最近五年高考数学解析几何压轴题大全(含答案)

.

最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）1.【2009 年陕西卷】21．（本小题满分12 分）

已知双曲线 C 的方程为

2 2

y x

2 2 1( 0, 0)

a b

a b

，离心率

5

e ，顶点到渐近线的

2

距离为 2 5

5

。

（I ）求双曲线C的方程；

(II) 如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

1

AP PB, [ ,2] ，求AOB 面积的取值范围。

3

【答案】

21．（本小题满分14 分）

已知双曲线C的方程为

2 2

y x

2 2 1(a 0,b 0),

a b

离心率

5

e , 顶点到渐近线的距离为

2

2 5

5

.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P 是双曲线C上一点，A,B 两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第

一，二象限. 若

1

AP PB, [ , 2], 求△AOB面积的取值范围.

3

2 5

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O, a) 到渐近线ax by 0

的距离为，

5

∴

ab 2 5 ab 2 5

, ,

即

2 2 5 c 5

a b

ab

2

5 5 5 2

2

y

4

2 1.

x

a

2,

,

c

b

1,

c

由得

∴双曲线C的方程为a

c

5,

2 2 2

c a b

.

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y 2x.

设A(m,2 m), B( n,2 n), m 0,n 0.

由A P PB 得P点的坐标为

m n 2(m n) ( , ), 1 1

将P 点坐标代入

2

y

4

2 1,

x 化简得

mn

2

(1 n)

4

.

设∠AOB

1 1 4

2 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 .

2 2 2 5

又|OA | 5m |OB | 5n

4

1 1 1

S |OA | |OB | sin 2 2mn ( ) 1.

AOB

2 2

记由

1 1 1

S( ) ( ) 1, [ ,2],

2 3

1

8 9

得又S(1)=2,S(

S'( ) 0 1, ) , S(2) ,

3

3 4

当1时，△A OB的面积取得最小值2，当1

3

时，△AOB的面积取得最大值

8

3.

∴△AOB面积的取值范围是

8 [2, ].

3

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y kx m,由题意知|k| 2,m 0.

由{

y kx m

y 2x 得A 点的坐标为( , 2 ),

m m

2 k 2 k

由{ y kx m

y 2x

得B 点的坐标为( , 2 ).

m m

2 k 2 k

由AP PB得P点的坐标为

m 1 2m 1

( ( ), ( )), 1 2 k 2 k 1 2 k 2 k

将P 点坐标代入

2 2 2 y 4m (1 )

2

x 得

1 .

2

4 4 k

设Q为直线AB与y 轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

1 1 1

S S S | OQ | | XA | |OQ | | x8| m (xA xB) AOB AOQ BOQ

2 2 2

=

2

1 m m 1 4m 1 1

m( ) ( ) 1.

2

2 2 k 2 k 2 4 k 2

.

. 以下同解答一.

2.【2010 年陕西卷】20. （本小题满分13 分）

2 2

x y

: 1

2 2

a b 的顶点为A1, A2 , B1,B2，焦

y

B2

l

如图，椭圆 C

A

点为F1,F2, | A B | 7 ，

1 1 S 1 1

2 2 2S 1 1 2 2

A B A B B F B F

P

n

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F点、与A1 F1 o x

A 2

F

2

B

椭圆相交于A,B 亮点的直线，| OP |=1 ，是否存在上述直线

B1 l 使AP PB 1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存

在，请说明理由。

【答案】

（Ⅰ）

由| A B | 7 知

1 1

2 2 7

a b ，①

由S 1 1 2 2 2S 1 1 2 2 知a=2c，②

A B A B B F B F

又 2 2 2

b a

c ，③

由①②③解得 2 4, 2 3

a b ，

故椭圆C的方程为

2 2

x y

4 3

1

（Ⅱ）

设A，B 两点的坐标分别为(x , y ),( x , y )，

1 1

2 2

假设使AP PB 1成立的直线l 存在，

（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m ，由

l 与n 垂直相交于P 点且| OP |=1 得