2021届高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课件文北师大版20210219163

3．等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋_(_n_－__m_)_d__(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则_a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n__． (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为__m__d_____ 的等差数列． (4)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差 数列．
考点三 等差数列前 n 项和及综合问题 挖掘 1 等差数列的求和及最值/ 互动探究 [例 1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7， S3＝－15. ①求{an}的通项公式； ②求 Sn，并求 Sn 的最小值．
[解析] ①设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15. 由 a1＝－7 得 d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. ②由①得 Sn＝a1＋2 an·n＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
答案：－n＋2
4．(基础点：求等差数列的前 n 项和)已知等差数列 5，427，347，…，则前 n 项和 Sn＝________． 答案：154(15n－n2)
考点一 等差数列的基本运算及性质
挖掘 1 用等差数列的基本量 a1 和 d 进行计算/自主练透
[例 1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，
由于当 n≥2 时，有 an＝－2Sn·Sn－1＝－2n（n1－1）， 又因为 a1＝12，不适合上式．
12（n＝1）， 所以 an＝－2n（n1－1）（n≥2）.
挖掘 2 用等差中项法证明/互动探究 [例 2] 已知等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 S3，S9，S6 成等差数列，求证：a2，a8，a5 成等差数列； (2)若 am＋2 是 am＋1 和 am 的等差中项，则 Sm，Sm＋2，Sm＋1 成等差数列吗？
[破题技法] 判定数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意 n∈N＋，an＋1－an 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意 n≥2，n∈N＋，满足 2an＝an＋1＋an－1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式 an 是 n 的一次函数． (4)前 n 项和公式法：数列的前 n 项和公式 Sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断． [拓展] 判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点) 分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列．
[解析] (1)证明：由 S3，S9，S6 成等差数列，得 S3＋S6＝2S9. 若 q＝1，则 3a1＋6a1＝18a1，解得 a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以 q≠1， 于是有a1（11－－qq3）＋a1（11－－qq6）＝2a1（11－－qq9），整理得 q3＋q6＝2q9. 因为 q≠0 且 q≠1，所以 q3＝－12，a8＝a2q6＝14a2，a5＝a2q3＝－12a2， 所以 2a8＝a2＋a5，即 a8－a2＝a5－a8，故 a2，a8，a5 成等差数列．
(2)依题意，得 2am＋2＝am＋1＋am，则 2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1.在等比数列{an}中， a1≠0，q≠0，所以 2q2＝q＋1，解得 q＝1 或 q＝－12. 当 q＝1 时，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1. 因为 a1≠0，所以 2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时 Sm，Sm＋2，Sm＋1 不成等差数列． 当 q＝－12时，
(2)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则 a20 等于 ( )
A．7
B．3
C．－1
D．1
[解析] 由{an}是等差数列及 a1＋a3＋a5＝105， 得 3a3＝105，即 a3＝35， 由{an}是等差数列及 a2＋a4＋a6＝99，得 3a4＝99，即 a4＝33，则公差 d＝a4－a3＝ －2，
1．两个重要技巧 (1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a－d，a，a＋d. (2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等差数 列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1.
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋2 b，其中____A_____ 叫作 a，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_＋__(n_－__1_)_d__． (2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋n（n2－1）d＝_n_（__a_1_2＋__a_n_）__．
[四基自测]
1．(基础点：求项数)已知数列{an}中，an＝3n＋4，若 an＝13，则 n 等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：A
2．(基础点：求公差)已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差
为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
3．(基础点：求通项)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－1，则 an 等于________．
∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，
∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，
2x（4x＋2）＝（3x）2，
∴24xx＞＋02，＞0，
解得 x＝4.
