对偶理论(第三章线性规划3)
3对偶理论
4
0
0 4
8
C (2, 3)
b
16
12
X
(x1, x2 )T
x1 x2
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
4
x1
16 4x2 12
x1, x2 0
max
z
(2, 3)
x1 x2
CX
1 2
8
4 0
0 4
x1 x2
16 12
总利润（元）
单位产品旳利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2x2
c2 x2
s.t.
a11x1 a12x2
a1n xn xn1
b1
a21x1 a22 x2
a2n xn
xn2
b2
am1x1 am2 x2
消耗旳资源（吨） x1
x2
单位产品消耗旳资源（吨/件）
amn xn xn xn1 xn2
2x1 3x2 7x3 4x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无约束
答案： 1. maxW 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y 2 y 3 2
3y
5y
1 1
y 2 4y 3 7y 2 6y 3
2 4
y1 0, y 2 .y 3 0
2. maxW 3 y1 5 y2 2 y3
对偶问题
min W 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 3 4 y3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
例4、线性规划问题如下：
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
第三章 线性规划及其对偶问题
第三章 线性规划及其对偶问题线性规划是最优化问题的一种特殊情形，也是运筹学的一个重要分支，它的实质是从多个变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）．线性规划的应用极为广泛，自1949年美国数学家G. B. Dantzing 提出一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划无论在理论上、计算方法和开拓新的应用领域中，都获得了长足的进步，线性规划从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都有广泛的发展和应用．本章主要从线性规划的基本概念、数学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等方面进行介绍．§3.1 线性规划数学模型基本原理一、线性规划的数学模型满足以下三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型：（1）每一个问题都用一组决策变量T n x x x ][21，，， 表示某一方案；每一组值就代表一个具体方案．（2）有一个目标函数，可用决策变量的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．（3）有一组约束条件，可用一组线性等式或不等式来表示． 线性规划问题的一般形式为1211221111221121122222112212max(min)()()()..()0n n n n n n n m m mn n m n f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，，，．这里，目标函数中的系数n c c c ，，， 21叫做目标函数系数或价值系数，约束条件中的常数m b b b ，，， 21叫做资源系数，约束条件中的系数；，，，m i a ij 21(= )21n j ，，， =叫做约束系数或技术系数．二、线性规划问题的标准形式所谓线性规划问题的标准形式，是指目标函数要求min ，所有约束条件都是等式约束，且所有决策定量都是非负的，即1211221111221121122222112212min ()..0n n n n n n n m m mn n mn f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，或简写为11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，． 可以规定各约束条件中的资源系数0(12)i b i n ≥=，，，，否则等式两端乘以“1-”．线性规划问题的矩阵表示为min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，其中12[]n C c c c =，，，，12[]T n X x x x =，，，，11121212221212n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［，，，］，12[]T n b b b b =，，，． 任意的线性规划模型都可以转化为标准形式：（1）若目标函数是求最大值的问题，这时只需将所有目标函数系数乘以“－1”，求最大值的问题就变成了求最小值的问题，即)](min[)(max X f X f --=．求其最优解后，把最优目标函数值反号即得原问题的目标函数值．（2）若约束条件为不等式，这里有两种情况：一种是“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入一个非负的新变量（叫松驰变量），把不等式变为等式；另一种是“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负松驰变量（也叫剩余变量），把不等式变为等式．松驰变量在目标函数中对应的系数为零．（3）若存在取值无约束的变量k x ，可令k k k x x x ''-'=，其中k x '，0≥''k x ． 例3.1 将下列线性规划问题化为标准形式123123123123123max ()2372.3250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，为无约束． 解 将目标函数变为)](min[X f -，令543x x x -=，其中450x x ≥，，在第一个约束不等式中加入松驰变量6x ，在第二个约束不等式中减去剩余变量7x ，则可得标准形式12456712456124571245124567min[()]23()00()7()2.32()5,,,,,0f X x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -=-+--++++-+=⎧⎪-+--=⎪⎨-++-=⎪⎪≥⎩，，，，．三、线性规划的解的概念和基本定理 考虑线性规划标准形式的约束条件0AX b X =≥，，其中A 为n m ⨯矩阵，m n >，b 是m 维向量．假定增广矩阵,A b ［］的秩=矩阵A 的秩m =，把矩阵A 的列进行可能的重新排列，使,A B N =［］．这里B 为m m ⨯矩阵，且有逆矩阵存在，即0||≠B ，称B 为该线性规划问题的一个基．不失一般性，设111211212,,,m m m m mm a a a B PP P a a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［］， 称(12)j P j m =，，，为基向量，与基向量对应的变量(12)j x j m =，，，称为基变量，记为12T B m X x x x =［，，，］，其余的变量称为非基变量，记为12T N m m n X x x x ++=［，，，］．令m n -个非基变量均为0，并用高斯消元法，可得一个解12[][00]T T T T B N m X X X x x x ==，，，，，，，，称X 为该约束方程组的基解，其中b B X B 1-=．满足非负约束条件0≥X （基解的非零分量都0≥）的基解称为基可行解．