第十一章时间数列预测方法

第十一章时间数列分析预测
第一节时间数列预测的 基本理论
一、时间数列的构成要素与模型 构成要素： 长期趋势（T): 季节变动(S): 循环变动(C): 不规则变动(I):
模型： 乘法模型：Y=T*S*C*I
加法模型 ： Y=T+S+C+I
乘加模型： Y=Y*S+C*I
第二节长期趋势预测
一、长期趋势的修匀方法 1.时距扩大法和序时平均法： 2.移动平均法： 采用奇数项计算移动平均数，移动一次 采用偶数项计算移动平均数，移动二次 采用移动平均法修匀时间数列，可以消除 季节变动和不规则变动的影响。
年(t)
1（-9） 2（-7） 3（-5） 4（-3） 5（-1） 6（1） 7（3） 8（5） 9（7） 10（9） 合计
销售量/千辆(yt) 21.6 22.9 25.5 21.9 23.9 27.5 31.5 29.7 28.6 31.4 264.5
tyt
t2
21.6（-194.4） 1（81） 45.8（-160.3） 4（49） 76.5（-127.5） 9（25） 87.6（-65.7） 16（9） 119.5（-23.9） 25（1） 165（27.5） 36（1） 220.5（94.5） 49（9） 237.6（148.5） 64（25） 257.4（200.2） 81（49） 314（282.6） 100（81） 1545.5（181.5） 385（330）

一般情况下，若时间数列各观测值 的二次差或二级增长量大体相同，可配合 二次曲线。 若同一时间数列有几种趋势线可供 选择，则选方程估计标准差最小者为宜。 公式：
Sy

( y y) 2 ˆ nm
第三节季节变动的测定



季节变动---指事物因受自然条件或社会习俗等 因素影响，在一年内 随着季节的更 换而引起的比 较有规律变动。 测定季节变动一般需要掌握至少连续三个周期 以上的统计资料。 季节变动一般用季节指数（%）测定，其值围 绕100%上下波动。一般指数大于100%表示旺 季，低于100%表示淡季。
在一定条件下，移动平均法还可用于推断预测和 建模分析。 当事物的发展呈水平型变化时，可用以下预测模 型： (1)
Tt 1 M t
当事物的发展变化呈线性增长或下降趋势时， 需采用二次移动平均法，建模预测 二次移动平均公式：
1 1) M t(1) M t(1) M t(n1 n
若用二次移动平均法建模预测，则7月份销售额
T61 a6 b6 1 37.1 3.4 1 40.5(百万元）
3.指数平滑法
1）一次指数平滑法
1 S t(1) yt (1 ) St(1)
Tt 1 St(1) yt (1 )Tt
上式表明t+1期的预测值是t 期实际值和预测值的加权平均数。 其中： (1) 为一次指数平滑值 S
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设序时项数为n，则 N为奇数项时：
M i M i 1 M ni 1 Mt n
n为偶数项时：
Mi M n i M i 1 2 Mt 2 n
月份i 产量yi M i (n=3) M i (n=4) 移正M i （n=4) 1 50 ------2 3 4 45 52 53 49.0 50.0 51.0 50.0 49.5 --49.750 50.375

yi yt yi a bt 最小值 ˆ
2

2
对上式求偏导数，并令其等于零，则
Q 2 ( y a bt ) 0 a Q 2 ( y a bt )(t ) 0 b
整理得未知参数a、b的求解方程：
y na b t 2 ty a t b t
例：某地区历年人口资料如下表，根据资料性 质，拟合适当趋势方程，并预测该地区2002年 的人口数
年份
1991 1992 1993 1994 1995 1996
人口数（万人）
85.5 86.48 87.46 88.47 89.46 90.44
年份
t
人口 数(万 人） 85.5 86.48 87.46 88.47 89.46 90.44
M t( 2 )
预测模型：
Tt k at bt k
其中： at 2 M t(1) M t( 2 )
2 (1) ( 2) bt (M t M t ) n 1
例：某商店某年商品销售额如下表：试用移动 平均法预测该年7月份销售额。（n=3）
单位：百万元
月份 t 1 2 3 4 5 6
(1) 0 ( 2) 0
(1) ( 2) b8 (St St ) 1
0. 6 (56.6 53.53) 4.605 1 0 .6
则：T 8 1 59.67 4.605 1 64.28(万元)
二、长期趋势的数学模型
(一)线性模型：ˆ a bt Y 其中未知参数a和b通常按最小平方法 （最小二乘法）求得。 最小平方法要求实际观察值（yi）与趋势 ˆ 值（Yt）的离差平方和为最小。 2 ( yi yt ) 最小值 ˆ 即：
销售量
32 30 28 26 24 22 20 0 2 4 6 8 10 12
Observed Linear
年份
其中：
t 55 t 5.5 n 10 y 264.5 y 26.45 n 10 n ty t y 10 1545.5 55 264.5 b 1.1 2 2 2 n t ( t ) 10 385 55 a y bt 26.45 1.1 5.5 20.4
预测值 Tt+1 -4.8 5.04 5.03 4.83 5.06
7月份库存量：
T6 1 S
(1) 6
5.05(百件)
均方误差：
MSE
( yt Tt ) 2 t 1

n
n
MSE最小的系数对应的时间数列趋势预测值为 最优
2）二次指数平滑法
一次指数平滑值： S t(1) yt (1 ) S t(11) ( 2) (1) ( 2) 二次指数平滑值： St St (1 )St 1 线性模型： Tt k a bk 其中： a 2 S (1) S ( 2 )
t t
b ( S t(1) S t( 2 ) ) 1
例：某商店某年各月销售额如下表：试运用指数 平滑法拟合直线模型预测9月份销售额 ( 0.6)
月份 销售额 t （万元）yt
S
(1) t
S
( 2) t
Tt 1
--19.00 30.40 44.07 47.22 53.04 54.55 57.96

