直线和圆的三种位置关系知识点
直线与圆的位置关系讲义
九年级数学时间: 学生:第讲直线与圆的位置关系【知识点】1直线和圆的位置关系有三种:, 。
2设r为O O的半径,d为圆心O到直线l的距离, d r, 则直线l与O O相交。
d r,则直线l与O O相切d r,则直线l与O O相离。
3圆的切线的性质:圆的切线垂直于_________________ 的半径。
4圆的切线的判定定理:经过直径的一端,并且____________ 这条直径的直线是圆的切线。
5圆的切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.三角形的内切圆:(1)定义:与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。
(2)_________________________________ 内切圆的作法;______ .(3)_________________________ 内心的性质:内心是 _______ 的交点,内心到的距离相等,内心与三角形顶点的连线________ 这个内角。
【课前自测】1. (2011?成都)已知O O的面积为9n cm2,若点0到直线I的距离为n cm则直线l与。
O的位置关系是()A、相交B、相切 C 、相离D无法确定2.如图,从O O外一点A引圆的切线AB切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC若/ A= 26°,则/ ACB的度数为▲.3.已知O O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O O上有且只有_______________ 到直线AB的距离为3.4.如图,已知AB是O O的一条直径,延长AB至C点,使得AC= 3BQ 个占I 八、、CD与O O相切,切点为D.若CD= d,则线段BC的长度等于5.如图23, PA与O O相切,切点为A, PO交O O于点C,点B是优弧CBA上一点,若 / ABC=32,则/ P的度数为【例题讲解】例1.如图,AB是O O的直径,点D在AB的延长线上,DC切O O于点C,若/ A=25°, 则/ D 等于A. 20°B.30°C.40°D.50°例2已知BD是O O的直径,OAL OB,M是劣弧AB上的一点,过M作O O的切线MP交OA的延长线于点P, MD交OA于点N。
直线和圆有哪几种位置关系
直线和圆有哪几种位置关系?
答:直线和圆有三种位置关系.它们是直线和圆相交;直线和圆相切;直线和圆相离.
直线和圆的三种位置关系是这样定义的:
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)直线和圆有唯一个公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
根据定义,容易看出:
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分,它们是一致的.
直线和圆的位置关系,可用下表表示.
例1 已知⊙O的半径为11厘米,当直线MN与⊙O的位置是相离、相切、相交时,O点到直线MN的距离分别如何?
解⊙O的半径r=11厘米,所以有:
当直线MN与⊙O相离时,圆心O到直线MN的距离d大于半径11厘米.当直线MN与⊙O相切时,圆心O到直线MN的距离d等于11厘米.
当直线MN与⊙O相交时,圆心O到直线MN的距离d小于11厘米.
例2 已知Rt△ABC的斜边AB=6厘米,直角边AC=3厘米.圆心为C,半径分别为2厘米、4厘米的两个圆与AB有怎样的位置关系?半径多长时,AB 与圆相切?
解:过C作CD⊥AB,垂足为D(如图).
在直角△ABC中,有
根据三角形的面积公式,有
CD·AB=AC·BC.
当⊙C的半径为2厘米时,⊙C与AB相离;
当⊙C的半径为4厘米时,⊙C与AB相交;
由以上两例可以看出:直线和圆的位置关系是由公共点的个数确定的,可以由圆心到直线的距离与圆的半径的关系来决定.。
3、直线和圆位置关系
1、直线与圆的三种位置关系:(1)当直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离;(2)当直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切。
这时直线叫做圆的切线,唯一公共点叫切点。
(3)当直线与圆有两个公共点(即交点)时,叫做直线与圆相交。
这时直线叫做圆的割线。
2、直线与圆位置关系的数量描述: 如果O 的半径为R ,圆心O 到直线L 的距离为d ,那么(1)直线L 与O 相交⇔0≤d<R (2)直线L 与O 相切⇔d=R (3)直线L 与O 相离⇔d>R3、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、例题精讲:例1、如图,在Rt ABC ∆中,ACB=90A=30BC=4∠∠,, (1)以C 为圆心、3为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系? (2)以C为圆心、3.5为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系?(3)要使C 与直线AB 相切,C 的半径长应该是多少?(4)设C 的半径长为R ,如果C 与直线AB 有公共点,请写出R 的取值范围。
例2、如图,在ABC ∆中,C=90A=30∠∠,,O 是AB 上一点,BO=a ,O 的半径r 为12;问:当a 在什么范围内取值时,直线BC 与O 相离?相切?相交?CBAB例3、如图、已知折线ABCD ,作ABC ∠、DCB ∠的平分线相交于点I ,又作IE BC ⊥,E 是垂足。
以I为圆心、IE 为半径作I(1)请说明I 与BC 必相切。
(2)请问:I 与AB 、CD 都相切吗?为什么?例4、已知AB 是O 的直径,C 是AB 延长线上一点,且BC=OB(1)如图①,过点C 作射线CD ,使30ACD ∠=。
求证:CD 是O 的切线(2)如图②,作弦AP ,使30PAC ∠=,联结CP 。
问:CP 是不是O 的切线?并说明理由。
例5、如图,ABC ∆内接于O ,过点B 作射线BP ,使CBP=BAC ∠∠。
求证:BP 是O 的切线。
圆圆的位置关系知识点总结
圆圆的位置关系知识点总结圆的位置关系是几何学中一个重要的概念,涉及到圆与直线、圆与圆之间的相对位置关系。
下面是关于圆的位置关系的知识点总结。
一、圆与直线的位置关系:1.外切:当直线与圆相切于圆的一点时,我们称这条直线与圆外切。
2.内切:当直线与圆只在圆的内部与圆相切时,我们称这条直线与圆内切。
3.交于两点:当直线与圆相交并有两个交点时,我们称这条直线与圆相交于两点。
4.不相交:当直线与圆没有交点时,我们称这条直线与圆不相交。
二、圆与圆的位置关系:1.相切:当两个圆相切于圆的一点时,我们称这两个圆相切。
2.相交:当两个圆有交点时,我们称这两个圆相交。
3.重合:当两个圆的圆心和半径完全相同时,我们称这两个圆重合。
4.内含:当一个圆完全在另一个圆内部时,我们称这个圆在另一个圆内含。
5.相离:当两个圆没有交点,且一个圆的外部不与另一个圆的内部相交时,我们称这两个圆相离。
三、判别圆与直线的位置关系的方法:1.利用距离:计算直线上一点到圆心的距离,根据距离与圆的半径的大小关系来判断圆与直线的位置关系。
-当直线上一点到圆心的距离等于圆的半径时,这条直线与圆相切。
-当直线上一点到圆心的距离大于圆的半径时,这条直线与圆相交。
-当直线上一点到圆心的距离小于圆的半径时,这条直线与圆不相交。
2.利用方程:通过圆的方程和直线的方程来求解相交的点,根据求解得到的交点的数量来判断圆与直线的位置关系。
四、判别圆与圆的位置关系的方法:1.利用距离:计算两个圆心之间的距离,根据距离与两个圆的半径之和、之差的大小关系来判断圆与圆的位置关系。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时,这两个圆相交。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时,这两个圆相离。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值时,一个圆完全包含在另一个圆内即一个圆内含于另一个圆。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之差的绝对值,但小于两个圆的半径之和时这两个圆相交于两个交点。
