圆的切点弦方程的九种求法

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切线方程与切点弦方程

切线方程与切点弦方程一、圆的切线方程一、圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r21. 已知：圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2, 圆上一点P(x0, y0)。

求过点P的切线方程解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式) 展开后: x0x- ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02 - y02 = 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：(x0 - a)2 + (y0 - b)2 = r2化简: x02 - 2ax0 + a2 + y02 - 2by0 + b2 = r2移项: - x02 - y02 = -2ax0 - 2by0 + a2 + b2 - r2 (2)由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2 + b2 - r2)= 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb- by0 + b2) = r2 整理： (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圆外一点P(x0, y0)二、对于圆的一般方程:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2. 已知:圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)解：圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02 - y02 = 0 (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：x02 + y02 + Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x02 - y02 = Dx0 + Ey0 + F (4)。

圆的切点弦方程公式推导过程

圆的切点弦方程公式推导过程圆的切点弦方程是描述圆的几何性质的重要公式之一。

它可以帮助我们求解圆与直线的交点，并进一步研究圆与直线的关系。

我们来看一下圆的切点的特点。

圆的切点是位于圆上的一个点，通过这个点可以画一条切线，这条切线与圆相切，也就是说切线只与圆的一个点相交。

假设圆的方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

我们要求解的是切点的坐标(x₀,y₀)。

现在，我们来推导切点弦方程。

首先，设切线的方程为y=kx+d，其中k是斜率，d是截距。

切线与圆相切，意味着切线与圆只有一个交点，也就是切点。

所以，我们可以将切线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

由于切点只有一个，所以这个二次方程的判别式(D=b²-4ac)应该为0。

将切线方程代入圆的方程，得到：(x-a)²+(kx+d-b)²=r²展开并化简上式，得到：(x²-2ax+a²) + (k²x²+2kdx+d²-2bky-2bkx+b²)=r²合并同类项，得到：(1+k²)x² + (2kd-2bk)x + (a²+d²-2bky+b²-r²)=0这是一个关于x的二次方程，判别式为0。

所以，我们可以得到：(2kd-2bk)²-4(1+k²)(a²+d²-2bky+b²-r²)=0化简上式，得到：(4k²+4)(b²-r²)+(4d²-8bky+4a²-4r²)=0再进行整理，得到：4k²b²-4k²r²+4b²-4r²+4d²-8bky+4a²=0上式中的k、b、r、d都是已知的数值，所以这是一个关于y的一元二次方程。

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

结论 3.过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P( x0 , y0 )
作与圆相切的两直线的切点弦所在直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
2 2 2
且与圆相切的直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
变式训练 1 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切的直线方程.
变式训练 2 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切直线有两条，切点分别为 A，B，求过 A，B 两点的直线方程。
6.2.1
圆的切线方程和切点弦方程
例 1.求过点 A(2, 2) 且与圆 C : x2 y 2 8 相切的直线 l 的方程.
变式 1-1.求过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与
2 2 2
圆相切的直线方程.
变式 1-2. 求证 : 过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 上一点
（2015 重庆）若点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________．
2 （2013 山东）过点（3，1）作圆 x 1 y 1 的两条切线， 2
切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 A． 2 x y 3 0 C． 4 x y 3 0 B． 2 x y 3 0 D． 4 x y 3 0
结论 1.过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与圆相
2 2 2
切的直线方程为 x0 x y0 y r 2 .