对应于基可行解的基称为可行基．基可行解的非零分量个数小于m 时，称为退化解．线性规划的解的基本定理：引理3.1 线性规划问题的可行解12[]T n X x x x =，，，为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的．证 必要性由基可行解的定义可知．下证充分性若向量组k P P P ，，，21线性无关，则必有m k ≤；当m k =时，它们恰构成一个基，从而12[00]T k X x x x =，，，，，，为相应的基可行解．当m k <时，则一定可以从其余的列向量中取出k m -个与k P P P ，，，21构成最大的线性无关向量组，其对应的解恰为X ，所以它是基可行解． 定理3.1 线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的顶点． 证 不失一般性，假设基可行解X 的前m 个分量为正，故∑==mj jj b xP 1．（3.1）现在分两步来讨论，分别用反证法．（1）若X 不是基可行解，则它一定不是可行域D 的顶点．根据引理3.1，若X 不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量m P P P ，，， 21线性相关，即存在一组不全为零的数12i i m α=，，，，，使得02211=+++m m P P P ααα （3.2）用一个0>μ的数乘式（3.2），再分别与式（3.1）相加和相减，得到111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα-+-++-=，111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα++++++=．现取11122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=---，，，，，，，21122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=+++，，，，，，，由21X X ，可得121122X X X =+，即X 是21X X ，连线的中点．另一方面，当μ充分小时，可保证012i i x i m μα±≥=，，，，，即21X X ，是可行解，这证明了X 不是可行域D 的顶点．（2）若X 不是可行域D 的顶点，则它一定不是基可行解．因为X 不是可行域D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点，(1)(1)(1)112[]T nX x x x =，，，，T nx x x X ][)2()2(2)2(12，，， =，使12(1)01X X X ααα=+-<<，．设X 是基可行解，对应向量组m P P P ，，， 21线性无关，当m j >时，有0)2()1(===j j j x x x ，由于21X X ，是可行域的两点，应满足∑∑====mj mj jj j j b xP b x P 11)2()1(,．将这两式相减，即得∑==-mj j j jx xP 1)2()1(0)(．因21X X ≠，所以上式系数)()2()1(j j x x -不全为零，故向量组m P P P ，，， 21线性相关，与假设矛盾，即X 不是基可行解．定理3.2 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优．证 设k X X X ，，， 21是可行域的顶点，若0X 不是顶点，且目标函数在0X 处达到最优*0()f X CX =（标准形式是*()min ()f X f X =）．因0X 不是顶点，所以它可以用D 的顶点线性表示为01101kki i i i i i X X ααα===≥=∑∑，，．因此011k ki i i i i i CX C X CX αα====∑∑．（3.3）在所有的顶点中必然能找到某一个顶点m X ，使m CX 是所有i CX 中最小者，并且将m X 代替式（3.3）中的所有i X ，得到∑∑===≥ki ki m m i ii CX CX CX11αα，由此得到m CX CX ≥0．根据假设，0CX 是最小值，所以只能有m CX CX =0，即目标函数在顶点m X 处也达到最小值．§3.2 线性规划迭代算法单纯形法是求解线性规划问题的迭代算法．一、单纯形法的计算步骤单纯形法的基本思路是：从可行域中某个基可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶点），直到目标函数达到最优时，基可行解即为最优解．单纯形法的基本过程如图3.1所示．为计算方便，通常借助于单纯形表来计算，从初始单纯形表3.1开始，每迭代一步构造一个新单纯形表．单纯型表中B X 列中填入基变量m x x x ，，， 21；B C 列中填入基变量的价值系数m c c c ，，， 21；b 列中填入约束方程组右端的常数；j θ列的数字是在确定换入变量后，按θ规则计算填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量j x 的检验数是∑=-=-=mi j j ij i j j z c a c c 1σ，1j m n =+，，（这里令∑==mi ijj j ac z 1）．（1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表． （2）检验各非基变量j x 的检验数∑=-=-=mi j j iji j j z c ac c 1σ（1j m n =+，，）．若所有0≥j σ，则已得到最优解，停止计算．否则转入下一步．（3）在0(1)j j m n σ<=+，，，中，若所有0≤jk a ，则此问题无最优解，停止计算．否则转入下一步．（4）根据min{|0}j j k σσσ<=，确定k x 为换入变量．按θ规则计算min 0i l ik ik lkb ba a a θ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭， 可确定l x 为换出变量，转入下一步．（5）以lk a 为主元素进行迭代（用高斯消元法），把k x 所对应的列向量120010k k k lk mk a a P l a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥←⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦变换成第行， 将B X 列中的l x 换为k x ，得到新的单纯形表，重复步骤（2）—步骤（5），直到终止．单纯形法的流程图如图3.2所示．若目标函数要求实现最大化，一方面可将最大化转换为最小化，另一方面也可在上述计算步骤中将判定最优解的0≥j σ改为0≤j σ，将换入变量的条件min{|0}j j k σσσ<=改为max{|0}j j k σσσ>=．二、初始可行基的确定 （1） 若线性规划问题是11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，， 则从(12)j P j n =，，，中一般能直接观察到存在一个初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦．（2）对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可以利用化标准形式的方法，在每个约束条件的左端加入一个松驰变量，经过整理重新对j x 及ij a 进行编号，可得下列方程组．