分离变数法
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
8.1齐次方程的分离变数法
例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放， 试求管内空气柱的本征振动。 2 utt a u xx 0 定解问题： u ( x, t ) x 0 0, u x ( x, t ) x l 0
代入本征条件：X (0) C1 C2 0 C1 0 X ( x) 0 无意义 X (l ) C1e l C2e l 0 C2 0 u ( x, t ) 0 0时方程无解。 (2) 0：X ''( x) 0 X ( x) C x C 1 2
n a n a n x t Bn sin t )sin l l l 由于任一个解un(x,t )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解， 已得到一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos 必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为u(x,t ),即： n a n a n x u(x,t )= un ( x, t ) ( An cos t Bn sin t )sin l l l n 1 n 1
n 2 2 除非：C2 0, 只有sin l 0 l n 特征值n 2 , n 1, 2,3,... l n x 相应的本征函数为：X n ( x) Cn sin , Cn为任意常数 l n2 2 a 2 关于T(t )的常微分方程：Tn ''(t ) Tn (t ) 0 2 l n a n a Tn (t ) An cos t Bn sin t l l n a n a n x 由此得一般解：un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) ( An cos t Bn sin t ) sin l l l n为正整数，每一个n对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动
第5讲数学物理方程 分离变数法2(热传导、稳态方程及非直角坐标系下的分离变数)
n 0,1, 2,
本征值
本征函数
n a n a t Dn sin t Tn (t ) Cn cos l l T0 (t ) C0 D0t
(n 1, 2,)
Harbin Engineering University
满足定解问题的特解为
n a n a n t bn sin t cos( x) un ( x, t ) an cos l l l u ( x, t ) A B t 0 0 0
Harbin Engineering University
2、本征值问题
T ''(t ) a T (t ) 0
2
X ''( x) X ( x) 0 X '(0) 0, X '(l ) 0
⑴ 0
本征值问题
X ( x) Ae
x
Be
x
n 1, 2,
n An cos( x) l
本征函数
本征值
Harbin Engineering University
可以把本征值
0 和其它本征值合在一起
2
n An cos( x) n 0,1, 2, l 3、求关于 T (t ) 方程的通解
n n n2 l
utt a 2u xx 0 x l, t 0 ux |x 0 ux |x l 0 u | ( x), u | ( x) t t 0 t 0
Harbin Engineering University
1、分离变量
u( x, t ) X ( x)T (t )
第八分离变数法
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族
第八章分离变数法
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
8.1齐次方程分离变数法(白底)
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波腹
T (t )
波节
X ( x)
波腹
波节
L=n
λ
2
y1 = A cos(ω t − kx ) y2 = A cos(ω t + kx )
y = y1 + y2 = 2 A cos( kx ) ⋅ cos ω t = A '( x ) ⋅ cos ω t
(2)λ = 0：X ''( x ) = 0 ⇒ X ( x ) = C1 x + C 2
⎧ C1 0 + C 2 = 0 ⎨ ⎩ C1 l + C 2 = 0 ⎧C 2 = 0 ⇒⎨ ⎩ C1 = 0
⇒ X ( x) ≡ 0
⇒ u( x , t ) ≡ 0
∴λ = 0
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∞
Bn =
l nπ a
ψn =
nπ a ∫0
2
l
ψ ( x )sin
nπ x dx l
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×
∑
