材料力学讲稿：第8章 弯曲变形

第八章弯曲变形

一、教学目标

掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。

二、教学内容

弯曲变形的量度及符号规定；

挠曲线近似微分方程及其积分；

计算弯曲变形的两种方法；

用变形比较法解简单的超静定梁

三、重点难点

梁的变形分析。

挠曲线近似微分方程。

积分法求梁的变形。

叠加法求梁的变形。

用变形比较法解简单超静定梁。

四、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时

4 学时

六、实施学时

七、讲课提纲

回顾：

弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。

弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。

本章

弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。

研究弯曲变形的目的

★刚度计算；

★解简单的超静定梁。

本章的基本内容

★弯曲变形的量度及符号规定；

★挠曲线近似微分方程及其积分；

★计算弯曲变形的两种方法；

★用变形比较法解简单的超静定梁。

（一）、弯曲变形的量度及其符号规定

1、度量弯曲变形的两个量：

⑴挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠

度。（工程上的一般忽略水平线位移）

图8-1

⑵转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。

2、符号规定：

⑴坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁

轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠

度），向上为正。

⑵挠度的符号规定：向上为正，向下为负。

⑶转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；

顺时针转向的转角为负。

（二）、挠曲线近似微分方程及其积分

1、挠曲线

在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这

条曲线称为挠曲线。

图8-2

2、挠曲线近似微分方程

数学上：曲线的曲率与曲线方程间的关系

2

2)(1)(dx

d x x K ω

ρ== 材力上：挠曲线的曲率与梁上弯矩和抗弯刚度间的关系

EI

x M x x K )

()(1)(==

ρ 显然，挠曲线的曲线方程与梁的弯矩刚度间的关系可以用下式表示：

2

2dx d ωEI x M )

(= 这个等式称为挠曲线近似微分方程

近似解释：

⑴忽略了剪力的影响；

⑵由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。 3、挠曲线近似微分方程的积分 ⑴转角方程和挠曲线方程

对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：

))((1

)(c dx x M EI

dx d x +⎰==

ωθ 再积分一次，得挠曲线方程：

[]

D cx dx x M EI

x ++⎰⎰=

))((1

)(ω ⑵积分常数的确定及其物理意义和几何意义 ①积分常数的数目——取决于)(x M 的分段数

)(x M ——n 段

积分常数——2n 个

举例：

图8-3

)(x M 分2段，则积分常数2x2=4个

②积分常数的确定——边界条件和连续条件：

边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。

连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。

③积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： 积分常数2n 个=2n 个 边界条件

连续条件

图8-3所示的例题中：

边界条件：

00

==A A ωθ

连续条件：右

左右

左B B B B ωωθθ==

例题： 列出图8-4所示结构的边界条件和连续条件。

图80-4

解：边界条件：000

===C A A ωθω 连续条件：右

左右左右左B B D D D D ωωθθωω===

④积分常数的物理意义和几何意义

物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得

o EI C θ=即坐标原点处梁的转角o θ，它的EI 倍就是积分常数C ；

o EI D ω=即坐标原点处梁的挠度o ω的EI 倍就是积分常数D 。

几何意义：C ——转角

D ——挠度

举例：

0=A θ 0=C 0=A θ 0=C 0=A θ 0=C 0=A ω 0=D 0=A ω 0=D 0=A ω 0=D

2

2l F C p =

6

3

ql C = l m C o =

33

l F D p -= 84

ql D -= 2

2l m D o -=

162

l F C p -= 243

ql C -= 3

l m C o -=

0=D 0=D 0=D

（三）、计算弯曲变形的两种方法

1、积分法——基本办法

利用积分法求梁变形的一般步骤：

⑴建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；

⑵分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次； ⑶利用边界条件，连续条件确定积分常数； ⑷建立转角方程和挠曲线方程；