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中,直线与圆的相关知识点常常出现,并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系:相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点,则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点,则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点,则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法:a. 判断直线与圆相离:计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切:计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交:计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程:Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y),满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用:a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系:切线与半径的夹角是直角,即切线垂直于半径。
2. 切线的性质:a. 切点:切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度:切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线:若直线与圆内切于一点,则这条直线称为外切线。
d. 内切线:若直线切圆于两个相交点,则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质:弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有:a. 弦长:弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径:直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆:具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆:如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点,则这两个圆称为内切圆与外接圆。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种:相交、相切、相离.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:(1)代数法:将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其∆的值,然后比较判别式∆与0的大小关系.若0∆<,则直线与圆相离;若0∆=,则直线与圆相切;若0∆>,则直线与圆相交.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系:d r <⇔相交,d r =⇔相切,d r >⇔相离.二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法:运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>,则有:12121C C r r C >+⇔与2C 外离;12121C C r r C =+⇔与2C 外切;1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交;1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切;12121C C r r C <-⇔与2C 内含; 四、圆的切线方程问题(1)已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= (2)已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ,则圆的切线方程为21y kx r k =±+(3)已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ,此时必有两条切线,不能漏掉斜率不存在的那一条切线.(4)切线长公式:从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线,则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--;从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线,则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程(1)同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数,r 为参数.(2)圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数,圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动.(3)过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-.当1λ=-时,方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连心垂直的直线.(4)过直线与圆交点的圆系方程:直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交,则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程.题型一、直线与圆相交【例1】 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________.【例2】 圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个.【例3】 判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系,结论为( )A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相交或相切D .相交、相切或相离 【例4】 自点()64P -,向圆2220x y +=引割线,所得弦长为62,则这条割线所在直线的方程是 .【例5】 直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :y kx =的距离为22,则k 的取值范围是_________.【例7】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________.【例8】 若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点,且线段AB 的中点坐标是(1,2)-,则直线l的方程为 .题型二、直线与圆相切【例9】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -,,则ab 的积为_________. 