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⎧ utt − a 2 uxx = 0 (1) ⎪ (2) (0 < x < l ) ⎨ u( x , t ) x = 0 = 0, u( x , t ) x = l = 0 ⎪ ⎩ u( x , t ) t = 0 = ϕ ( x ), ut ( x , t ) t = 0 = ψ ( x ) (3)
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第六章 分离变数法 二、齐次方程和非齐次边界条件的分离变数法,三、非齐次方程和齐次边界条件的分离变数法
使 w( x) 满足
⎧⎪ w′′ (
⎨
x)
=
−
b a2
sinh
x
⎪⎩w(0) = w(l ) = 0
（1），
由（1）得
w
(
x)
=
−
b a2
sinh
x
+
c1x
+
c2
，
由边界条件得
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
c2 c1
= =
0
b sinh a2l
l
，
w(
x)
=
b a2
⎛ ⎜⎝
sinh l
l
x
−
sinh
x
⎞ ⎟⎠
。
于是， v( x,t) 满足
k
( ) ∑ ( ) v
x, t
=
2q0l kπ 2
∞ −1 n+1
n=0
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞2 ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞2 ⎟⎠
π
2
a
2t
e
l2
sin
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
π
l
x，
∑ ( ) ( ) ( ) ∴u
x, t
=
u0
+
q0 k
x
+v
x, t
= u0
+
q0 k
x+
2q0l kπ 2
∞ −1 n+1
( ) ⎧
⎪⎪ ⎨ ⎪
ut u
= a2uxx x=0 = u0 ,
第六章 分离变数法 一、齐次方程和齐次边界条件的分离变数
给定了ϕ ( x) 和ψ ( x) 的具体形式，则 An 、 Bn 可具体算出，然后代入 u ( x,t ) 的
式子中，就可求得定解问题的解。
2.有界杆的热传导
设长为 l 的均匀细杆的初始温度分布为 hx ，h 为常数，杆的一端（ x = 0 ）
保持温度为 0 ，而杆的另一端( x = l )绝热。求杆内温度随时间的变化，即求
1 2
⎞2 ⎟⎠ l2
π
2
a
2
t
，
x=0
n=0
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
π
流密度的方向完全由 h 的正负号决定。当 h > 0 时，qK x=0 沿 −eKx 方向（沿 x 轴的
负方向），热量从
x
=
0
一端流出。当
h
<
0
时，
qK
x
=0
沿
K ex
方向（沿
x
轴的正方
向），热量从 x = 0 一端流进。
91
2
⇒ c1 = 0, c2 = 0 ,∴ X ( x) = 0 ⇒ u = 0 这是平凡解，没有意义，λ < 0 的可能性可以排
除。
ⅱ） λ = 0 ,（4）中方程的通解为： X ( x) = c1x + c2 ，
由边界条件得：
⎧⎨⎩cc12l
= +
0 c2
=
0
⇒
c1
=
c2
=
0
⇒
X
(
x)
=
0
⇒
u
=
0
由 sin
λl = 0 ⇒
λl
分离变数傅里叶级数法
第八章平面坐标下的分离变量本征值问题（一）通过上一章的讨论，我们知道，在研究物理（场）量的变化时，不仅要考虑物理（场）量随时间的变化规律，有时候还需要考虑其在空间变化规律，由此便导致了反映物理规律的“偏微分方程”。
偏微分方程泛指同一类的物理规律，因此称为泛定方程。
偏微分方程若附加上边界条件、初始条件的限制，则物理过程（解）就唯一确定，此时便构成了定解问题。
对于偏微分方程用高等数学中介绍的一些方法，无法求解。
因此必须引进分离变量法。
分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。
分离变数法的可行性问题：上一章推导出了三类偏微分方程，波动方程、输运方程和泊松方程。
第一类、第二类方程都是时间和空间的函数，我们在普通物理中曾对驻波问题进行过研究，其空间周期性和时间周期性彼此独立，由此受到启发，其解应具(,)()()的形式。
对于第三种情况——u x t X x T t泊松方程，反映的是“有源”情况下的一种作用，其效果相当于简单叠加。
由此看来，变量是可以分离的。
实际情况如何？我们可以通过实例进行验证。
§8.1 齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。
其定解问题为2000000(0)()()tt xx x x l t t t u a u u u x l u x u x ϕψ====⎧-=⎪⎪==<<⎨⎪==⎪⎩ (8.1.1) 这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射。
这样,驻波解的一般表示式应当为设 (,)()()u x t X x T t = (8.1.2)在(8.1.2)中，自变数x 只能出现于X 之中，自变数t 只出现于T 之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。
