初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题

分式知识点

一、分式的定义

如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子

B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠）

②分式无意义：分母为0（0B =）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0

0B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩

⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0

0B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ••=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 四、分式的约分

定义：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

五、分式的通分

定义：把几个异分母的分式化成同分母分式，叫做分式的通分。

步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

六、分式的四则运算与乘方

① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

d

b c a d c b a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

c

c ••=•=÷b

d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

n n n

b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛ ③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 c

b a

c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

bd

bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂

（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +•=；

（2）幂的乘方：()m n mn a a =;

（3）积的乘方：()n n n ab a b =；

（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；

（5）分式（商）的乘方：()n

n n a a b b

=；(b ≠0) （6）n a

1=-n a ；0≠a ） （7）10=a ；（0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）

八、科学记数法

把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。 用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 。

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

九、分式方程

含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：(分式方程必须检验)

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

分式练习

一、选择题

1. 若关于x 的方程+=2的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜6 B ． m ＞6 C ． m ＜6且m≠0

D ． m ＞6且m≠8 2. 若> > ，则的值为（ ）

A.正数

B.负数

C.零

D.无法确定

3.方程

x

x x -=++-1315112的根是（ ） A.x =1 B.x =-1 C.x =8

3 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1

5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A.

11

211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B.125552=-+-x

x x ，去分母得，525-=+x x ； C.2

42222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2+=+--x x x x ； D.,1132-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21

140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21

140140++x x =14 D.211010++x x =1 7.若关于x 的方程01

11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1

8.若方程,)

4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1

9.如果,0,1≠≠=

b b

a x 那么=+-

b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.11+-x x