的判断能力.
y3y2y C1ex 4C2e2x 3C1ex 2C2e2x 2C1ex C2e2x 0
同时,C1,C2为任意常,故数 yC1ex C2e2x是微分方程的. 通解
将条件代入通,得解 CC11中C2C2 201CC12
1 .
1
故所求特解为：y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与