那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：20(0)()0()()0XT a X T X T t X l T t ''''⎧-=⎪=⎨⎪=⎩(8.1.3) 条件(8.1.3)表示，在时刻t ，)()0(t T X 和)()(t T l X 总是零。
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
数学物理方法 8 分离变数法
u x | x l 0,
X " X 0 ' ' X | x 0 X | x l 0
k cos x l
14 k=0,1,2,3… k=0,1,2…
(二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子
• 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必
（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征 值问题 （3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出 一般解 （4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
12
分 离 变 量 流 程 图 输 运 方 程
u |t 0 ( x ) u |t 0 ( x )
ut a 2uxx
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
1 ( k ) 2 X " X 0 l ' X | x 0 X | x l 0
2
u | x l 0,
u x | x 0 0,
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
X x | x 0 0, X x |x l 0
7
2、求解本征值问题 X " X 0
常微分方程通解：
X " X X |x 0 X | x l 0 X |x 0 X |x l 0
X ( x ) C1e
在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元 分别为 dS x dydz, dSy dxdz, dSz dxdy 体积元为
dV =dxdydz
在直角坐标系中，梯度定义为
u u u u ex ey ez x y z
第10章 分离变数
第十章 分离变数（傅里叶级数）法前面是求通解后根据定解条件确定待定函数或常数的方法，只适用于很少的定解问题，通常偏微分方程的通解难以求得，其次，即使已求得通解，但要根据定解条件确定通解中含有的任意函数也较困难。
因此，求解偏微分方程的定解问题时，常常是直接去求满足定解条件方程的解。
§35 分离变数法介绍分离变量法○1是将定解问题的解的形式表为各独立变数的函数的乘积，因而将偏微分方程的求解问题转化为几个常微分方程的求解问题。
为了能够确定其中一个常微分方程的解。
不仅需要将原来方程的自变量分离，而且要求能够从原来的边界条件分离变量得出相应于该常微分方程的边界条件。
为此要求原边界条件是齐次的或者是可分离变量的，否则无法直接使用分离变量法。
○2在求解过程中必出现由常微分方程（它的自变量是空间变量）和相应的齐次边界条件构成的本征问题，由此确定一个本征函数族和相应的一系列本征值。
§35.1 分离变数法考虑两端固定的均匀弦的自由振动。
220000(/)|,|0|(),|()(0)tt xx x x l t t t u a u a T u u u x u x x l ρϕψ====⎧-==⎪=⎨⎪==<<⎩注意到波在两端点之间往复反射形式形成驻波的事实。
因此，定解问题的解具有驻波的形式(,)()()u x t X x T t =，将其代入泛定方程有''''2T X a T X=，因方程两边分别是两独立变量t ，x 的函数，因此，两边应等于同一常数，记''''2T X a T x λ==-。
将试探解(,)()()u x t X x T t =也代入边界条件(0)()0,()()0X T t X l T t ==知(0)0,()0X X l ==。
即原定解问题变为''2''00(0)0,()0(,)()()T a T X X X X l u x t X x T t λλ⎧+=⎪+=⎪⎨==⎪⎪=⎩0|(),|()t t t u x u x ϕψ===本征值问题：''0(0)0,()0X X X X l λ+=⎧⎨==⎩讨论：○1120,()xxX x C e C e λλλ---<=+将边界条件(0)0,()0X X l ==代入有12120,0ll C C Ce C e λλ---+=+=得120,C C ==即()0X x ≡，无意义。
分离变数法
← e − iθ = cos θ − i sin θ
7
⎧eiθ ⎧ Hν ( x) ⎪ − iθ ⎪ (2) ⎪e ⎪ Hν ( x) 互相之间的关系如同 ⎨ 之间的关系。 ②⎨ ⎪cos θ ⎪ Jν ( x) ⎪ N ( x) ⎪sin θ ⎩ ν ⎩
← e − iθ = cos θ − i sin θ ← ←