高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论

第3讲圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r −+−=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=. 2求过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=典型例题【例l 】圆()22:14C x y −+=在点(P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()0114x −−=，化简得：30x +=.【答案】30x +=变式1 圆22:230C x y x +−−=在点(2,P 处的切线方程为______.【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为222302xx +−−⋅−=，化简得：50x −=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到.【答案】50x −=变式2 已知圆()22:14C x y −+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P −的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =−与圆C 不相切，故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k −+=2=，解得：k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)25y x =±+；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x −=−，即130mx y m −+−=2=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()3134y x −=−−，化简得：34130x y +−=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +−=.【答案】（1）)2y x =+；（2）3x =或34130x y +−= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +−= 【答案】2340x y +−=变式1 已知圆22:2410C x y x y +−−+=外一点()2,1P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y −++−+−⋅−⋅+= 化简得：310x y +−=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】310x y +−=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PAOB 的面积122S AP AO =⨯⋅=由题意，12=，解得:PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则PO == 解得：6m =−或2，当6m =−时，()6,2P −−，此时直线AB 的方程为624x y −−=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +−=，所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +−=【答案】320x y ++=或320x y +−=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PACB 的面积122S AP AO =⨯⋅=PO 最小时，S 也最小，此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y −=，联立20260x y x y −=⎧⎨++=⎩解得：65x =−，125y =−，所以612,55P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y −−=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（）A. B. D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++−=，所以直线AB 过定点()1,1Q −，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫− ⎪⎝⎭为半径的圆，显然点()4,0T −在该圆外，所以minTMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +−=在点(P 处的切线方程为（）A.20x +−=B.40x +−=C.40x +=D.20x +=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为11402xx y +⋅+−⋅=，化简得：20x +=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +−=，则：（1）圆C 的过点()0,2P −的切线方程为______；（2）圆C 的过点()1,1Q −的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x −−=−，即20kx y −−=1=，解得：k =±C 的过点P的切线方程为2y =±−；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x −−=−，即10mx y m −−−=1=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()()3114y x −−=−−，化简得：3410x y ++=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++=【答案】（1）2y =±−；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y −+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y −−+=，化简得：230x y +−=. 【答案】230x y +−=4.（★★）已知圆()()22:129C x y −+−=外一点()4,2P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y −−−+−−=，化简得：45x =−.【答案】45x =−5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=外一点()4,1P −−，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y −−−−−⋅−⋅−=，化简得：5320x y +−=.【答案】5320x y +−=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅=由题意，12=，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m −−，则PC =5=，解得：4m =−或1，当4m =−时()4,2P −，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y −++−+−⋅−⋅−=，化简得：45x =−，当1m =时，()1,3P −，此时直线AB 的方程为133244022x yx y +−+−−⋅−⋅−=，化简得：15y =，所以直线AB 的方程为45x =−或15y =.【答案】45x =−或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =.如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅= 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥，故PC 的方程为21y x −=−，即10x y −+=，联立1020x y x y −+=⎧⎨++=⎩解得：32x =−，12y =−，即31,22P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫−−−+−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y −+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==，所以四边形PAMB 的面积122S AP AM =⨯⋅=，所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =−+=−+=−+，故当t =PM 取得最小值，此时(2,P ±，所以直线AB 的方程为()()2444x −−±=，化简得：20x ±−=.【答案】20x +−=或20x =−=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =，设(),2P m m −−，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y −−+−−−−=，化简得：()140m x y x y −+−−=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CK ==，因为GT =min 12TQ GT GK =−=.【答案】10。

圆的切点弦及其求法

y 1 y = R , x 2 x + y 2 y = R , 由 PA 与 PB 交
2 2
于点 P , 所以 P 点坐标满足直线 PA 与 PB 的方程 , 于是有 : ax 1 + by 1 = R 2 , ax 2 + by 2 =
R , 上述两式说明 : A , B 两点坐标均满足方
2
又弦 A B 为两圆的公共弦 , ∴ 由圆系方 2 2 程 ( x + y + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0 , 令 λ = - 1 即可得切点弦 A B 的方程 : ax + by - R = 0 . 解法 2 以 P 为圆心 , A P 为半径作圆 P ( 这里 PA = PB ) , 则弦 AB 为两圆的公共弦 , 又圆 P 的方程为 : ( x - a) 2 + ( y 图2 解法 2 图 b) 2 = | PA | 2 = | PO | 2 2 - | OA | , 即 ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = a2 + b2 - R 2 , 亦即 x 2 + y 2 - 2 ax - 2 by + R 2 = 0 , 由圆系方程 ( x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 +
( 收稿日期 :2001 - 08 - 06)
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切点弦过定点公式

切点弦过定点公式接下来，我们来寻找切点和弦的关系。

1.切点公式：首先，我们找到圆上与点P连线垂直的切点T。

切点T与圆心O连线与切线PT垂直。

我们可以使用向量的方法来表示切点的坐标。

假设切点T的坐标为(Tx,Ty)。

首先，我们求出圆心O与切点T之间的向量，根据勾股定理可知：OT的模长=rOT的单位向量=(TxOx,TyOy)/r根据切线与半径垂直的条件，可以得到：OT与PT的点积=0(TxOx,TyOy)·(PxOx,PyOy)=0根据点积的定义，我们可以将上式展开计算得到：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0进一步化简就可以得到切点T的坐标(Tx,Ty)。