，，m n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x =+++=+++=+++++++++ 11,2211,221111,11显然得到一个m m ⨯单位矩阵B 可作为初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （3）对所有约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可采用人工变量，即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加入一个非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位矩阵作为初始可行基．例3.2 求解线性规划问题12121212max ()2328416..4120f X x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，，，，，． 解：将线性规划问题化为标准形式12345123142512345min[()]2300028416..4120f X x x x x x x x x x x s t x x x x x x x -=--+++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，．作初始单纯形表，按单纯形法计算步骤进行迭代，结果如下（表3.2）．表3.2最后一行的检验数均为正，这表示目标函数值已不可能再减小，于是得到最优解*42004T X =［，，，，］，目标函数值14)(*=X f ．三、单纯形法的有关说明对线性规划问题min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，（3.5） 若系数矩阵中不含单位矩阵，没有明显的基可行解时，常采用引入非负人工变量的方法来求初始基可行解．下面分别介绍常用的“大M 法”和“两阶段法”．（一）大M 法在约束条件式（3.5）中加入人工变量，人工变量在目标函数中的价值系数为M ，M 为一个很大的正数．在迭代过程中，将人工变量从基变量中逐个换出，如果在最终表中当所有检验数0≥j σ时，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解，否则无可行解．例3.3 求解线性规划问题12312312313123min ()3211423..210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解：将原问题化为标准形式并引入人工变量，得12345671234123561371234567min ()300211423..210f X x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-++++++-++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，．用单纯形法计算，得表3.3．根据表 3.3的最后一行的检验数均0≥，得最优解*4190000T X =［，，，，，，］，最优值2)(*-=X f ，由于人工变量的值均为零，故得原问题的最优解*419T X =［，，］，最优值为2)(*-=X f ．（二）两阶段法两阶段法是把线性规划问题的求解过程分为两个阶段：第一阶段，给原问题加入人工变量，构造仅含价值系数为1的人工变量的目标函数且要求实现最小化，其约束条件与原问题相同，即11111111211221112min ()00..0n n m n n n n nn n n m mn n n m m n m g X x x x x a x a x x b a x a x x b s t a x a x x b x x x ++++++=++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 然后用单纯形法求解上述问题，若得到0)(=X g ，这说明原问题存在基可行解，可进入第二阶段计算，否则原问题无可行解，停止计算．第二阶段，将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始单纯形表进行计算．例3.4 用两阶段法求解线性规划问题12312312313123min ()3211423.210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解 第一阶段，标准化并引入人工变量，得如下的线性规划=)(min X g 76x x +，1234123561371234567211423.210x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，． 用单纯形法计算该线性规划（见表 3.4），最优解为*[011120000]T X =，，，，，，，，最优值0)(*=X g ．表3.4由于人工变量076==X X ，所以得原问题的基可行解为[011120]T X =，，，，．于是进入第二阶段计算（见表3.5），最优解为*[41900]T X =，，，，，最优值2)(*-=X f ，于是原问题的最优解为*[419]T X =，，，最优值为2)(*-=X f ．§3.3 对偶问题的基本原理一、对偶问题的提出对偶性是线性规划的重要内容之一，每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，我们称一个叫原问题，另一个叫对偶问题，这两个问题有着非常密切的关系，让我们先分析一个实际的线性规划模型与其对偶线性规划问题的经济意义．例3.5 某工厂计划在下一生产周期生产3种产品1A ，2A ，3A ，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润（单位：千元），如表3.6所示，问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？解 设321x x x ，，分别为产品321A A A ，，的产量，构造此问题的线性规划模型为1231231231312123max ()8102237042280..3152250,,0f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．现在从另一个角度来讨论该问题．假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费．于是，需要为每种设备的台时进行估价．设4321y y y y ，，，分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价．由表3.6可知，生产一件产品1A 需用各设备台时分别为h h h h 2342，，，，如果将h h h h 2342，，，不用于生产产品1A ，而是用于出租，那么将得到租费43212342y y y y +++．当然，工厂为了不至于蚀本，在为设备定价时，保证用于生产产品1A 的各设备台时得到的租费，不能低于产品1A 的单位利润8千元，即823424321≥+++y y y y ．按照同样分析，用于生产一件产品2A 的各设备台时h 1，h 2，0，h 2所得的租费，不能低于产品2A 的单位利润10千元，即1022421≥++y y y ．同理，还有223321≥++y y y ．另外，价格显然不能为负值，所以01234iy i ≥=，，，，． 企业现在设备的总以时数为70h ，80h ，15h ，50h ，如果将这些台时都用于出租，企业的总收入为422150158070)(y y y y Y g +++=．企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足上述约束的条件下，应将设备价值定得尽可能低，因此取)(Y g 的最小值，综合上述分析，可得到一个与例3.5相对应的线性规划，即123412341231231234min ()70801550243282210..3220g Y y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y =++++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．称后一个规划问题为前一个规划问题的对偶问题，反之，也称前一个规划问题是后一个规划问题的对偶问题．