eiθ + e − iθ cos θ = 2
eiθ − e − iθ sin θ = 2i
8
二、整数阶柱函数：整数阶贝塞耳函数和整数阶诺伊曼函数 • m 阶柱函数
– 定义：
贝塞尔方程x 2 y"+ xy'+( x 2 − m2 ) y = 0 的特解
为第三类柱函数。
H ②无论ν=m与否， ν(1) ( x)和 Hν(2) ( x) 均为ν阶Bessel方程 的线性无关解。
Bessel方程的通解可表为
y ( x) = C1 Hν(1) ( x) + C2 Hν(2) ( x)
6
4．三类柱函数的关系
⎧ Hν(1) ( x) ⎪ (2) ⎪ Hν ( x) ⎨ ⎪ Jν ( x) ⎪ N ( x) ⎩ ν
Nm (0+ ) → −∞
x → ∞ 时的行为：
J m ( x) → N m ( x) →
(1) H m ( x) → 2 πx 2 πx
cos( x − 1 mπ − 1 π ); 2 4 sin( x − 1 mπ − 1 π ); 2 4 exp[i ( x − 1 mπ − 1 π )]; 2 4 exp[ − i ( x − 1 mπ − 1 π )] 2 4
第81节(齐次方程的分离变量法)
一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件
可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件： 18
ut a2uxx 00 ux |xl 0 u |t0 u0 x / l,
（0 x l)
这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：
u(x,t) X (x)T (t)
X T a2 X T 0
X (0)T (t) 0, X (l)T (t) 0
即： X (0) 0, X (l) 0
对于方程 XT a2 X T 0 化为：
13
T a 2T
X X
两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为
则
T a2T
X X
于是可分解为关于X和T的常微分方程
C1 0
C2 sin l 0
此时如果 sin l 0 仍然可得 C1 C2 0 从而 X (x) 0
应该予以排除！ 只剩下一种可能：C1 0 sin l 0
则 l n (n Z ) 即：
而此时
＝ n
X (x)
2
l2
2
n
C2 s
1,2,3.......
in nx x
l
C2为任意常数
X (x) C1 cos x C2 sin x
积分常数满足：
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
0 故C2＝0 C1 sin l 0 若C1＝0，则无意义！
则 C1 0,sin l 0 可得： l n (n 1,2,3...)
即 n2 2 / l 2 (n 1,2,3...) 相应的本征函数为：
X ＋X 0
X
(0)
0,
X
(l)
分离变数法能求解的方程类型 解释说明
分离变数法能求解的方程类型解释说明1. 引言1.1 概述在数学中，我们经常需要解决各种类型的方程。
分离变数法是一种常用且有效的方法，可用于解决特定类型的方程。
该方法通过将变量分离成两个部分，从而简化了复杂方程的求解过程。
本文将详细介绍分离变数法能够求解的方程类型，以及该方法的应用和优势。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分：引言、分离变数法解方程类型A、分离变数法解方程类型B、分离变数法解方程类型C和结论。
首先，在引言中，我们将概述本文内容并介绍文章结构。
然后，我们将逐步介绍分离变数法在不同类型方程中的应用方法，并提供详细的求解示例。
最后，我们将总结分离变数法在不同情景下的优势，并给出进一步研究或建议。
1.3 目的本文旨在详细说明使用分离变数法可以解决哪些特定类型的方程，并展示该方法在实际问题中的应用价值。
通过阐述不同类型方程中应用该方法时所需注意的事项和步骤，读者可以更好地理解和掌握这种有效的数学求解技巧。
此外，文章还将指出分离变数法在特定类型方程求解中的局限性，并提出进一步研究的方向或建议，以推动这一方法在更广泛领域的应用发展。
2. 分离变数法解方程类型A:2.1 方程类型A介绍:方程类型A是指包含一个未知函数y(x)及其导函数的方程，其中y'(x)表示对x的导数。
这种类型的方程可以通过使用分离变数法来解决。
2.2 分离变数法详解:分离变数法是一种常见的微分方程求解方法，它基于一个简单的观察：如果给定的微分方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)，那么我们可以将该方程拆分为两个可积分项并进行求解。
具体步骤如下：1. 将dy/dx = g(x)h(y)中关于x和y的项分别移到等式两边，得到关于x和y的表达式。
2. 通过除以h(y)并积分来消去y，并且通过乘以dx再积分来消去x。
3. 对上述两个积分项进行求解，并加上任意待定常数C（常称为积化常数）。
4. 最后，根据所给出初始条件或其他约束条件来确定待定常数C。
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1