【例10】 过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线,则切线长是_________.【例11】 动圆C 经过点)0,1(F ,并且与直线1-=x 相切,若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点,则圆C 的面积( )A .有最大值8πB .有最小值2πC .有最小值3πD .有最小值4π【例12】 求过点(24)A ,向圆224x y +=所引的切线方程为 .【例13】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=,一定点为(1,1)A --,要使过定点A 作圆的切线有两条,则a 的取值范围是_________.【例14】 过点(2,4)A --且与直线l :3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为 .【例15】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线,则M 到切点的最小距离为_______.【例16】 已知P 是直线3480x y ++=上的动点,PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线,,A B 是切点,那么四边形PACB 面积的最小值为_______,此时P 点的坐标为_______. 【例17】 已知圆224O x y +=:,过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ,其中A B 、为切点,求直线AB 的方程.题型三、综合问题【例18】 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ,N 两点,若23MN ≥,则k 的取值范围是_________.【例19】 圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________.【例20】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是_________.【例21】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则11a b+的最小值为____________.【例22】 若过定点(10)M -,且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点,则k 的取值范围是____________. 【例23】 若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点,则k 的取值范围是_________.【例24】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,被圆2225x y +=截得的弦长为8,则此弦所在直线方程为____________.课后练习【题1】 圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________.【题2】 直线2x =被圆224x a y -+=()所截得的弦长等于23,则a 的为_________.【题3】 如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分,且不通过第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是________.【题4】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则弦AB 所在直线方程为____________.【题5】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形,当这两个弓形面积之差最大时,这条直线的方程为____________.【题6】 过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k =_________.【题7】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=,直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R .(1)证明直线l 与圆相交;(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时,求直线l 的方程.【题8】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问最否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在,写出直线方程;若不存在,说明理由.。
圆和直线的位置关系公式
圆和直线的位置关系公式圆和直线的位置关系公式是数学中最重要的公式之一,用于计算圆和直线之间的位置关系。
圆和直线的关系可以用几何图形来表示,它们的位置关系可以用几何学方法来表达,这就是圆和直线的位置关系公式。
一、圆和直线的位置关系圆和直线之间的位置关系可以分为三种:相交、相切和内切。
1. 相交:圆和直线的位置关系,当圆和直线的位置关系是相交时,圆和直线有两个公共点,这两个点就是它们的交点。
2. 相切:当圆和直线的位置关系是相切时,它们有一个公共点,这个点就是它们的切点。
3. 内切:当圆和直线的位置关系是内切时,它们有一个公共点,这个点就是它们的内切点。
二、圆和直线的位置关系公式既然已经了解了圆和直线之间的位置关系,那么下面就要介绍圆和直线的位置关系公式。
1. 相交的位置关系公式:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^22. 相切的位置关系公式:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^23. 内切的位置关系公式:(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2上面的公式中,a,b是圆心的坐标,r是圆的半径。
三、应用圆和直线的位置关系公式不仅可以用来计算圆和直线之间的位置关系,还可以用来计算圆的面积和周长、求解三角形等。
1. 求圆的面积根据面积公式:面积=πr^2,可以算出圆的面积。
2. 求圆的周长根据周长公式:周长=2πr,可以算出圆的周长。
3. 求解三角形根据圆和直线的位置关系公式,可以求出三角形的三条边长,然后根据三角形的定理,可以求出三角形的其他属性。
四、总结从上面的介绍可以看出,圆和直线的位置关系公式是一个非常重要的公式,它可以用来计算圆和直线之间的位置关系,也可以用来计算圆的面积和周长,还可以用来求解三角形等。
因此,圆和直线的位置关系公式在几何学中具有重要的意义,是学习数学的重要基础。
直线与圆的位置关系-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系,如下所示:判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法:(1)根据直线与圆的公共点的个数判断;(2)根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理1. 切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示,OA 的一条半径,直线l 经过点A 且OA ⊥l ,则l 的切线.判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法:(1)定义法:当直线与圆有且只有一个公共点时,直线与圆相切;(2)数量关系法:当圆心到直线的距离等于半径时,直线与圆相切;(3)判定定理法:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.如图所示:直线l的切线,切点为点A,则OA⊥l.例:如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是的切线.