2.弦过定点公式：接下来，我们来寻找过定点P的弦与切点T的关系。

假设弦与切线PT的交点为Q，弦的两个端点分别为A和B。

我们要求的就是点Q的坐标(Qx,Qy)。

首先，我们将弦PA的斜率表示为k1，弦PB的斜率表示为k2，这里k1和k2可以通过两点间的斜率公式计算得到。

我们可以得到以下关系式：k2=k1设弦PA的方程为yPy=k1(xPx)设弦PB的方程为yPy=k2(xPx)将k2替换成k1，并将yPy移项整理得到：k1xy+(Pyk1*Px)=0由于弦过切点T的坐标为(Tx,Ty)，我们可以通过将坐标代入上述方程得到：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0解上述方程可以得到k1的值，进而可以计算得到点Q的坐标(Qx,Qy)。

综上所述，切点弦过定点的公式如下：切点T的坐标(Tx,Ty)：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0点Q的坐标(Qx,Qy)：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0。

圆的切点弦公式

圆的切点弦公式在几何学中，圆的切点弦公式是指通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等的关系。

这个公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

下面我们将详细介绍圆的切点弦公式，并通过具体例子来说明其应用。

让我们来了解一下圆的基本概念。

圆是由一条固定点到平面上所有与该点的距离相等的点组成的图形。

圆上的每个点都可以看作是圆心到该点的半径的终点。

圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。

圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。

接下来，让我们来探讨圆的切点弦公式。

假设有一个圆，其中O表示圆心，AB是该圆上的一条弦，P是弦AB上的一个切点。

根据圆的性质，切线与半径垂直，因此OP与弦AB垂直。

设弦AB的长度为a，切点P到圆心O的距离为h，OP的长度为x。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)其中，r是圆的半径。

这个公式可以通过几何推导得到，但为了避免使用数学公式，我们在此不做详细介绍。

这个公式的含义是，通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等。

下面，我们通过一个具体的例子来说明圆的切点弦公式的应用。

假设有一个半径为5cm的圆，弦AB的长度为12cm，求切点P到圆心O的距离。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)代入已知条件，可以得到：x * x = h * (2 * 5 - h)x * x = h * (10 - h)由于弦AB的长度为12cm，根据圆的性质，弦的长度等于半径与切点到圆心距离之间的距离的两倍。

因此，我们可以得到以下等式：2 * x = 12x = 6将x = 6代入上述等式，可以得到：36 = h * (10 - h)通过解这个二次方程，我们可以得到h的值。

求解过程略去，在此不再详述。

最终解得h的值为4cm。

因此，切点P到圆心O的距离为4cm。

通过这个例子，我们可以看到，圆的切点弦公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

怎样求圆的切点弦方程

一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

圆的切点弦方程公式推导

圆的切点弦方程公式推导要推导圆的切点弦方程公式，首先我们需要了解一些基本知识。

1.圆的定义：圆是平面上离一个固定点的距离等于一定值的点的集合。

这个固定点叫做圆的圆心，距离等于一定值的这个值叫做圆的半径。

2. 圆的参数方程：圆的参数方程可以表示为：x = a + r * cosθ,y = b + r * sinθ，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度，θ为参数的取值范围。

3.切线的定义：切线是与曲线在其中一点相切且与曲线在这一点处相切的直线。

推导切点弦方程的过程如下：设圆的圆心为C(a,b)，半径为r。

圆上任意一点P(x,y)。

1.写出圆的参数方程：根据圆的参数方程可以得到：x = a + r * cosθ，(1)y = b + r * sinθ，(2)2.画出切线与圆的示意图：画出圆，并在圆上任意取一点P，然后在P点处画出一条切线。

假设切点为T(x1,y1)。

3.求出P点到圆心C的距离：根据圆的定义可知，点P到圆心C的距离等于圆的半径r。

因此可以得到以下关系：√((x-a)²+(y-b)²)=r，(3)4.P点到圆上任意一点T的距离等于0：由于P点在切线上，所以P点到切点T的距离为0。

根据距离公式，可以得到以下关系：√((x1-x)²+(y1-y)²)=0，(4)5.消除θ的影响：将式(1)和式(2)带入式(4)中，可以得到：√((x1 - [a + r * cosθ])² + (y1 - [b + r * sinθ])²) = 0。

6.化简方程：将上式进行展开和化简，可以得到：(x1 - a) * cosθ + (y1 - b) * sinθ = 0，(5)7.代入切点的坐标：由于切点的坐标为T(x1,y1)(x1 - a) * cosθ + (y1 - b) * sinθ = 0。

