第一章 集合

注：①对任何集合A，B，A B 当且仅当 A ~ B
②若存在 B B, A ~ B， 则称A的基数不大于B的基
数，记为 A B ③若存在 A B , A B ，则称A的基数小于B的基 数，记为 A B ④ A B, A B , A B 必有一个且仅有一个成立。
定理 3 （Bernstein Theorem) 设A、B是两个非空集合， 如果A对等于B的一个子集，B又对等于A的一个子集，那么 A对等于B。
引入对等的概念，用一一映射去比较两个无限集元素的多少。
例如：任何两个开区间(a,b)与(c,d)间存在一一对应
11
: x a dc ba (x a) c
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) ~ (3) A ~ B B ~ A
(2) A ~ A (4) A ~ B, B ~ C A ~ C
有负有理数集也是可数集。
因此，有理数集 Q Q Q {0} 为可列集。
定理 6：若A中每一个元素可由n个相互独立的记号一对一的加
以决定，各记号跑遍一个可数集，A {ax1,x2 ,...,xn },
( xk
x(1) k
,
x(2) k
,
...;
k
1, 2,..., n)
，则A为可数集。
例题 6 （1）平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集。
注意：这里并不要求 A B (A \ B) B ？ A
4、余集 设 S A ,则 S \ A 表示A关于S的余集，记为 Ac 定理3：(1) S c , c S
(2) A Ac S, A Ac (3) ( Ac )c A (4) A \ B A Bc (5) 若 A B, 则 Ac Bc (6) ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc
n
An
6、单调集列
若An An1,则称An为单增集列.
单调集列是收敛的。
若An An1,则称An为单减集列.
例题 2
An
0, 1
1 n
,
n 1, 2,3,...
试确定An的上极限和下极限。
I U 性质： (1)
lnimAn
Am
n1 mn
利用lnimAn x | 对于任意的N>0, 存在着n N,使得x An来证明。
5、对等（针对集合的概念） 设A、B是两个非空集合，如果存在某 : A 11 B ，则 称A和B对等，记为 A ~ B 规定Ø～Ø
例题 5 设（1）A {1, 2,3,...} B {2, 4,6,...}
11
有 A ~ B ， : A 11 B ， : x a 2x
11
（2）A {1,3,5, 7,...} B {2, 4, 6,8,...} : x a x 1
(2) lim An UI Am
n
n1 mn
U
若
An
为增加集列，则
lim
n
An
An
n 1
I 若
An
为减少集列，则
lim
n
An
An
n 1
例题 3 设An如下一列点集：
A 2 m 1
0,
2
1 2m 1
,
m 0,1, 2,...
A2m
0, 1
1 2m
,
m 1, 2,...
试确定An的上极限和下极限。
i
i
i
L
集合 测度（集合的长度） L积分
第一章 集合
§1. 集合概念
•
§2. 集合的运算
§3. 对等与基数
§4. 可数集合 §5. 不可数集合
§1. 集合概念
• 集合
集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集，将 它们看作一个整体时，就称这个整体为一个集合，用大写 字母A、B、C…表示。其中每个个体事物称为该集合的元 素或点，用小写字母a、b、c…表示。
U A x | 存在某个 使x A
A B x | x A 且 xB
I A x | 对一切 有x A
显然有(1) (A B) A (A B)
(2)若A B , U U 则 A B ， I I A B
定理1 （1）交换律 A B B A, A B B A
Q {x | x p , p Z, q Z, q 0} q
定理1：对任何集合A、B、C，均有 （1）A A （2）A B，B A，则A = B （3）A B，B C，则A C
其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 xB
2、交集
(2)元素 (n1, n2,..., nk ) 是由k个正整数所组成的，其全体成一可数集。
（3）整系数多项式全体是可数集。
Proof: n次整系数多项式 a0 xn a1xn1 ... an1x an 的全体An. 实际上An是由n+1个独立记号 a0 , a1,..., an 所决定，而每个记号各自跑
相等：两个集合有完全一致的元素时称为相等，记 为A=B。
空集：不含任何元素的集合，记为
子集：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集， 记为A B 真子集：若A是B的子集但不等于B，则称A为B的真子集。
注意 和 的区别： ：表示集合和它的元素之间的关系。
：表示集合与集合之间的关系。
集合表示方法： 列举法：将其元素一一列举出来。 特征描述法：将元素所具有的特征以命题的形式描述出来。
11
（3）区间（0，1）和全体实数对等 x (0,1)
: x a tan( x ) 2
注：① 如果一个集合能和它的真子集对等，则这个集合就是无限集。
②如果A是空集或者A和正整数的某截段 {1, 2,...n} 对等，则称集
合A为有限集，这是有限集合不依赖于元素个数的概念。
集合对等的意义：
集合中元素的多少是一个基本的概念。对有限集来说，元素的多 少就是集合中元素的个数；对于无限集来说，没有元素个数这样一 个概念，但有时也需要比较元素的多少，比如：全体自然数集与全 体正偶数集那个集的元素多？映射可以解决这样一个问题。
为可数集。
i 1
定理 5：有理数全体成一可数集合。
Proof:
注意到每个有理数都可以写成既约分数
m n
的形式，其中 m Z, n N
设
A
,1 2 3
i i , i , ...