(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.【解答】(1)见解析;(2)3【解析】(1)证明:∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,∴∠OBP=∠E=90°,∵OB为圆的半径,∴PB为圆O的切线;(2)在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,根据勾股定理得,∵PD与PB都为圆的切线,∴PC=PB=6,∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4,在Rt△CDO中,设OC=r,则有DO=8﹣r,根据勾股定理得:(8﹣r)2=r2+42,解得:r=3,则圆的半径为3.知识点三、三角形的内切圆1.定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.2.性质:三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点,内心到三角形各边的距离相等,任意三角形的内心都在三角形的内部.3.三角形的内切圆的作法:作三角形任意两个内角平分线,它们的交点就是内切圆的圆心,过圆心向任意一条边作垂线,垂线段的长度就是内切圆的半径.补充:三角形外心与内心对比:例:直角三角形的两条直角边分别为8和15,那么这个直角三角形最大能容纳一个直径为几的圆?【解答】6【解析】如图所示:由勾股定理可求出三角形斜边AB=17,设三角形的内切圆的半径为r即,解得半径,则直径为6.知识点四、切线长及切线长定理1.切线长定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长;2.切线长定理:过圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.外一点P引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连接OA、OB、AB,延长PO并延长交圆于点E,则:①垂直:OA⊥PA,OB⊥PB,OD⊥AB;②全等:△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;③弧相等:.巩固练习一.选择题1.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠C=65°,则∠P的度数为()A.50°B.65°C.70°D.80°【解答】A【解析】连接OA 、OB ,∵PA 、PB 是⊙O 切线, ∴PA ⊥OA ,PB ⊥OB , ∴∠PAO =∠PBO =90°,∵∠P +∠PAO +∠AOB +∠PBO =360°, ∴∠P =180°﹣∠AOB , ∵∠ACB =65°,∴∠AOB =2∠ACB =130°, ∴∠P =180°﹣130°=50°, 故选A .2.平面直角坐标系中,⊙P 的圆心坐标为(﹣4,﹣5),半径为5,那么⊙P 与y 轴的位置关系是( ) A .相交 B .相离 C .相切 D .以上都不是【解答】A【解析】∵⊙P 的圆心坐标为(﹣4,﹣5), ∴⊙P 到y 轴的距离d 为4 ∵d =4<r =5 ∴y 轴与⊙P 相交 故选A .3.三角形的三边长分别为6,8,10,则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为( ) A .3 B .4 C .5 D .6【解答】B【解析】∵62+82=100,102=100, ∴三角形为直角三角形,设内切圆半径为r ,则12(6+8+10)r =12×6×8, 解得r =2,所以应分为五种情况:当一条边与圆相离时,有0个交点,当一条边与圆相切时,有1个交点,当一条边与圆相交时,有2个交点,当圆为三角形内切圆时,有3个交点,当两条边与圆同时相交时,有4个交点,故公共点个数可能为0、1、2、3、4个.∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个,故选B.4.如图,AB是圆O的直径.点P是BA延长线上一点,PC与圆O相切,切点为C,连接OC,BC,如果∠P =40°,那么∠B的度数为()A.40°B.25°C.35°D.45°【解答】B【解析】∵PC与圆O相切,切点为C,∴OC⊥PC,∴∠OCP=90°,∵∠P=40°,∴∠POC=90°﹣∠P=90°﹣40°=50°,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB,∵∠POC=∠B+∠C,∠POC=25°.∴∠B=12故选B.5.如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△AOP外接圆的圆心.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】C【解析】∵PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,∴PA=PB,所以①正确;∵OA=OB,PA=PB,∴OP垂直平分AB,所以②正确;∵PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴点A、B在以OP为直径的圆上,∴四边形OAPB有外接圆,所以③正确;∵只有当∠APO=30°时,OP=2OA,此时PM=OM,∴M不一定为△AOP外接圆的圆心,所以④错误.故选C.6.如图,点D是△ABC中BC边的中点,DE⊥AC于E,以AB为直径的⊙O经过D,连接AD,有下列结论:AC;④DE是⊙O的切线.其中正确的结论是()①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=12A.①②B.①②③C.②③D.①②③④【解答】D【解析】∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,选项①正确;连接OD,如图,∵D为BC中点,O为AB中点,∴DO为△ABC的中位线,∴OD∥AC,又DE⊥AC,∴∠DEA=90°,∴∠ODE=90°,∴DE为圆O的切线,选项④正确;又OB=OD,∴∠ODB=∠B,∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠EDA+∠ADO=90°,∠BDO+∠ADO=90°,∴∠EDA=∠BDO,∴∠EDA=∠B,选项②正确;由D为BC中点,且AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,AB,∴AC=AB,又OA=12AC,选项③正确;∴OA=12则正确的结论为①②③④.故选D.7.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切,切点为E,边CD'与⊙O相交于点F,则CF的长为()A.2.5 B.1.5 C.3 D.4【解答】D【解析】如图,连接OE并延长交CF于点H,∵矩形ABCD 绕点C 旋转得矩形A 'B 'C 'D ', ∴∠B ′=∠B ′CD ′=90°,A ′B ′∥CD ′,BC =B ′C =4,∵边A 'B '与⊙O 相切,切点为E , ∴OE ⊥A ′B ′,∴四边形EB ′CH 是矩形, ∴EH =B ′C =4,OH ⊥CF ,∵AB =5,∴OE =OC =12AB =52, ∴OH =EH ﹣OE =32,在Rt △OCH 中,根据勾股定理,得CH =√OC 2−OH 2=√(52)2−(32)2=2,∴CF =2CH =4. 故选D .8.如图,△ABC 内接于⊙O ,BD 切⊙O 于点B ,AB =AC ,若∠CBD =40°,则∠ABC 等于( )A .40°B .50°C .60°D .70°【解答】D【解析】∵BD 切⊙O 于点B , ∴∠DBC =∠A =40°, ∵AB =AC , ∴∠ABC =∠C ,∴∠ABC =(180°﹣40°)÷2=70°.故选D.9.如图,PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D.