因此，自行车销售量时间数列的线性趋势模型为：
y a bt 20.4 1.1t ˆ
当

t 0

时 ：
ty 1545.5 b 2 4.42 t 350 a y 26.45
则：
y 26.45 0.55t ˆ
（二）非线性模型 1.指数曲线---描述以几何级数递增或递 减的现象
指数曲线形式：
ˆ Y ab t
式中：a、b为未知常数。
将指数曲线线性化为对数直线形式：
lg y lg a t lg b ˆ
根据最小二乘法得标准方程如下：
lg y n lg a lg b t 2 t lg y lg a t lg b t
求出lga和lgb后，再取其反对数，即得常数a和b。
销售额 yt （n=3) 20 24 27 30 34 37 --23.7 27.0 30.3 33.7
M t(1)
M
( 2) t
at ----33.6 37.1
bt ----3.3 3.4
(n=3)
----27 30.3
若用一次移动平均数直接预测，则7月份销额
T61 M 6(1) 33.7(百万元）
1 2 3 4 5 6 7 8
20 30 40 42 48 50 54 60
22.00 26.80 34.72 39.09 44.44 47.77 51.51 56.60
23.20 25.36 30.98 35.84 41.00 45.06 48.93 53.53
取初始值
20 30 S S 25 2 (1) ( 2) a8 2 S t S t 2 56.6 53.53 59.67
解得：
b n ty t y n t 2 ( t ) 2 a y bt
当变量t取时间数列的中间时期为原点时，

t 0 ，上述求a、b公式可简化为： b ty 2 t a y
例：某企业过去10年自行车销售量资料如下：
1.9320 1.9369 1.9418 1.9468 1.9516 1.9564
拟合指数曲线：
11.6655 6 lg a 21 lg b 40.9148 21 lg a 91 lg b b 1.01132 a 84.555 ˆ Y ab t 84.555 1.01132 t ˆ12 84.555 (1.01132 )12 84.63(万元） Y
1991 1992 1993 1994 1995 1996
1 2 3 4 5 6
一次 二次 环比 t2 差 差 增长 速度 （%） 1 0.98 1.1 4 0.97 -0.01 1.1 9 1.02 0.05 1.16 16 0.99 -0.03 1.1 25 0.98 -0.01 1.1 36
lgy
即2002年人口数预计为84.63万元
一般情况下，若各观测值的环比发展 速度或环比增长速度大体相同，或各观测值 对数的一次差大体相同，可配合指数曲线。
2.二次曲线

当现象发展的趋势为抛物线形态时，则 配合二次曲线，即：
ˆ a bt ct 2 Y
根据最小二乘法，得方程：
y na b t c t 2 2 3 ty a t b t c t t 2 y a t 2 c t 4
5 6 7 8 9 10 11 12
48 52 54 50 55 56 51 58
51.0 51.3 52.0 53.0 53.7 54.0 55.0 ---
51.25
51.75
51.00
52.75
53.75
53.00
55.00
---
51.500 51.375 51.875 53.250 53.375 54.000 -----
当样本为大样本时，以时间数列前几项的平 均数替代
例：见书P304
例：某企业某年各月产品库存量如下表：试运 用指数平滑法修匀各月库存量，预测7月份库 存量。
月份 t 1 2 3 4 5 6
库存量yt （百件） 4 6 5 4 6 5
St(1) ( 0.2, S0 5)
4.8 5.04 5.03 4083 5.06 5.05
T4是前三个时间数列值的 加权平均数。
Y1、Y2和Y3的权系数之和等于1。
(1 ) (1 ) 2 1 即：
权系数的选择： 时间数列波动较平稳，在0.1~0.3之间取值
时间数列波动较大，在0.7~0.8之间取值
初始值的选择：
S0(1) 为一未知数，称初始值
当样本为大样本时，以时间数列首项替代
t
为权系数
(0 1)
yt 为 t 期实际观察值 Tt +1为期的一次指数平滑趋势预测值
任何时期指数平滑法的预测值同样也 是时间数列以前所有时期实际值的一个加 权平均数。
例：一个包含三个时期资料的时间数列
Y1 ，Y2 ， Y3 令
(1) T 1 S0 y1
T 2 S1(1) y1 (1 ) S 0(1) y1 (1 ) y1 y1 T 3 S 2(1) y 2 (1 ) S1(1) y 2 (1 ) y1 T 4 S 3(1) y 3 (1 ) S 2(1) y 3 (1 )y 2 (1 ) y1 y 3 (1 ) y 2 (1 ) 2 y1