二、原问题与对偶问题的表达形式和关系在线性规划的对偶理论中，把如下线性规划形式称为原问题的标准形式11221111221121122222112212min ()..0n n n n n n m m mn n mn f X c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 而把如下线性规划形式称为对偶问题的标准形式11221111221121122222112212max ()..0n n m m m m n n mn m nm g Y b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c y y y =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 若用矩阵形式表示，则原问题和对偶问题分别可写成如下形式：原问题min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．（3.6）对偶问题max ()..0g Y Yb YA C s t Y =≤⎧⎨≥⎩，，．（3.7）原问题与对偶问题的关系见表3.7．例3.6 求下面线性规划问题的对偶问题123412341342341234min ()23535224..600f X x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =+-++-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩，，，，，，，无约束． 解：根据表3.7可直接写出上述问题的对偶问题12312131********max ()546223..325100g Y y y y y y y y s t y y y y y y y y y =+++≥⎧⎪+≤⎪⎪-++≤-⎨⎪-+=⎪⎪≥≤⎩，，，，，，，无约束． 三、对偶理论定理3.3（弱对偶定理） 对偶问题（max ）的任何可行解︒Y ，其目标函数值总是不大于原问题（min ）任何可行解︒X 的目标函数值．证 由定理所设及问题（3.6）和问题（3.7）容易看出︒︒︒︒≤≤CX AX Y b Y ．定理3.4（对偶定理） 假如原问题或对偶问题之一具有有限的最优解，则另一问题也具有有限的最优解，且两者相应的目标函数值相等．假如一个问题的目标函数值是无界的，则另一问题没有可行解．证明从略．定理3.5（互补松驰定理） 假如︒X 和︒Y 分别是原问题（3.6）和对偶问题（3.7）的可行解，︒U 是原问题剩余变量的值，︒V 是对偶问题松驰变量的值，则︒X 、︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解的充要条件是0=+︒︒︒︒X V U Y ．证 由定理所设，可知有0AX U b X U ︒︒︒-=︒≥，，，（3.8） 0Y A V C Y V ︒︒︒︒︒+=≥，，．（3.9）分别以︒Y 左乘式（3.8），以︒X 右乘式（3.9），两式相减，得b Y CX X U U Y ︒︒︒︒︒︒-=+．若0=+︒︒︒︒X V U Y ，根据弱对偶定理知CX b Y CX Yb ≤=≤︒︒．这说明︒X ，︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解，反之亦然．根据互补松驰定理和决策变量满足非负条件可知，在最优解时，︒︒U Y 和︒︒X V 同时等于0，所以有)21(000n j x v j j ，，， ==， )21(000m i u y i i ，，， ==． 于是，互补松驰定理也可以这样叙述：最优化时，假如一个问题的某个变量取正数，则相应的另一个问题的约束条件必取等式；或者一个问题中的约束条件不取等式，则相应于另一问题中的变量必为零．例3.7 已知线性规划问题123451234512445min ()23523234.2330125jf X x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++⎧++++≥⎪-+++≥⎨⎪≥=⎩，，，，，，，．已知其对偶问题的最优解为5)(5/35/4**2*1===Y g y y ，，，试用对偶理论找出原问题的最优解．解：先写出它的对偶问题12121212121212max ()4322(1)3(2)235(3)..2(4)33(5)0g Y y y y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎪≥⎪⎩，，，，，，，．将*2*1y y ，的值代入约束条件，得（2），（3），（4）为严格不等式，由互补松驰定理得***2340x x x ===，因021≥y y ，，原问题的两个约束条件应取等式，故有**1534x x +=， **1523x x +=．求解后得到**1511x x ==，，故原问题的最优解为 **10001()5TX f X ==［，，，，］，．四、对偶问题的迭代算法对偶单纯形法是对偶问题的迭代算法，其基本思想是：从原问题的一个基本解出发，此基本解不一定是可行解，但它对应着对偶问题的一个可行解；然后检验原问题的基本解是否可行，即是否有负的分量．如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解．如果得到的基本解的分量皆非负，则该基本解为最优解．也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行解，使原问题的基本解由不可行逐步变为可行．当同时得到对偶问题与原问题的可行解时，便得到原问题的最优解．对线性规划问题的标准形式min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．对偶单纯形法的计算步骤如下：(1)找出原问题的一个基，构成初始对偶基可行解，使所有检验数0≥j σ，构成初始对偶单纯形表．(2)若所有0≥i b ，则当前的解是最优解，停止计算，否则计算min{|0}l i i b b b =<，则l 行为主行，该行对应的基变量为换出变量．(3)若所有0≥lj a ，则对偶问题无界，原问题无解，停止计算，否则计算min |0j k lj lj lka a a σσθ⎧⎫⎪⎪=<=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，则k 列为主列，该列对应的基变量为换入变量．(4)以lk a 为主元素进行迭代，然后转回步骤(2)． 对偶单纯形法的流程图如图3.3所示．例3.8 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题123123123123min ()23423..2340f X x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，，，．解：首先将“≥”约束条件两边反号，再加入松驰变量，可得原问题的一个基123451234123512345min ()2340023..2340f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩，，，，，，，．图3.3从表3.8看出，所有检验数0≥j σ，则对应对偶问题的解是可行的，因b 列数字为负，需进行迭代，计算min 344--=-｛，｝．所以5x 为换出变量．又因为24min 123θ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，，，所以1x 为换入变量，以换入、换出变量所在行列交叉处元素“－2”为主元素，按单纯形法计算步骤进行迭代，得表3.9．由表3.9的最后一行看出，所有检验数0≥j σ，故原问题的最优解为*[11/52/50]T X =，，．若对应两个约束条件对偶变量为1y ，2y ，则可得对偶问题的最优解为*[8/51/5]T Y =，．