若△PCD的周长等于3,则PA 的值是()A.32B.23C.12D.34【解答】A【解析】∵PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D,∴AC=EC,DE=DB,PA=PB∵△PCD的周长等于3,∴PA+PB=3,∴PA=32.故选A.10.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6 B.7 C.8 D.9【解答】D【解析】∵PB,PD是⊙O的割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=2,PC=CD=3,∴2PB=3×6解得:PB=9.故选D.11.如图,这条花边中有4个圆和4个正三角形,且这条花边的总长度AB为4,则花边上正三角形的内切圆半径为()A.√33B.23√3C.1 D.√3【解答】A【解析】如图,选择一个等边三角形和其内切圆,圆O是等边三角形ACE的内切圆,圆O切三角形的边CE于点D,∵这条花边的总长度AB为4,∴CE=2,连接OC,AD,则AD过点O,∴CD=DE=12CE=1,∵△ACE是等边三角形,∴∠ACE=60°,∵圆O是等边三角形ACE的内切圆,∴∠OCD=30°,∴OD=CD•tan30°=√33.∴花边上正三角形的内切圆半径为√33.故选A.二.填空题12.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点O在对角线AC上,圆O的半径为2,如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点,那么线段AO长的取值范围是.【解答】103<AO<203【解析】在矩形ABCD中,∵∠D=90°,AB=6,BC=8,∴AC=10,如图1,设⊙O与AD边相切于E,连接OE,则OE⊥AD,∴OE∥CD,∴△AOE∽△ACD,∴OECD =AOAC,∴AO10=26,∴AO=103,如图2,设⊙O与BC边相切于F,连接OF,则OF⊥BC,∴OF∥AB,∴△COF∽△CAB,∴OCAC =OFAB,∴OC10=26,∴OC=103,∴AO=203,∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点,那么线段AO长的取值范围是103<AO<203,故答案为103<AO<203.13.如图,⊙O的半径为6cm,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以πcm/s 的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为时,BP与⊙O相切.【解答】2秒或10秒【解析】连接OP∵当OP⊥PB时,BP与⊙O相切,∵AB=OA,OA=OP,∴OB=2OP,∠OPB=90°;∴∠B=30°;∴∠O=60°;∵OA=6cm,=2π,弧AP=60π×6180∵圆的周长为:12π,∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π=10π;∴当t=2秒或10秒时,有BP与⊙O相切.故答案为2秒或10秒.14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,若以点C为圆心,以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,那么BC的长等于.【解答】2√2cm【解析】过C点作CD⊥AB于D,如图,∵⊙C与AB相切,∴CD为⊙C的半径,即CD=2,∵∠C=90°,AC=BC,∴∠B=45°,∴△CDB为等腰直角三角形,∴BC=√2CD=2√2(cm).故答案为2√2cm.15.如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=4,以CD为直径作⊙O,将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切,切点为M,边CD′与⊙O相交于点N,则CN的长为.【解答】4√2【解析】连接OM,延长MO交CD于点G,作OH⊥B′C于点H,则∠OMB′=∠OHB′=90°,∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′,∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=6,BC=B′C=4,∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形,OE=OD=OC=3,∴B′H=OM=3,∴CH=B′C﹣B′H=1,∴CG=B′M=OH=√OC2−CH2=2√2,∵四边形MB′CG是矩形,∴∠OGC=90°,即OG⊥CD′,∴CN=2CG=4√2,故答案为4√2.16.如图,正方形ABCD的边长为8,E为AB中点,F为BC边上的动点,连接EF,以点F为圆心,EF长为半径作⊙F.当⊙F与AD边相切时,CF的长为.【解答】8﹣4√3【解析】当⊙F与直线AD相切时.设切点为K,连接FK,如图:则FK⊥AD,四边形FKDC是矩形.∴FE=FK=CD=2BE,∴BE=4,FE=8,在Rt△FBE中,FB=√FE2−BE2=√82−42=4√3,∴CF=BC﹣FB=8﹣4√3.故答案为8﹣4√3.17.一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,则该菱形的内切圆的半径是cm.【解答】125【解析】如图所示:菱形ABCD,对角线AC,BD,可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点,设AB与圆相切于点E,可得OE⊥AB,∵一个菱形的周长是20cm,两对角线之比是4:3,∴AB=5cm,设BO=4x,则AO=3x,故(4x)2+(3x)2=25,解得:x=1,则AO=3,BO=4,故EO•AB=AO•BO,解得:EO=12.5.故答案为12518.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AB边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE周长为.【解答】14【解析】设AE的长为x,正方形ABCD的边长为a,∵CE与半圆O相切于点F,∴AE=EF,BC=CF,∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,∵AD=CD=BC=AB,∴正方形ABCD的边长为4;在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4﹣x)2+42=(4+x)2,解得:x=1,∵AE+EF+FC+BC+AB=14,∴直角梯形ABCE周长为14.故答案为14.19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=.【解答】1【解析】在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,根据勾股定理,得AB=5,如图,设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∵∠C=90°,∴四边形EOFC是矩形,根据切线长定理,得CE=CF,∴矩形EOFC是正方形,∴CE=CF=r,∴AF=AD=AC﹣FC=3﹣r,BE=BD=BC﹣CE=4﹣r,∵AD+BD=AB,∴3﹣r+4﹣r=5,解得r=1.则△ABC的内切圆半径r=1.故答案为1.20.已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a=4√b−1−19,则△ABC的内切圆半径=.【解答】1【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a=4√b−1−19,∴|c﹣3|+(a﹣4)2+(√b−1−2)2=0,∴c=3,a=4,b=5,∵32+42=25=52,∴c2+a2=b2,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,设内切圆的半径为r,根据题意,得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1,故答案为1.21.