高等数学第七章空间解析几何与向量代数

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二、空间两点的距离公式
如图，设M1( x1，y1，z1 )、M2( x2，y2，z2 )为空间两点，
在直角三角形
M1
NM
中，有
2
z
R
M1M2 2 M1 N 2 NM2 2
• M2
在直角三角形M 1 PN中，有
M1•
Q
M1N 2 M1P 2 PN 2 ,
M1M2 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
a
A
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二、向量的线性运算 即1、 { a加a1 法b b1： ，设a{2 a向1，ba量2，2，aaa33}{ba3{1，}b称a1，2，b为2a，3b向}，3 }b量a{a{与1b1，bbb的12， ，和ab23 }，，记b则2，为a向3a量bb3}.. 加法的几何解释：
(1)三角形法则
a
b
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例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 PP2 (0 x)2 (1 0)2 (1 0)2
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系
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一、空间点的直角坐标
1、空间直角坐标系 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，
它们都以O为原点，且具有相同的长度单位，方
向按右手规则，
即以右手握住 z 轴，当右
z 竖轴
手的四个手指从正向 x轴
以 角度转向正向 y 轴
2
时，大拇指的指向就是 z
A AB
.
3、零向量：模为零的向量称为零向量. 记为0
说明：零向量的方向是不确定的.
4a 、与向 b量 相相 等等. 记：设为向a量 ab、. b的模相等且方向相同，则称
5、三维向量：三元有序数组{a，b，c}称为三维向量.
其中实数a，b，c称为向量的坐标.
说明：三维向量的全体称为三维向量空间，记为V3 .
B
b
(2)平行四边形法则
B
C
b
a
b
2、 { O数a 1，乘 aa：2设，向aA3量 }称a为 {向a1，量aa2，与a3数}，O为的实乘数积a，，则记A向为量a.
即 a {a1，a2，a3 } {a1，a2，a3 }.
说明：三维向量与空间上的点建立了一一对应的关系. 7、模的计算公式：设a {a，b，c}，则a a2 b2 c2 .
例1、设A(1， 1，2)、B(3，0，4)为空间两点，求 AB.
B
8则 、 解向不 ：量超 夹A过 B角 的：{在2，空A1，O间 2B}，取 称点 为AOBa,与作bO的2A2 夹1角 a2 ，.O记2上B2为页(a3b下， . ,bO页b)
Ⅲ yOz面
Ⅳ xOy面
z
zOx 面
Ⅱ
O
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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设M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、
y轴和z轴，交点依次为P、Q、R，它们是点M在x轴、y
轴和z轴上的投影，且有向线段的值OP、OQ、OR对应
的实数为x、y、z.
4、空间点的坐标：上述x、y、z称为点M的坐标，
记为M ( x，y，z). z
PP1 2 PP2，
x2 11， x2 2.
x2 11 2 x2 2 x 1, 故点P的坐标为(1，0，0)，(1，0，0数 第二节 向量及其运算
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一、向量概念 1、向量：具有长度和方向的线段称为向量.
a
B
记为a 或AB( A表示起点，B表示终点). 2、模：向量的长度称为向量模. 记为a 或
AB CA，且 AB 2 CA 2 BC 2 . 故ABC为等腰直角三角形 . 例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为P( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 x2 11，
P o
N y
x
又 M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
所以 M1 M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .
1、距离公式：d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 . 特别，点M ( x，y，z)到原点O(0，0，0)的距离为
定点 o •
y 纵轴
轴的正向.
横轴 x
这样确定的坐标系称为空间直角坐标系 ，点O称为 坐标原点，x、y、z轴称为坐标轴.
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2、坐标平面：由两个坐标轴确定的平面称为坐标面.
记为 xOy面、yOz面、zOx面.
3、卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一
部分称为一个卦限. 记为Ⅰ、 Ⅱ、…、 Ⅷ.
2、点到原点的距离：d x2 y2 z2 . 上 页 下 页 返 回
例1、证明以点A(4，1，9)、B(10， 1，6)、C(2，4，3)为顶点 的三角形是等腰直角三角形. 解： AB (10 4)2 (1 1)2 (6 9)2 7，
BC (2 10)2 (4 1)2 (3 6)2 7 2， CA (4 2)2 (1 4)2 (9 3)2 7，
6、卦限中点的坐标的符号
5、特殊点的坐标
O(0，0，0)
R
P( x，0，0) C Q(0，y，0)
R(0，0，z)
o
A( x，y，0) x P
B(0，y，z) C( x，0，z)
Ⅰ:+ + ＋ B Ⅱ:- + ＋
•M
Q
Ⅲ:- - ＋
y
Ⅳ:+ Ⅴ:+
-＋ +-
A
Ⅵ:- + Ⅶ:- - -
Ⅷ:+ - -
同理，二元有序数组{a，b}的全体称为二维向量.
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6、 向 量 的 坐 标 表 示 式 ：设A( x1，y1，z1 )、B( x2，y2，z2 )为
空间两点，则AB { x2 x1，y2 y1，z2 z1}称为向量
AB的坐标表示式. 设a {a，b，c}，点A( x，y，z)、B( x a，y b，z c)， 则由向量的坐标表示式得AB {a，b，c}，故a AB. 特别以O (0，0，0)为起点，P ( a，b，c )为终点的向量为a