概统精华公式提纲全整理

第一章 概率论基础知识 §1.1.1 随机试验

特点:

1.可在相同条件下重复进行；

2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；

3.试验前不能确定会出现哪一个结果。

§1.1.2 样本空间

定义: Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

基本事件:只含有一个样本点ω的事件,记为{ω}.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件.

§1.1.3 事件的关系及运算

交换律 ,A B B A A B B A ==

结合律 ()(),()()A B C A B C A B C A B C == 分配律 ()()(),()()()A B C AB AC A B C A B A C ==

对偶律 ,A

B A

B A

B A

B ==

§1.2.1 频率及性质

:().n n A k k A k

A f A n

定义在次重复试验中，若事件发生了次，则称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记为

频率的性质:

()()()121

1

(1) 01(2)1; ()0;

3,,

,(

)().

n n n r

r

r n i n i i i f A f f A A A r f A f A φ==≤≤Ω==∑；＝若为个两两互斥的事件，则

§1.2.2 概率的公理化定义

1.

121

1

,,

,

P(

)P()

i i i i A A A A ∞

∞

===∑对于两两互不相容的事件

2. A,B AB ϕ=互斥（即）

()()()P A B P A P B ⇒=+

3. ()()()P A B P A P AB -=-

4. ()()()()P A

B P A P B P AB =+-

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

§1.3.1 古典概型

（1）试验只有有限个可能结果;

（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；

在古典概型中，若Ω中有n 个样本点，事件A 中有k 个样本点，则()k n

P A =

.

Eg.两个基本的摸球模型:

口袋中有N 只球，其中m 个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n 次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k 个红球的概率。

（1） 有放回抽样(二项分布). ()()(1)k k n k k k

n k n k n

n C m N m m m p C N N N

---==- （2） 无放回抽样(超几何分布). ,0,1,...,min(,)k n k

m N m

k n

N

C C p k m n C --== §1.3.2 几何概型

几何概率计算方法：()A

S P A S Ω

=

. §1.4.1 条件概率

()

:()0,(|)()

.

定义设，是两个事件，且则称为事件发生的条件下事件的条件概率P AB A B P B P A B B P B A >=条件概率性质:

1

1

(1).0(|)1(2).(|)1

(3). () (

|)(|)

(4).(|)1-(|)n

n

i j i i i i P B A P A A A i j P A B P A B P B A P B A φ==≤≤Ω==≠⇒==∑

§1.4.2 乘法公式

1212112-1()0,()0,()()(|)()(|)(...)()(|)...(|...)

当利用条件概率有推广到一般情形：

n n n P B P A P AB P B P A B P A P B A P A A A P A P A A P A A A A >>===

§1.4.3 全概率与贝叶斯公式

()1

1

:,0,(,1,2,,,),

(1)()()(|)

定理设是样本空间的完备事件组即

i i n

i j i i n

i i i A P A A A f i j L n i j A P B P A P B A ==>==≠=Ω

=∑

1

()()(|)

()(|)

(2)(|)()()

()(|)

i i i i i i n

i

i

i P A B P A P B A P A P B A P A B P B P B P A P B A ==

==∑

§1.5 事件的独立性

定义1.4:设A,B 是随机试验E 的两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称事件A,B 相互独立

性质:1.()0,,(|)()P A A B P B A P B >⇔=若则独立

2.,A B A B A B A B ⇒独立与、与、与都独立

§1.5.1 事件的独立性

()121.5:2()()()(),定义设，，，是个事件，如果，是其中任意两个事件,有 则称这个事件两两独立。

n i j i j i j A A A n n A A i j P A A P A P A n ⋯>=≠=事件A 、B 、C 两两相互独立,若在此基础上还满足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A 、B 、C

相互独立。

§1.5.2 贝努利概型

定理1.3 :n 重贝努利试验(每次试验结果只有两个A 与A,且0

k n k n n

P k p p k n C

-=-= 多项概率公式

12

121

1212121212,,,...,()(0,1),1,

,,...,,,...,!...,

!!...!....

k n

k i i i i k k r r r k k k n A A A P A p p A A A n r r r n p p p r r r r r r n ==∈=+++=∑重独立试验中每次试验可能的结果是且则在次试验中各发生次的概率为 其中