如图,在Rt△AOB中,OB=2√3,∠A=30°,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O 的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为.【解答】2√2【解析】连接OP、OQ,作OP′⊥AB于P′,∵PQ是⊙O的切线,∴OQ⊥PQ,∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1,当OP最小时,线段PQ的长度最小,当OP⊥AB时,OP最小,在Rt△AOB中,∠A=30°,=6,∴OA=OBtanA在Rt△AOP′中,∠A=30°,OA=3,∴OP′=12∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2,故答案为2√2.三.解答题22.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.【解答】(1)BC与⊙O相切,理由见解析;(2)BD=1207【解析】(1)BC与⊙O相切,理由:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∵OD为半径,∴BC是⊙O切线;(2)连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,∵∠EAD=∠DAC,∴△ADE∽△ACD,∴AEAD =ADAC,10 8=8AC,∴AC =325,∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245, ∵OD ⊥BC ,AC ⊥BC ,∴OD ∥AC ,∴△OBD ∽△ABC ,∴OD AC=BD BC , ∴5325=BD BD+245, ∴BD =1207.23.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为H ,P 是CD 延长线上一点,DE ⊥AP ,垂足为E ,∠EAD =∠HAD .(1)求证:AE 为⊙O 的切线;(2)已知PA =2,PD =1,求⊙O 的半轻和DE 的长.【解答】(1)见解析;(2)DE 的长为35,⊙O 的半径为32 【解析】(1)证明:连接AO 并延长交⊙O 于点M ,连接MD ,如图,∵AB ⊥CD ,∴AD̂=BD ̂, ∴∠M =∠BAD ,∵∠EAD =∠HAD .∴∠M =∠EAD ,∵AM 为直径,∴∠ADM =90°,∴∠M +∠MAD =90°,∴∠EAD +∠MAD =90°,即∠MAE =90°,∴AM ⊥AE ,∴AE 为⊙O 的切线;(2)∵∠EAD =∠HAD ,DH ⊥AH ,DE ⊥AE ,AD =AD ,∴△AHD ≌△AED (AAS )∴DE =DH ,AH =AE ,设DE =x ,AH =y ,则DH =x ,AE =y ,∵∠EPD =∠HPA ,∠PED =∠PHA =90°,∴Rt △PED ∽Rt △PHA ,∴DE AH =PE PH =PD PA ,即x y =2−y 1+x =12, ∴解得x =35,y =65,即DE 的长为35,AH =65,设圆的半径为r ,则OH =r −35, 在Rt △OAH 中,(r −35)2+(65)2=r 2,解得r =32, 即⊙O 的半径为32.答:⊙O 的半轻和DE 的长分别为:32,35.24.如图,AB 是⊙O 的直径,AB =6,OC ⊥AB ,OC =5,BC 与⊙O 交于点D ,点E 是BD ̂的中点,EF ∥BC ,交OC 的延长线于点F .(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)CG∥OD,交AB于点G,求CG的长.【解答】(1)见解析;(2)CG=173【解析】证明:(1)连接OE,交BD于H,∵点E是BD̂的中点,OE是半径,∴OE⊥BD,BH=DH,∵EF∥BC,∴OE⊥EF,又∵OE是半径,∴EF是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,AB=6,OC⊥AB,∴OB=3,∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34,∵S△OBC=12×OB×OC=12×BC×OH,∴OH=√34=15√3434,∵cos∠OBC=OBBC =BHOB,∴√34=BH3,∴BH=9√3434,∴BD=2BH=9√3417,∵CG∥OD,∴ODCG =BDBC,∴3CG =9√3417√34,∴CG=173.25.如图,△ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC,AB,AC切于点D,E,F,求AE,BD 和CF的长.【解答】AE=4,BD=9,CF=5【解析】设AE=x,∵△ABC的内切圆分别和BC,AB,AC切于点D,E,F,∴AF=AE=x,BE=BD,CD=CF,而BE=BA﹣AE=13﹣x,CF=CA﹣AF=9﹣x,∴BD=13﹣x,CD=9﹣x,而BD+CD=BC,∴13﹣x+9﹣x=14,解得x=4,∴AE=4,BD=9,CF=5.26.已知PA、PB分别切⊙O于A、B,E为劣弧AB上一点,过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1)若PA=6,求△PCD的周长.(2)若∠P=50°求∠DOC.【解答】(1)△PCD的周长=12;(2)∠COD=65°【解析】(1)连接OE,∵PA、PB与圆O相切,∴PA=PB=6,同理可得:AC=CE,BD=DE,△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12;(2)∵PA PB与圆O相切,∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°,在Rt△AOC和Rt△EOC中,{OA=OEOC=OC,∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL),∴∠AOC=∠COE,同理:∠DOE=∠BOD,∠AOB=65°.∴∠COD=1227.已知PA、PB、DE是⊙O的切线,切点分别为A、B、F,PO=13cm,⊙O的半径为5cm,求△PDE的周长.【解答】24cm【解析】连接OA,则OA⊥PA.在直角三角形APO中,PO=13cm,OA=5cm,根据勾股定理,得AP=12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线,切点分别为A、B、F,∴PA=PB,DA=DF,EF=EB,∴△PDE的周长=2PA=24cm.28.如图,⊙O是梯形ABCD的内切圆,AB∥DC,E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点.(1)求证:AB+CD=AD+BC;(2)求∠AOD的度数.【解答】(1)见解析;(2)∠AOD=90°【解析】(1)证明:∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N,由切线长定理:AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM,∴AB+DC=AD+BC;(2)连OE、ON、OM、OF,∵OE=ON,AE=AN,OA=OA,∴△OAE≌△OAN,∴∠OAE=∠OAN.同理,∠ODN=∠ODF.∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE.又∵AB∥DC,∠EAN+∠CDN=180°,×180°=90°,∴∠OAN+∠ODN=12∴∠AOD=180°﹣90°=90°.。
【高中数学】高中数学知识点:直线与圆的位置关系
【高中数学】高中数学知识点:直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系:由直线与圆的公共点的个数,得出结论以下直线和圆的三种边线关系:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。