8.弦方程公式：令弦的斜率为k，根据切线与弦的关系可知，切线的斜率与弦的斜率相等。

如何求圆的切线方程

如何求圆的切线方程如何求圆的切线方程在直线与圆的位置关系中，相切是一个重要的位置关系。

众所周知，在圆上的点可以作一条直线与该圆相切，过圆外一点可以作二条直线与该圆相切。

在历年高考中，常常出现在选择题中。

本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论，供同学们参考。

1、利用几何性质来求切线方程当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。

因此，利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程。

例1 已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，圆外一点P （3，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。

解：当过P 的直线的斜率不存在时，显然不是圆的切线。

故设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(3)y k x -=-。

由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离d 等于半径2，即：22|12(03)||31|211k k d k k ----===++ 解之，得：3265k ±= 所以，切线方程为：3262(3)5y x ±-=- 点评：求切线方程时，点到直线的距离公式相当重要，不能记错。

设直线方程时，一定要考虑直线的斜率不存在时的情况，避免漏解。

2、利用方程的判别式来求切线方程当直线与圆相切时，直线与圆只有一个公共点，此时方程与直线联立方程，利用判别式等于零即可以求出切线方程。

例2 已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，圆外一点P （2，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。

解：当过P 的直线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线。

当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(2)y k x -=-。

直线方程与圆的方程联立，可得：222(1)2(12)4430k x k k x k k++-+--= 因为直线与圆只有一个公共点，故22224(12)4(1)(443)0k k k k k ?=--+--= 解之，得：34k =- 故所求的切线方程是：32,2(2)4x y x =-=-- 点评：利用判别式求解时，计算量比较大。

圆的切点弦方程及其应用

圆的切点弦方程及其应用
圆的切点弦方程是指过圆的切点的直线方程。

设圆的方程为
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，过圆
的切点的直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

应用方面，圆的切点弦方程可以用于求解圆与直线的交点坐标，判断直线与圆的位置关系等。

下面以求解圆与直线的交点坐标为例展开解释。

设直线方程为y=mx+c，代入圆的方程得到：
(x-a)^2 + (mx+c-b)^2 = r^2
展开化简后得到关于x的二次方程：
(x^2 + (m^2+1)x + 2mc-2mb+ b^2 - r^2) = 0
对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为：
x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)
对于圆与直线的交点，代入上述公式即可求解出交点的x坐标，再代入直线方程求得对应的y坐标。

注意，若判别式b^2-4ac
为负数，则说明直线与圆无交点。

通过求解圆与直线的交点坐标，我们可以得到直线与圆相交的位置关系，如直线与圆相切或相离，交点的个数等。

切线方程与切点弦方程

切线方程与切点弦方程、圆的切线方程、圆的方程为:(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2, 圆上一点P(x0, y0)。

求过点P 的切线方程解：圆心C(a, b);直线CP 的斜率：k i = ( y o- b)/( x o- a)因为直线CP与切线垂直，所以切线的斜率：k2 = -1/k i = - (x o - a) / (y o - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y o = k2 (x - x o)y - y o = [- (x o - a) / (y o - b)] (x - x o)整理得：(x - x o)(x o - a) + (y - y o)(y o - b) = o (切线方程公式)展开后: x o x - ax + ax o + y o y - by + by o - x o2 - y o2 = o (1)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程：(x o - a)2 + (y o - b)2 = r2化简: x o2 - 2ax o + a2 + y o2 - 2by o + b2 = r2移项: - x o2 - y o2 = -2ax o - 2by o + a2 + b2 - r2 (2)由(2)代入(1), 得：x o x - ax + ax o + y o y - by + by o + (-2ax o - 2by o + a2 + b2 - r2) = o 化简：(x o x - ax - ax o + a2) + (y o y - yb- by o + b2) = r2 整理：(x o - a)(x - a) + (y o - b)(y - b) = r 2变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圆外一点P(x o, y o)二、对于圆的一般方程:x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 过圆上的点的切线方程.2.已知:圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 圆上一点P(x o, y o)解：圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP 的斜率:k i = (y o + E/2) / (x o + D/2)因为直线CP与切线垂直,所以切线的斜率：k2 = -1/k i = - (x o + D/2) / (y o + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程：y - y o = k2 (x - x o)y - y o = [- (x o + D/2) / (y o + E/2)] (x - x o)整理得：x o x + y o y + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Ey o/2 -x o2 - y o2 = o (3)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程:x o2 + y o2 + Dx o + Ey o + F = o 移项： - x o2 - y o2 = Dx o + Ey o + F由(4)代入(3),得：x o x + y o y + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Ey o/2 + Dx o + Ey o + F = 0(4)整理,x o x + y o y + D(x + x o)/2 + E(y + y o)/2 + F = 0变式-2 已知：圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x o, y o)二、圆的切点弦方程证明：遼尸h ,y0) 工—鼠辻点P柞圖4?的妁两卷切虬切点是召，卿直戏拙的牙裂足…+ i'0i-十乏t D-如!空E十F■ 0一UW：点平肴叮于—识晶壮一洼应逼耳C 屛只匚於衽说兮虽齢酋詢相畫艺.以P.C为宝.疵肚血韵芭的左;丄更-(.t + -^a)亠Q' * f)〔F -l-'c) = o.■ *即x1+ r* + (半-x c)x + (y ~Jt3)y -~^t-yj( 一0............. ①^x'+ t J + Z>.t + + 7" = 0................................................... 怎三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(x o, y o)是圆锥曲线上(外)一点，过点P引曲线的两条切线, 切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。