§3.4 线性规划问题灵敏度在建立实际的线性规划模型时，所收集到的数据不是很精确；另一方面在实际应用中，各种信息瞬息万变，已形成的数学模型中的某些数据需要随之而变．因此，对于一个线性规划问题，研究当数据发生变动时解的变化情况是很重要的．下面仅介绍两种数据变化而导致解的变化的情况，这就是灵敏度分析问题．一、价值系数的变化假设只有一个系数k C 变化，其它系数保持不变 ，k C 的变化只影响检验解而不影响解的非负定性，下面分别就k C 是非基变量系数和基变量系数两种情况进行讨论．（1）k C 是非基变量的系数由于B C 不变，因而j Z 对任何j 都不变．这时非基变量的系数k C 的变化只影响与k C 有关的一个检验数k σ的变化，而对其它j σ没有影响，设系数从k C 变化到k C '，这时检验数k k k Z C -=σ被k k kZ C -'='σ所代替，在当前解是原问题的最优解时，有0≥-=k k k Z C σ，假如()(k k k k k k C Z C Z C σ'''=-=-+)0k C -<，则k X 必须引进基，单纯形法继续进行，否则原解仍是k C 变化后的新问题的最优解，最优解不变相当于k C '变化的界限为)(k k k kZ C C C --≥'． （2）k C 为基变量的系数当k C 被k C '所代替时，j Z 变成j Z '，j j Z C '-可计算为kj k kj j j j a C C Z C Z C )(-'--='-． （3.10）特别是当k j =时，0=-k k Z C ，且1=kk a ，因此k k k k C C Z C -'='-，仍为零．由式（3.10）知，基变量k x 的价值系数k C 的变化会引起整个价值系数行的变化，变化值为)(k k C C -'-乘以最终表相应该基变量k x 所在的k 行的数值kj a ．k 列本身则调整为0='-'k k Z C ．由式（3.10）可看出，当对某个非基变量j x ，式（3.10）为负时会引起基的变化，若要保持最优解不变，分析变化值)(k k C C -'且大于或小于零以及kj a 值是正或负的情况，得出会保持最优解不变的k C '的变化界限为max 0min 0j j j j k kj k k kj j jkj kj C Z C Z C a C C a a a ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪'+<≤≤+>⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.8 以例3.2的最终表为例，设基变量2x 的系数2C 变化2C ∆，在原最优解不变条件下，确定2C ∆的变化范围．解 此时例3.2的最终表便成为表3.10为了保持原最优解不变，则2x 的检验数应当为零，进行行初等变换，得表3.11．从表（3.11）可得02232≥∆-C 且08812≥∆+C ． 由此可得2C ∆的变化范围为312≤∆≤-C ，即2x 的价值系数2C 可以在[0，4]之间变化，而不影响原最优解．二、资源系数的变化假设资源系数k b 变化为k b '，k b 的变化将会影响解的可行性，但不会引起检验数的符号变化．根据基可行解的矩阵表示可知，b B X B 1-=，所以只要k b 变化必定会导致最优解的数值发生变化，最优解的变化分为两类：一类是保持01≥-b B ，最优基B 不变；另一类是b B 1-中出现负分量，这将使最优基B 变化，若最优基不变，则只需将变化后的k b 代入B X 的表达式重新计算即可；若b B 1-中出现负分量，则要通过迭代求解新的最优基和最优解．设系数k b 变化到k k k b b b ∆+='，而其它系数都不变，这样使最终表中原问题的解相应变化为11111100k B k k k k m mk m b a b X B b b B b B b b b a b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中B X 为原最优解，i b '为B X 的第i 个分量，ik a 为1-B 的第i 行第k 列元素，为了保持最优基不变，应使0≥'B X ，即110k k m mk a b b b a '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦． 由此可得到保持最优基不变时，资源系数的变化界限为max 0min 0i i k ik k k ik ik ik b b b a b b a a a ⎧⎫⎧⎫''--⎪⎪⎪⎪'+>≤≤+<⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.9 若例3.2的第二个约束条件中2b 变化为22b b ∆+，在最优解不变的条件下，求2b ∆的变化范围．解 计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≥∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆+--000812141244002211b b B b B可得2224/(1/4)164/(1/2)82/(1/8)16b b b ∆≥-=-∆≥-=-∆≤--=，，．所以2b ∆的变化范围是（－8，16）．显然2b 的变化范围是（8，32）．。
第三章-对偶理论及灵敏度分析3课件
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
一、对偶问题的提出
对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
题
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
第三章 对偶理论及灵敏度分析
3.1.1 线性规划对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 3.1.3 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 3.2.1 灵敏度问题及其图解法 3.2.2 灵敏度分析 3.2.3 参数线性规划
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
3.1.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
下页
(Y1,Y2
)
A A
C
返回
Y1 0 ,Y2 0
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
对 偶 问
(mY1inwY2 )(YA1YC2 )b
题
Y1 0, Y2 0
令 YY1 ，Y 得2对偶问题为：
上页
下页
maYxA
w C
Yb
返回
Y无约束
证毕。
第三章-对偶理论及灵敏度分析3
三、原问题与对偶问题的对应关系
设备B –––– 元／y时2
问 题
调试工序 –––– 元y／3时
付出的代价最小，
且对方能接受。
上页
下页
出让代价应不低于
返回
用同等数量的资源
收
第三章 对偶原理
第一节 线性规划的对偶关系
一,对偶问题的提出 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 桌子售价50 50元 椅子售价30 30元 桌子售价50元/个,椅子售价30元/个,生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种. 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种.现已 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 该厂每个月可用木工工时为120小时, 120小时 该厂每个月可用木工工时为120小时,油漆工工 时为50小时. 50小时 时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大? 的销售收入最大?