(2)切线:直线和圆存有唯一公共点时,叫作直线和圆切线,这时直线叫作圆的切线,唯一的公共点叫作切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
其图像如下:直线和圆的位置关系的性质:(1)直线l和⊙o平行d<r(2)直线l和⊙o切线d=r;(3)直线l和⊙o嗟乎d>r。
直线与圆边线关系的认定方法:(1)代数法:判断直线ax+by+c=0和圆x2+y2+dx+ey+f=0的位置关系,可由面世mx2+nx+p=0,利用判别式△展开推论.△>0则直线与圆相交;△=0则直线与圆切线;△<0则直线与圆相离.(2)几何法:未知直线ax+by+c=0和圆,圆心到直线的距离d<r则直线和圆平行;d=r则直线和圆相切;d>r则直线和圆嗟乎.特别提醒:(1)上述两种方法,以利用圆心至直线的距离展开认定较为简便,而判别式法也适用于于直线与椭圆、双曲线、抛物线边线关系的推论.(2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.直线与圆边线关系的认定方法列表如下:直线与圆相交的弦长公式:(1)几何法:如图所示,直线l与圆c平行于a、b两点,线段ab的长即为l与圆平行的弦长。
设弦心距为d,半径为r,弦为ab,则有|ab|=(2)代数法:直线l与圆处设直线l的斜率为k,则有当直线ab的倾斜角为直角,即为斜率不存有时,|ab|=。
二、直线与圆的位置关系
29.2 直线与圆的位置关系一、知识点1、直线与圆有三种位置关系:(1)当直线与圆有两个公共点时,我们称直线与圆相交;(2)当直线与圆有且只有一个公共点时,我们称直线与圆相切,这个公共点叫做切点;(3)当直线与圆没有公共点时,我们称直线与圆相离。
2、若圆心O 到直线l 距离为d ,⊙O 的半径为r ,则依据直线与圆位置关系的定义得到:(1)直线l 与⊙O 相交⇔r d <;(2)直线l 与⊙O 相切⇔r d =;(3)直线l 与⊙O 相离⇔r d >;二、试题训练:1、已知⊙O 的半径r =2 cm ,直线l 与⊙O 的圆心距离d =2 cm ,则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定2、直线l 与半径为r 的⊙O 相交,且点O 到直线l 的距离为6,则r 的取值范围是( ) A. r <6 B.r =6 C.r >6 D.r ≥63、如图,已知∠AOB=30°,P 为边OA 上一点,且OP=5cm ,若以P 为圆心,r 为半径的圆与OB 相切,则半径r 为( )A.5 cmB.235cmC.25cm D.335cm 4、在△ABC 中,AB=AC=2,∠A=150。
,那么半径为1的⊙B 和直线AC 的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定5、在平面直角坐标系xoy 中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆( )A.与x 轴相交,与y 轴相切B.与x 轴相离,与y 轴相交B.与x 轴相切,与y 轴相交 D.与x 轴相切,与y 轴相离6、在直角坐标系中,⊙O 的半径1,则直线2+-=x y 与⊙O 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况都有可能7、设⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,若直线l 与⊙O 有交点,则d 与r 的关系是( )A.d =rB.d <rC.d >rD.d ≤r8、已知ABC 的面积为12,BC=8 cm ,则以A 为圆心,2 cm 为半径的圆与BC 的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定9、已知OA 平分∠BOC ,P 是OA 上任意一点(点O 除外),若以点P 为圆心的⊙P 与OC 相离,则⊙P 与OB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切 10、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5cm ,BC=3cm ,以点C 为圆心,与AB 边相切的圆的半径是______11、⊙O 的半径为6 cm ,弦AB 的长为6 cm ,以O 为圆心,3 cm 长为半径,与弦AB 有_______个公共 点。
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆是在平面几何中常见的两种基本图形,它们的位置关系及性质有很多种,下面我们来一一介绍。
1. 直线与圆的位置关系有三种情况:
(1)直线与圆相交;
(3)直线与圆内含。
2. 直线与圆的位置关系具有对称性质,即交换直线和圆的位置仍然成立,特别地,直线可以看成是以半径为无限大的圆。
3. 直线与圆的位置关系决定了它们之间的交点数目,以及交点的性质。
(1)交点数目:一条直线与一个圆最多有两个交点,最少有一个交点,如果切线重合,则只有一个交点。
(2)交点的位置:
① 两交点的连线经过圆心;
② 被交点的角度相等,且互为补角;
③ 两条切线垂直于径,且互相垂直;
④ 两条切线在点处的切线垂直于过该点的直径。
(3)判定方法:
① 如果直线与圆的方程可通过联立求解得到交点,则两者相交;
③ 如果扫描线经过圆时出现奇数个交点,则该直线与圆相交(扫描线法)。
① 交点在切线上;
① 确定圆心和半径,然后根据切线的判定条件求出切点;
② 针对某一求交点的定点,使各定点到圆心的距离相等,然后根据勾股定理求出交点。
(1)交点数目:一条直线与一个圆内含时,无交点。
① 切线内含于圆;
(3)判定方法:只需要判断过直线的所有圆的半径与直线的距离之差是否有大于零的情况即可。
总结:
在解决直线与圆的位置关系问题时,需要熟练掌握判定条件和数学技巧,才能快速判断它们的位置关系,从而有效地解决问题。
同时,本文的介绍也只是直线与圆位置关系的一些基本性质,实际问题中还可能存在更加复杂的情况和解决方法。
直线和圆的位置关系知识点归纳整理
直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时,称为直线和圆的交点。
此时直线称为圆的割线,公共点称为交点。
2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时,称为直线与圆相切,然后直线称为圆相切。
3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时,称为直线和圆分离。
直线与圆的三种位置关系的判定与性质(1)数量法:通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有:直线l与⊙O相交d<r;直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d>r;(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点;直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点;直线l与⊙O相离d>r无公共点。
切线知识点切线的定义:在平面中,与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度,称为该点到圆的切线长度。
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,B切点分别为A,B,则PA=PB,∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程,解方程,方程无解,直线与圆分离,方程有一组解,直线与圆相切,方程有两组解,直线与圆相交。
2、几何法:求出圆心到直线的距离d,半径为r。
d>r,则直线与圆相离,d=r,则直线与圆相切,d<r,则直线与圆相交。
