数学分析 第六章 课件 不定积分

e c
u
1 2
e2 x c
定理6.3 （凑微分法或第一换元法） 设 g (u ) 具有原函数 G (u ) , 即
g (u ) du G (u ) c
u ( x ) 可导, 记 f ( x ) g ( ( x )) '( x )) ，则有
f ( x ) dx g ( ( x )) '( x )) dx g (u ) du
总结上面几例，我们利用三角公式， 对一些无理式作了如下代换： 对于 对于 对于
a x ，令 x a sin t , t
2 2

2

2
x a
2
2
，令 x a tan t , t
x a
2
2
，令 x a sec t , 0 t

2
或 t

2
目的在于消去根号，因为它们比较典型， 故特别称之为三角代换。
例： cos 2 xdx
e
2x
dx
一. 换元积分法
e 2 x dx 公式表中只有 先看例子： 求
比较两积分：凑一个因子2
e x dx e x c
e dx
2x
1 2
e 2 dx
2x
1 2
e d (2 x )
2x
1 2
e u du

一般情况：
1 2
2 2
dx
1 cos x
2

1 sin x
2
) dx tan x cot x c
x3 x 1 例5. 求 dx 2 1 x x3 x 1 1 1 2 解： 1 x 2 dx ( x 1 x 2 )dx 2 x arctan x c
dx
2
arctan x c arc cot x c
四、不定积分的运算法则
微商运算法则 不定积分的运算法则
定理6.2
1、 2、
（线形运算法则）
( f ( x )) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x )dx
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
证：
1 F ( ( x )) c F (t ) ( x ) f ( (t )) ' (t ) ' f ( x) (t )
1 ' ' 1 '
例9
求

dx x a
2 2
（a>0）
令 x a tan t , t

2
,则 dx
幂函数与指数函数乘积的积分
p ( x )e
ax
dx
例14
arcsin xdx
x 2 ln xdx
例15
总结：选
v ( x) p( x)
'
p ( x ) arcsin xdx p ( x ) arctan xdx
p ( x ) ln
m
xdx
有时分部积分后会遇到原来的不定Leabharlann Baidu分。注意加c
所以
sec3 t
1 2
[sec t tan t ln | sec t tan t |] c

x d dx 1 a 1 arctan x c x 2 a x2 a2 a a 1 ( ) a
例3 求 解：

dx
2
dx
a2 x2

a x
2

x d a x 2 1 ( ) a
arcsin
x a
c
例2 求 解:


x
dx
2
a2
x
2a 1 2a
f ( x ) dx
从而 ,若F (x)为f (x)在I上的一个原函数，则有
f ( x ) dx F ( x ) C ,
例2 cos xdx sin x c ; 注 意
2
C为任意常数
x3 3 C ;
x dx
x dx ln | x | C
1
这里没有注明x的变化范围， 通常都理解为使等式成立的x的全体。 不定积分不是一个函数，而是一族函数， 在几何上他是一族曲线，称为积分曲线， 只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而 得到。
sec xdx cos x

由例2得，
d sin x cos x
1 2 ln
2

d sin x 1 sin x
2

1 2
sin x 1 sin x 1
c
ln
sin x 1 sin x 1
c ln sec x tan x c
增加
tan xdx ln cos x c cot xdx ln sin x c
G (u ) c G ( ( x ))) c
证明：与复合函数的微分法则对应 例： sin 2 xdx 1 sin 2 xd (2 x ) 1 cos 2 x c 2 2 dx xa ?
sin x cos xdx ?
例1 解:
求
dx x2 a2
第六章 不定积分
两个方面 1、 数学上很多方面都存在逆运算： 加 减 乘 除 2、 实际问题： 求瞬间的速度 前面，已知质点的运动规律S=S（t） ， V=V（t），只需将S=S（t）对t求微商就可以了。 相反的问题：已知瞬时速度V=V（t）求运动规律： 这就是求微商运算的反问题。 开方 乘方 求导 ？
解法2：

dx x (1 x )

2d x 1 x
2
2 arcsin x c
增加
cos
2
xdx
1 cos 2 x 2
dx
1
dx cos 2 xdx 2
2 4 有些积分不能直接凑出微分.而是选择变量替换

1
x
sin 2 x
c
x (t )
例17 求
sec 3 tdt
解： 原式= sec td tan t sec t tan t

tan 2 t sec tdt
sec t tan t (sec 3 t sec t ) dt
sec t tan t ln | sec t tan t | sec 3 tdt
强调
cos xdx sin x c
sec