原 问 题
有最优解 无界解 无可行解
max z = 3x1 + 5 x2 + x3 =8 x1 2 x2 + x4 = 12 s.t. 3x1 + 4 x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
cj→
CB 2 5 3
3 b 4 6 4 x1 0 0 1 0
另一方面该企业家付出的租金也不能太低,否则 胜利家具厂的决策者觉得无利可图而不会将资源租给 他,还不如自己进行生产.因此该企业家付出的租金 应不低于利用两种资源进行生产得到的利润,也即:
4 y 1 + 2 y 2 ≥ 50 3 y 1 + y 2 ≥ 30 y ,y ≥ 0 1 2
这样就得到了另外一个LP模型(2)
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此
Z* = C B-1= Y* B b ) Z* ( Y*b) = yi* 或 b = bi i
03 第三章线性规划的对偶理论
4
y2
a 21
a 22 …... a 2n
≤
b2
bm
…... …... …... …... …... …. ….. ….. ….. ….. ym 对偶关系 Max Z a m1 a m2 …... a mn ≥ c1 ≥ ….. ≥ c2 ….. cn ≤
(X≥0,Y≥0,)
纵向组合得对偶问题：
Min ω = b1y1 +b2y2 + ….. +bmym a 11 y1 + a 21 y2 + ….. + a m1 ym ≥ c1 a 12 y1 + a 22 y2 + ….. + a m2 ym ≥ c2 …... …... …... …. ….. ….. ….. …..
max z’=-CTX s.t. -AX≤ y’=-bTW s.t. -ATW≥-C W ≥0
• 性质2 弱对偶性 若X﹡为原问题（最大化）的可 行解， Y﹡为对偶问题（最小化）的可行解， 则 CX﹡≤Y﹡b。 • (LP) Max z = c x (DP) Min f = y b s.t. Ax ≤ b s.t. y A ≥ c x ≥0 y ≥0 “Max -- ≤ ” “Min-- ≥” • yAx ≤yb • y A x ≥cx • 由上面两个不等式→ yb ≥cx • 弱对偶定理说明：如果原问题是最大化问题，则它 的任一可行解对应的目标函数值不大于其对偶问题 （最小化问题）的可行解对应的目标函数值
例如：对约束条件是等式的LP问题 max z=CX s.t. AX=b X≥0 由于 AX≤b AX=b AX≥b 即 AX≤b AX=b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
第三章对偶理论
目标函数系数与右边项 目标函数各变量系数对应 的对应关系 约束条件右边项的系数 变量个数与约束条件个 变量个数 n 数的对应关系 约束条件个数 m
原问题变量类型与对偶 问题约束条件类型的对 变量类型 应关系
原问题约束条件类型与 对偶问题变量类型的对 约束条件类型 应关系
原始问题有4个变量，3个约束，对偶问题应该有3个变量， 4个约束。根据定义，对偶问题为：
x1 x2 x3 x4
非对称形式的对偶—原始问题有“=”约束
max z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3=6 2x1-3x2+2x3≤9
x1, x2, x3≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2 ≥ 2 2y1- 3y2 ≥ 3 y1+2y2 ≥ -1 y1:Free y2≥0
y1=w2-w1,y1:Free,y2=w3
如果原始问题中一个约束是等号约束，则对偶问题中相应的变 量没有符号限制
非对称形式的对偶—原始问题有“≥”约束
max z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3 ≥ 6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 max z=2x1+3x2-x3
s.t. -x1-2x2-x3≤-6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 min w=-6y1’+9y2 s.t. -y’1+2y2≥2 -2y’1 -3y2≥3 -y’1+2y2≥-1 y’1, y2≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≥2 2y1- 3y2≥3 y1+2y2≥-1 y1≤0, y2≥0
对偶理论(第三章线性规划3)
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
运筹学对偶理论
min w 5 y1 9 y2 4 y3
y1 3y2 2 y3 2
s.t.2
y1 3 y1
y
2 2y
2y 2
3 1 4 y3
3
y1
y1
y2 0,
y2
y3
0,
5
y
无约束
3
LP1: max z=3x1+2x2
xx11++22xx2 2≤+5x3
=5
st.
2x1+ x2 ≤4 +x4 = 4
0
0
1
3
x1
1
0
0
2
x2
0
1
0
0
0
0
0
0
x4
x5
b
0
05
1
04
0
19
0
00
-1/2
0
3
1/2
02
-2
11
-3/2
0
6
5/2 -3/2 3/2
3/2 -1/2 3/2
-2
11
-1/2 -1/2 13/2
单纯形算法的矩阵表示
LP: max z = CX st. AX ≤ b
X≥0
max z = CX + 0XS st. AX +I XS = b ( I式 )
3.2.4 强对偶性定理（对偶定理）
如果原问题存在最优解X*，则其对偶问题一定具 有最优解Y*，且 CX * b'Y *
• 如果原问题存在最优解，假设其对应的基是B，即
X
* B
B 1b,
X
* N
0
运筹学03线性规划对偶理论及其应用
二、对偶单纯形法的计算步骤
1 ． 给定一个初始对偶可行的基本解，设相应的基为 B 。（此时单纯形 1 ． 给定一个初始对偶可行的基本解，设相应的基为 B 。（此时单纯形
表中的基本解必须满足最优检验，最小化问题检验数≥ 0 或最大化 表中的基本解必须满足最优检验，最小化问题检验数≥ 0 或最大化 问题检验数≤ 0 ） 问题检验数≤ 0 ）
定理3.3（最优性） 如果 x ， u 分别是原问题 minz=cx 和对偶问题 maxw=ub的可行解，且有ub cx，则x，u分别 是原问题和对偶问题的最优解。 定理3.4（强对偶性，即对偶定理） 若 原 问 题 minz=cx 有 最 优 解 x ， 则 对 偶 问 题 maxw=ub 也有最优解 y ，且目标函数值相等， 即 cx yb 。
定理3.1（对称性） 对偶问题的对偶问题就是原问题。即对偶问题与原 问题互为对偶问题。
定理3.2（弱对偶性） 如果x，u分别是原问题minz=cx和对偶问题 maxw=ub的可行解，则 ub cx 。
由弱对偶性得到的三个推论：
推论3.1 如果x*，u*分别是原问题minz=cx和对偶问 题maxw=ub的可行解，且cx*=u*b，则x*，u*分 别是原问题和对偶问题的最优解。 推论3.2 原问题和对偶问题有最优解的充分必要条件是它 们同时有可行解。 例：已知线性规划问题
min z x1 x 2 x1 x 2 1 x1 x 2 1 x 0， x 0 2 1
max w y1 y 2 y1 y 2 1 y1 y 2 1 y 0， y 0 2 1
* * 4 / 5, y2 3 / 5; z 5 已知其对偶问题的最优解为 y1 试用对偶理论找出原问题的最优解。
(整理)第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
精品文档第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质； 2、对偶单纯形法；3、灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方法。
要 求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。
