高考数学真题——函数压轴题(含答案)

2018年数学全国1卷 已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()

1212

2f x f x a x x -<--．

解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222

11

()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.

（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.

（ii ）若2a >，令()0f x '=

得，x =

或x =.

当2()2

a a x

+∈+∞

时，()0f x '<； 当

(22

a a x -+∈

时，

()0

f

x '>.所以()f x 在

(0,),(,)

22a a -++∞单调递减，在(22

a a +单调递

增.

（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.

由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则

21x >.由于

121212212121212

22

()()ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

1

2ln 0x x x -+<.

设函数1

()2ln g x x x x

=

-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从

而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.

所以

222

1

2ln 0x x x -+<，即

1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷

已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x

﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，

2()2(2)1(1)(21)x x x x

f x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.

当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.

（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.

（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为

1

(ln )1ln f a a a -=-

+.

①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；

②当(1,)a ∈+∞时，由于

1

1ln 0a a -

+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；

③当(0,1)a ∈时，

1

1ln 0a a -

+<，即(ln )0f a -<.

又

422

(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03

ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3

ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.

综上，a 的取值范围为(0,1)

2016年数学全国1卷

已知函数2

()(2)e (1)x

f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；

（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析 【解析】

试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即

2(2)0f x -<．

设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x

g x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．

试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)x

x

f x x a x x a =-+-=-+．

（i ）设0a =，则()(2)e x

f x x =-，()f x 只有一个零点．

时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．

若e 2

a <-

，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