点关于圆的切点弦方程的探求

点关于圆的切点弦方程的探求
圆的切点弦方程是对圆的深入理解的一种方式，在我们的日常生活中，我们接
触到的圆的切点弦方程体现在很多方面，以下整理了有关圆的切点弦方程的几种探求方法。

所谓圆的切点弦方程，即指由圆心到圆上任一切点的距离，就是固定的一个值，可用弦长表示，此时，对于任何一个圆，都有具体的切点弦方程，其公式为
{x^2+y^2=r^2}，其中，x为圆心到切点的横坐标，y为圆心到切点的纵坐标。

首先，可以先根据圆心位置和半径确定圆的切点弦方程，即以圆心的位置作为
原点，圆的半径即为弦的长度，确定后带入切点弦方程即可。

其次，可根据圆上的给定点，求解出其他点的坐标，即求出圆心到切点的距离，然后带入切点弦方程，进行积分求出。

最后，可从圆的切点弦方程出发，进行反推，求出圆心的位置和半径。

圆的切点弦方程不仅涉及数学的角度，也应用于我们的日常生活中，如工业生产、建筑设计等，中，都有各自的圆的切点弦方程的运用，积极的研究与探索，可以帮助我们更好的学习与运用。

总之，圆的切点弦方程是一种深入理解圆的概念，用于探求圆形相关事物的有
效方式，无论是从数学角度，或从实际应用角度，都有着重要且重要的作用。

圆的切线方程求法PPT课件

kCA kAM 1
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
已知圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r，2
求经过圆外一点 M (x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况：经过圆外一点可以作两条切线思路二：求切线斜率
例1：已知圆C的方程为(x 1)2 ( y ，1)2 5
求经过圆上一点 M (2的,3)切线方程。
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 x2 y2 ， r求2 经过圆上
一点 M的(切x0线, y方0 ) 程。
练习：已知圆C的方程为 x2 y2 10 ，求经过点P（1,3）的圆的切线方程。
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四、总结
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四、练习
1.求圆C x2 y2 4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
2.已知圆C的方程为 x2 ( y 2)2 1，求经过原点的切线方程。
3.已知圆C的方程为 x2 y2 2 y 0，求该圆的斜率为1的切线方程。
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径
圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k(x x0 )
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圆的切线方程问题专题

整理课件
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课后练习
1、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程？
2、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为____________． 3、求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程.
4、如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y ＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x －1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
整理课件
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跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4，即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
整理课件
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课堂总结
(1)已知圆 x2y2D xE yF0
．
①若已知切点 ( x 0 , y 0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0
0
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
y kxb ③斜率为k的切线方程可设为
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆 x2 y2 r2
．
①过圆上的 P0(x0, y0) 点的切线方程为 x0xy0yr2
; ②斜率为
k 的圆的切线方程为
ykxr
1k2
（3）过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2
x 0 x y 0 y D (x 0 2 x ) E (y 0 2 y ) F 0

圆的切点弦方程的九种求法

切线方程与切点弦方程

最新圆的切点弦方程

圆的切点弦方程公式推导过程

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论

圆的切点弦及其求法

切点弦过定点公式

圆的切点弦公式

怎样求圆的切点弦方程

圆的切点弦方程公式推导

如何求圆的切线方程

圆的切点弦方程及其应用

切线方程与切点弦方程

点关于圆的切点弦方程的探求

圆的切线方程求法PPT课件

圆的切线方程问题专题