2
sin xdx cos x c
csc
2
xdx tan x c
1 1 x
2
xdx cot x c
1、背熟
dx arcsin x c arccos x c
2、积分常数不 能丢
1 x
问题一
问题二
存在性：哪些函数一定存在原函数？
且有：若F（x） 唯一性： 由定义，显然不唯一， 为 f（x）的一个原函数， 则对任意常数C， F（x）+C也是f（x）的一个原函数。 这也说明， 若f（x）存在一个原函数， 则其必有无穷多个原函数。
问题三
若F（x）为f（x）的一个原函数， F（x）+C 是否所有的原函数？ 即：是否f（x）的每一个原函数都具有 F（x）+C的形式？
a sec 2 tdt

dx x a
2 2


a sec 2 t a sec t
dt sec tdt ln tan t sec t c
ln
x a

a2 x2 a
c
ln x a 2 x 2 c1
其中
c1 c ln a
例10 求

dx x2 a2
例6. 求
(2 x 3 x ) 2 dx
x
解：
(2
3 ) dx (4 9 2 6 ) dx
x 2 x x x

4
x
ln 4

9
x
ln 9

26
x
ln 6
c
第二节 换元积分法与分部积分法
前面给出了基本积分表和分部积分的性质，但所能 计算的积分非常有限，且不能总用定义求。
证明：说明一下法则的体系（极限求导……
例3. 求
解:
sin
sin
2
2
x 2
dx
1 cos x 2 dx 1 2 ( x sin x ) c
x 2
dx
例4. 求 解:
sin
2
dx
2
x cos 2 x
sin
(
dx x cos x
2

sin 2 x con 2 x sin x cos x
dt sec tdt ln(sec t tan t ) c
x2 a2 a
作辅助三角形 得到 因此：原式 其中
x ln a
tan t
x2 a2 2 2 c1 ln( x x a ) c a
c c1 ln a
三、基本积分公式表
由定义知：
[ f ( x ) dx ]' f ( x ) 或
d [ f ( x ) dx ] f ( x ) dx
F '( x ) dx F ( x ) C
注 意
或
dF ( x ) F ( x ) C
1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。
第一节 不定积分的概念
一、原函数
定义 1 设函数 y f ( x)在区间X 内有定义 ,
如果存在X 内的函数F ( x)，使得
F ( x ) f ( x )
则称F ( x)是f ( x)在X上的一个原函数。
例1
sin x cos x

则 sin x 是cos x 的一个原函数.
1 2a
dx
2
a
2


( x a x a )dx 2a
2a 1 d ( x a) xa 1
1
1
1
1
d ( x a) xa
ln x a
ln xa xa
2a
ln x a c
c
例4. 求 解法2:
sec xdx
dx
cos xdx cos 2 x
'
这个公式称为分部积分公式。 关键：适当选取 u ( x )和 v ( x ) ，使 v ( x )du ( x )容易求 。
例13
x cos xdx
x 2 e x dx
选 u ( x) p( x)
总结： 幂函数与正（余）弦函数乘积的积分
p ( x ) sin bxdx
p ( x ) cos bxdx
2．分部积分法
由乘积的微商公式：
[u ( x )v ( x )] u ( x )v ( x ) u ( x )v ( x )
'
u ( x )v ' ( x ) [u ( x )v ( x )] u ( x )v ( x )
故 或
u ( x )v ( x )dx u ( x )v ( x ) u '( x )v ( x )dx u ( x )dv ( x ) u ( x )v ( x ) v ( x )du ( x )
( a 0)
0t
解：设
则
x a sec t ,

2
或 t
3 2
x
x2 a2
x 2 a 2 a sec 2 t 1 a tan t
dx ad sec t a sec t tan tdt
t
a
于是
dx x a
2 2

asect tant a tan t
定理6.4 （第二换元法）
' x (t ) 可导，且 (t ) 0 设
又设 则

f ( (t )) ' (t ) dt F (t ) c
f ( x ) dx

f ( (t )) ' (t ) dt F (t ) c
F ( 1 ( x )) c

dx x (1 x ) dx x (1 x ) dx xx
2
例5 求
解法1： 由例3得


1 dx 2 1 1 x 4 2
2

1 x dx 2 c arcsin(2 x 1) c arcsin 1 x (1 x ) 2
2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基 本积分公式表：
x
1
dx ln | x | c ( x 0).
ax ln a
x dx
a
1 1 a
x a 1 c ( a 1, x 0).
a dx
x
c ( a o, a 1)
e x dx e x c
回答：下面的定理：
定理6.1
若 F (x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数，则 F (x) +C 是 f (x) 的全体原函数，其中 C 是任意常数。 证明：Lagrange中值定理的推论。 根据原函数的这种结果，引入定义。
二、不定积分的概念
定义6.2
f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在区间 I 上的 不定积分，记为