, i 1, 2,3,...，则每个 Ai 都是可数集。由定理结论可
知，正有理数集与自然数集对等，所以正有理数集是可数集。同理所
4、逆映射
设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y
令 : y | x , 确实使唯一的 x 与 y 相对应，即 是映射，
则称 是 的逆映射，也记为 1 : B 11 A
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可 以看成它的定义域到值域中的一一对应，其反函数就是一个逆映射。
1 n
1,
1 2
,
1 3
,...,
1 n
,...
,
cos nx cos x, cos 2x,..., cos nx,...
定理 1：任何无限集合都至少包含一个可数子集。
注：此定理说明，任意无限集总存在一个子集与N对等，于是由基数大小关系 的定义，可知任意无限集的基数都大于或等于N的基数a,也就是说，可数集的 基数a是所有无限集基数中最小的一个。
作用：
是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿-莱布尼兹 所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更 加完美对称。
缺点：黎曼意义下可积的函数类太少。
1 x为有理数 例如： D(x) 0 x为无理数
在黎曼意义下不可积。
黎曼积分的缺陷（内填外包法）
miXi f (i )Xi MiX i
2、A到BΒιβλιοθήκη Baidu的映射
如果 A B ，就称 是A到B上的映射，也称映射 是
“到上”的（满射）.
注意两者的关系：
是A到B上的映射 → 是A到B内的映射
3、一一对应
设 为A到B上的一个映射.如果对每一个 y B，只有唯
一的 x 满足 (x) y，则称 为A到B上的一一映射，也
称一一对应，写作1—1对应，也记为 A 11B 若 为 A B的一个满射且为单射，则称 为 A B的一个一一映射。
实变函数与泛函分析 基础
王琼 wangqiong@cczu.edu.cn
实变函数
• 第一章 集合 • 第二章 点集 • 第三章 测度论 • 第四章 可测函数 • 第五章 积分论
泛函分析
• 第七章 度量空间和赋 范线性空间
• 第八章 有界线性算子 和连续线性泛函
第一篇 实变函数
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒 贝格（Lebesgue，1875-1941）创立的。
5、上限集、下限集
上限集：设A1 ，A2 ，…An，…是任意列集，由属于上述 集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一
集列的上限集或上极限，记为
lnimAn 或
lim
n
sup
An
lnimAn x | 存在无穷多个An ,使x An
下限集：设A1 ，A2 ，…An，…那种除有限个下标外，属
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
U U 若 An ~ Bn, n 1, 2,... ， 则
An ~ Bn
n1
n1
6、集合的基数 基数：把所有的集合进行分类，两个集合当且仅当它们对等 时属于同一类，每一类给于一个特定的记号，称这个记号是 该类中每一个集合的基数，又称势。集合E的基数记为 E
则
n
I
i 1
Ai
x
|
0
x
1
1 n
I Ai x | 0 x 1
i 1
n
UAi x | 0 x 2
i 1
（2）设
Ai
x
|
1 i
x
1
i
,
i 1, 2,....
则
n
I
i 1
Ai
x
|
1 n
x
1 n
,
I Ai {0},
i 1
n
U Ai {1 x 1}
i 1
3、差集 C A B A\ B x | x A 但 xB
遍可列集Z的那些元素所组成，所以An为可数集。让n分别取0,1,2,…， 得一列可数集A0,A1,…，于是整系数多项式的全体就是可列个可数集之 并，也为可数集。
于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的
下限集或下极限，记为
lim An
n
或 liminf n
An
lim An x |当n充分大以后都有x An
n
显然有 lim An n
lim
n
An
极限：如果
lim An
n
lnimAn，则称集列{An}收敛，将这称
为集列 {An}的极限，记为
lim
§3 对等与基数
1、A到B内的映射
设A、B为两个非空集合，如果有某一法则 ，使每个x A 有唯一确定的 y B 和它对应，则称 为A到B内的映射，
记为 : A B y (x) : x | y
集合A称为映射 的定义域，设C是A的子集，C中所有 元素的像的全体，记为 (C)，称它是集C在 之下的像( A) 称为映射 的值域.
定理 2：可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数
集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。
注：我们有时把有限集与可列集统称为至多可列集。
定理 3：设A为可数集，B为有限或可数集，则A B为可数集。
定理
4：设
Ai (i
1, 2,...)
都是可数集，则
UAi 也是可数集。
i 1
n
推限论集：或是设可Ai 数(i 集1,，2,但...,如n)果是至有少限有集一或个是A可i 是数可集数，集则，Ui则1 AiUn也Ai是必有
（2）结合律 A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
A ( U B ) U ( A B )
（4） A A A, A A A
掌握两个集合相等的证明
例题
1：设（1）Ai
x
|
0
x
1
1
i
,
i 1, 2,...
§4 可数集合
1、可数集合（可列集合） 凡是和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数 集合或可列集合。
一个集合A为可数集的充要条件是A的一切元素可以用自然
数加以编号，使之成为无穷序列的形式，即 A a1, a2,..., an,...
通常记为可列集的基数为 a或0 。
例如： 1n
,
cos nx 都是可数集，因为它们的元素可以排成如下的无限序列
按照基数的说法就是：A B, B A ，则 A B
该定理提供了判断两个集合对等的方法。
设A B C,且A ~ C,则A ~ B ~ C
说明：对有限集来讲，基数就是集合所含元素的个数。基数是一切彼此 对等的集合之间的某种共同属性，是有限集的元素个数概念的推广。
例如：自然数集与正偶数集对等，虽然正偶数集是自然数集的真子 集，但是它们的基数相等，认为他们的元素是“一样多“的。