南京大学1998年量子力学考研题

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()a

x a x x V x V ><<<⎪⎩⎪

⎨⎧∞=000

在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H

+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2

p n φ 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）

i j x i p j

x i p

e

e

e

2

1ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。

（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'

x f p

i

p x f p p

x x x x = ？式中x

i p x ∂∂= ˆ ，

（3）系统的哈密顿算符为()r V p H

+=μ

2ˆˆ2 ，设()r n ϕ

是归一化的束缚态波函数，则有：

(

)n n n n r V r p ϕϕϕμ

ϕ

∇⋅=

2

12ˆ2

？

（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为B

ls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls

⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121

ˆ2

2μ ，()

Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕ

θπ

im m

l

lm e m l m l l Y P cos !

!

412+

-

+=

()x x P =01；()()

2

/121

11x x P -=

；()()

x x x P 2

/12

1

213-=

()()22

213x x P -=