3x＞0，
∴等差数列的前三项为 log38，log312，log318， ∴公差 d＝log312－log38＝log332， ∴数列的第四项为 log318＋log332＝log327＝3. [答案] A
挖掘 2 用等差数列性质进行计算/互动探究
[例 2] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公
差为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋3d＋a1＋4d＝24， ∴6a1＋6×2 5d＝48，
∴d＝4，故选 C. [答案] C
[破题技法] 等差数列的计算技巧
方法
解读
适合题型
基本 用 a1 和 d 表示条件和所求，用方程思 五个基本量，a1，d，Sn，n，an
量法 想求出 a1 和 d
中知三求二
性质 用等差数列的性质将已知和所求联 当已知中有“an＋am”式的表
法 系起来，用性质表示 an 和 Sn
达式
(2020·河北石家庄一模)已知函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数 y＝f(x－2)的图
(2)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②SS奇偶＝n＋n 1. (3)在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最 大值 Sm；若 a1＜0，d＞0，则满足aamm≤ ＋1≥0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm. 3．两个函数 等差数列{an}，当 d≠0 时，an＝dn＋(a1－d)，是关于 n 的一次函数； Sn＝d2n2＋(a1－d2)n 是无常数项的二次函数．
(3)已知等差数列{an}的各项都为整数，且 a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝( )
A．70
B．58
C．51
D．40
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d， 由各项都为整数得 d∈Z， 因为 a1＝－5，所以 a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化简得 6d2－25d＋26＝0， 解得 d＝2 或 d＝163(舍去)，所以 an＝2n－7， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（12＋13）＝58.故选 B. [答案] B
[答案] B
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则
()
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
Байду номын сангаас
D．Sn＝12n2－2n
[解析] 设首项为 a1，公差为 d. 由 S4＝0，a5＝5 可得a41a＋1＋4d6＝ d＝5，0， 解得ad1＝＝2－. 3， 所以 an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋n（n2－1）×2＝n2－4n. 故选 A. [答案] A
第五章 数列
第二节 等差数列及其前n项和
[基础梳理] 1．等差数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从__第__2_项____起，每一项与它的前一项的____差_____都等于____同_____ 一个常数． ②符号语言： _a_n_＋_1_－__a_n_＝__d__(n∈N＋，d 为常数)．
则 a20＝a3＋(20－3)d＝35－34＝1，故选 D.
[答案] D
(3)(2020·广东第一次模拟)等差数列 log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等
于( )
A．3
B．4
C．log318
D．log324
[解析] ∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，
考点二 等差数列的判定与证明 挖掘 1 用等差数列定义证明/自主练透 [例 1] (2020·南京模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝ 0(n≥2)，a1＝12. (1)求证：S1n是等差数列； (2)求 an 的表达式．
[解析] (1)证明：因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·Sn－1，所以 Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此S1n－Sn1－1＝2(n≥2)．故由 等差数列的定义知S1n是以S11＝a11＝2 为首项，2 为公差的等差数列． (2)由(1)知S1n＝S11＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， 即 Sn＝21n.
Sm＋2＝a1[1－1－－－1212m＋2] ＝23a1[1－(－12)m＋2]＝23a1 [1－14×(－12)m]， Sm＋Sm＋1＝a11[－1－（－－1212）m]＋a1[11－－（－－1212m）＋1] ＝23a1[1－(－12)m＋1－(－12)m＋1]
＝23a1[2－12×(－12)m]， 所以 2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1. 故当 q＝1 时，Sm，Sm＋2，Sm＋1 不成等差数列；当 q＝－12时，Sm，Sm＋2，Sm＋1 成等 差数列．
如果 a，b，c 成等差数列且不全相等，1a，1b，1c能构成等差数列吗？用函数图像解 释一下． 解析：a，b，c 成等差数列，通项公式为 y＝pn＋q 的形式，且 a，b，c 位于同一 直线上， 而1a，1b，1c的通项公式为 y＝pn1＋q的形式． 其图像不是直线，故1a，1b，1c不是等差数列．
a1＝2，则 a5＝( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4， 得 33a1＋3×（23－1）×d＝2a1＋2×（22－1）×d＋4a1＋4×（24－1）×d，将 a1 ＝2 代入上式，解得 d＝－3， 故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
像关于直线 x＝1 对称，若数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50)＝f(a51)，则
{an}的前 100 项的和为( )
A．－200
B．－100
C．0
D．－50
解析：由 y＝f(x－2)的图像关于直线 x＝1 对称， 可得 y＝f(x)的图像关于直线 x＝－1 对称，由数列{an}是公差不为 0 的等差数列， 且 f(a50)＝f(a51)，函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调，可得 a50＋a51＝－2， 又由等差数列的性质得 a1＋a100＝a50＋a51＝－2， 则{an}的前 100 项的和为100（a12＋a100）＝－100，故选 B. 答案：B