§1 对偶问题的对称形式一、对偶问题引例，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设1x 、2x 分别为甲、乙两种产品的产量则目标函数2132m ax x x z +=约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x(1)假设该工厂决定不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售。
这时要考虑每种资源的定价问题，设321,,y y y 分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A 、B 的附加额。
作一比较：若用一个单位台时和4个单位原材料A 生产一件产品甲，可获利2元，那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即：2421≥+y y同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即：精品文档34231≥+y y将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为32112168y y y ++=ω对工厂来说，ω越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足≥所有产品的利润前提下，使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。
为此，得到如下模型：32112168m in y y y ++=ω⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,0342243121j y y y y y j(2)我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。
华南理工大学-运筹学-第3章-线性规划的对偶理论(简)-工商管理学院
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其影子价格必
然为0。这意味着增加该资源的供应量不会为企业带来利
润或产出的增加。
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对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划问题的）对
偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理和单纯形法来求解
原问题的一种方法。
18
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
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基本概念
2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向相反。
素从而影响原最优基的可行性，进而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数，那么只要b
的变化没有造成最优基的变化，则资源的影子价格保持不
变，此时可直接用影子价格乘以新增/减少的资源数量得
出最优利润的变化。
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灵敏度分析示例1
在本例中，只要1落在[200, 400]内，最优基维持不变，
千克，最优解有什么变化？
1的周供应量1在什么范围内变化时，原生产组合（仅生产A和
B）仍为最优组合？
1增加至500时，最优解是什么？
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
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灵敏度分析示例1
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
原问题、对偶问题、一对对偶问题
1.2 对偶问题的形式
1. 对称型对偶问题 2. 非对称型对偶问题 3. 混合型对偶问题
1. 对称型对偶问题
• 定义1
矩阵形式
• 原问题 • 对偶问题
增加内容
对偶规则
1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m); 2. 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约 束条件的右端常数； 3. 使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶 问题目标函数的系数； 4. 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其 对偶问题约束条件的系数矩阵； 5. 改变约束条件不等号的方向，即将“=<”改为 “>=”； 6. 原问题“max”型，对偶问题为“min”型．
例5
例3
用矩阵理论讨论对偶问题
设原问题：
max Z CX AX b X 0 X X X
B N
可用另一形式：
1
XB
max Z CX AX IX S b X , X 0 S
S
XN
XS
B N C C N B
I b 0 0
-1/4 24 1/3 -1/3
0
M-8
0 0 1
48
y1
4/9 -1/9
-1/3 1/3
120 y2
y=(2/9,13/9), Z=184
观察结论:
① 一对对偶问题都有最优解，且目标函数 值相等。
②
最优表中有两个问题的最优解。
对称性
• 定理1（对称性定理） • 对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性
*
C CB CB XB XB Z b B 1b C B B 1b
CB XB I O
CN XN B 1 N C N C B B 1 N
运筹学 第03章 线性规划的对偶理论
1
引例
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2
2x1+2x2≤12
4x1 ≤16 5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
2
原问题与对偶问题的形式关系
解： 令
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
1
引例
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为 max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 min w=12y1+16y2+15y3
2y1+4y2
2y1
≥2
+5y3≥3
5x2 ≤15
xj≥0，j=1，2
若对偶变量 yi* 0 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件
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关于影子价格的几点说明：
yi*
f * bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0
•影子价格是资源最优配置下资源的理想价格，资源的 影子价格与资源的紧缺度有关
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影 子价格一定等于0 ■影子价格为0，资源并不一定有剩余
y1 2 y2 y3 5
s .t 3y1 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
例2、每头牲畜每日对各种维生素的需求量及饲料商提供的营养 饲料M和N中各种维生素含量及定价如下表所示，牧场主在保 证牲畜维生素需求条件下，每日为每头牲畜购M、N各多少可 使总费用最少？
例2.
min f x1 3x2
max f ' x1 3x2
2x1 x2 3
例1、 原问题
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
对偶问题
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5 s .t 3y1 y2 y3 4
例3 已知线性规划问题
max f x1 3x2
x1 2x2 3x3 2
s .t 2x1 3x2 x3 1
x1
,
x2 ,
x3
0
试用对偶理论证明上述问题无最优解。
三、对偶解的经济涵义——影子价格
max f 5x1 4x2
min g 90y1 80y2 45y3
x1 3x2 90 2x1x1x2x24850 x1, x2 0
y1 2 y2 y3 5
3y1 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
通过求解：原问题和对偶问题的最优解分别为
x (x1, x2 , x3 )T (35,10, 25)T , max f 215
x1 0, x2 0, x3 0
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 B-1b x2 0 1 0 2 0 -0.8 40 x5 2 0 0 6 1 -3.2 160 x3 1/2 0 1 -1 0 0.5 55 -f -1 0 0 -2 0 -0.2 -790
3.影子价格的作用
s.t
y1 2 y2 y3 2 y1 y2 y3 3
y1 0, y2 0, y3无限制
原问题和对偶问题的关系
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数形式
max f
目标函数形式
min g
约
m 个约束
m 个变量
束
约束
变
变量0
条
约束
量
原问题
对偶问题
n
max f cj xj
j 1
n j 1aij x jbi
,i
1, 2 ,, m
xj 0, j 1, 2,, n
m
min g bi yi
i1
m i1
yi
yi aij 0,i
cj 1,
, 2
j 1,2 ,, m
0.6 2
0.2x1 0.1x2 1.7
x1, x2 0
已知条件同上例，某药品商想提供畜用维生素A、B、C、D 四种营养药品，在满足牲畜营养要求且可与饲料商竞争条件 下，四种药品如何定价可使总收入最大？
max g 0.4y1 0.6y2 2y3 1.7 y4
影子价格是指在最优解的基础上，当第 i 个约束条件的 右端项 bi 增加一个单位时，目标函数的变化量。
2.影子价格的求法 例4 某工厂生产三种产品，三种产品对于原材料、劳动力、
电力的单位消耗系数，资源限量和单位产品价格如下表 所示：
资源 产品 A
B
C 资源限量
原材料（kg） 2 2.5 4
320
劳动力（人） 6
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
四、对偶单纯形法 思路：(max型)
单纯形法：找基B，满足B-1b0，但检验数
C - CBB-1 A不全 0。
迭代 保持B-1b0，使C -CBB-1 A 0。
对偶单纯形法：找基B，满足C - CBB-1 A 0，但
B-1b不全0。
迭代
保持C -CBB-1 A 0，使B-1b0。
例1：
0.1y1
0.1y3 0.2y4 10
s.t.
0.1y2 0.2y3 0.1y4 4
y1, y2, y3, y4 0
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1 x2 80
x1
x2
45
x1 , x2 0
x2 0 1 0 -1 2 10
-f
0 0 0 -1 -3 -215
对偶问题最优单纯形表：
y1 y2 y3 y4 y5 B-1b y2 -2 1 0 -1 1 1 y3 5 0 1 1 -2 3 -g’ -25 0 0 -35 -10 215
综上所述，一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一：
1.原问题和对偶问题都有最优解，且最优目标函数值相等。 2.一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。 3.原问题和对偶问题都无可行解。
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
1
8
640
电力（度） 5
5 10 750
单位价格（元） 4
6 10
1.求最佳生产方案使总产值最大。 2.求各资源的影子价格，并解释其经济意义。
max f 4x1 6x2 10x3
2x1 2.5x2 4x3 320
s.t
6x1 x2 5x1 5x2
8x3 640 10x3 750
①影子价格可以告诉管理人员，增加哪一种资源对增加经济效益最有益。 ②影子价格可以告诉管理人员，花多大的代价增加资源才是合算的。
③影子价格在新产品开发决策中的应用。
④影子价格在资源购销决策中的应用。 ⑤利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。
如在上例中，当工艺改进后，使原材料节约10%，则带来的经济效益 为：2320 10%=64（元）
对偶理论
一、原问题与对偶问题
例1、某厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，这两种产品分别 需要在甲、乙丙三种不同的设备上加工，有关数据如表3-14所示。 问应如何安排生产计划才能使利润最大？
产品
设备
A
甲
1
乙
2
丙
1
利润（元/件）
5
B
有效台时
3
90
1
80
1
45
4
该问题的数学模型
如果设A、B两种产品生产的件数分别为x1 , x2,则这个问题
0.2x1 0.1x2 1.7
x1, x2 0
max g 0.4y1 0.6y2 2y3 1.7 y4
0.1y1
0.1y3 0.2y4 10
s.t.
0.1y2 0.2y3 0.1y4 4
y1, y2, y3, y4 0
对称的对偶问题
*对bi求偏导数： yi* (i 1,2,...,m)
该式表明了，若原问题的某一个约束条件的右端项bi每增加
一个单位，则由此引起的最优目标函数值的增加量，就等于
与该约束条件相对应的对偶变量的最优解的值。
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）。
y ( y1, y2 , y3 ) (0,1,3) ,
min g 215
1.影子价格的定义
由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题与对偶问题的目
标函数值相等，即有f *=CX*=Y*b=y1* b1+ y2* b2+…+ ym* bm
现考虑在最优解处，右端项bi的微小变动对目标函数值
的影响，由上式，将f f * bi
2.若 X *和Y*分别为原问题和对偶问题的可行解，且可行解对应的原问
题和对偶问题的目标函数值相等，即CX* Y*b ，则 X *,Y* 分别为原问 题和对偶问题的最优解。
3.无界性 若原问题（对偶问题）的目标函数无界，则其对偶问题
（原问题）必无可行解。
该性质说明，原问题和对偶问题之一无最优解，则另一个也无最优解。
y1 , y2 , y3 0