如何判断直线和圆的位置关系平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:1、由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中,直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系,对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来,咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时,我们称直线与圆相交。
想象一下,就好像直线穿过了圆,与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时,称直线与圆相切。
这时候,直线就像是轻轻触碰了一下圆,只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时,就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界,没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d < r,则直线与圆相交。
比如,圆的半径是 5,圆心到某条直线的距离是 3,因为 3 < 5,所以直线与圆相交。
若 d = r,则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆,圆心到某直线距离恰好为 6,那这条直线就与圆相切。
若 d > r,则直线与圆相离。
比如圆半径 4,圆心到某直线距离 7,因为 7 > 4,所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立,消去其中一个变量(比如 y),得到一个关于另一个变量(比如 x)的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ > 0,则直线与圆相交,意味着有两个不同的交点。
若Δ = 0,则直线与圆相切,只有一个交点。
若Δ < 0,则直线与圆相离,没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时,所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax + By + C = 0,圆的方程为(x a)²+(y b)²= r²,直线与圆的交点为 P(x₁, y₁),Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心(a, b) 到直线的距离 d =|Aa + Bb + C| /√(A²+ B²) 。
培优:-直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系一、知识梳理:知识点1、直线和圆的三种位置关系:知识点2、切线的判定和性质:1、 判定:(1)当圆心到直线的距离d 等于半径r 时,直线是圆的切线; (2)经过半径外端垂直于的半径的直线,是圆的切线。
2、性质:如果一条直线与圆相切,另一条满足:(1)过圆心,(2)切点,(3)垂直于半径.其中任意两个条件,则必满足第三个条件。
知识点3、弦切角定理:弦切角等于所夹弧对的圆周角。
知识点4、切线长定理:从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等; 知识点5、圆幂定理: (1)PA ·PB=PC ·PD(2)PT ²=PA ·PB=PC ·PD知识点6、圆与三角形:(1)1902BIC A ∠=+∠,()12S a b c r =++ (2) ()12r a b c =+-注意:(1)“连半径证垂直得切线”。
“作垂直证半径得切线”。
(2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径;若过切点有垂线则必过圆心;过切点有弦,则想到弦切角定理,想到圆心角、圆周角性质,可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。
(3)任意三角形有且只有一个内切圆,圆心为这个三角形内角平分线的交点。
二、典例精讲考点1、切线的性质和判定例1、(1)如图,已知,△ABC 中,AB=AC ,以BC 的 中点O 为圆心的圆切AB 于D 。
求证:⊙O 与AC 也相切(2)(2011广西梧州,25,10分)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,切点为C .延长AB 交CD 于点E .连接AC ,作∠DAC =∠ACD ,作AF ⊥ED 于点F ,交⊙O 于点G . (1) 求证:AD 是⊙O 的切线;(2) 如果⊙O 的半径是6cm ,EC =8cm ,求GF 的长. d<r d=r d>r关 系 相交 相切 相离交点个数 两个交点 一个交点 没有交点直线名称 割线 切线 不相交线CAOBDA P D CB A B T P DCA c b I aCBAcbBCar AD C B A B P BGOA考点2、圆幂定理:例2、(1)如图,已知PT 是⊙0的切线,PAB 、PCD 是⊙0的割线, BC ∥PT ,连接DA 并延长交PT 与Q 求证:PQ=TQ(2)、如图,两弦AB DG 、交于E ,过E 作切线DF 的垂线,垂足为F,CD 是⊙0直径。
直线和圆的三种位置关系知识点
. (1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d>r.(2)(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.(3)(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)在应用判定定理时注意:①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.(4)(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.(5)(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;②两圆外切⇔d=R+r;③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);④两圆内切⇔d=R-r(R>r);⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).(6);..。
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系圆与直线是几何学中常见的图形,它们之间的位置关系包括相离、相切和相交三种情况。
本文将详细探讨这些情况,并通过几何推理和实例来解释。
1. 圆与直线相离:当直线与圆没有任何交点时,它们被视为相离的。
直线可能是圆心到圆周的垂直线,或者不经过圆心的一般直线。
无论直线与圆相切于内侧还是外侧,只要它们没有交点,就可以判定为相离的情况。
2. 圆与直线相切:相切是指直线与圆仅有一个交点,且交点位于圆上。
这种情况下,直线的斜率与圆心到直线的距离有一定的关系。
具体而言,如果直线的斜率与圆心到直线的距离相等,则可判断为相切关系。
相切分为外切和内切两种情况。
2.1 外切情况:当直线与圆相切于圆外时,被视为外切。
此时,直线与圆心的连线垂直于直线,且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。
2.2 内切情况:当直线与圆相切于圆内时,被视为内切。
此时,直线与圆心的连线垂直于直线,且直线与圆的切点在圆心与直线之间的连线上。
3. 圆与直线相交:当直线与圆有两个交点时,它们被视为相交。
直线可以穿过圆或与圆相切于圆上。
相交分为两种情况。
3.1 直线穿过圆:当直线穿过圆时,它将与圆有两个交点。
在这种情况下,可以进一步判断两个交点与圆心的位置关系,即是否位于圆的同侧或异侧。
3.2 直线与圆相切于圆上:当直线与只与圆相切于圆上时,它将与圆有两个重合的交点。
这种情况下,直线的斜率与圆心到直线的距离不等。
通过上述讨论,我们可以看出,圆与直线的位置关系涉及直线的斜率、圆心到直线的距离以及交点的位置。
这种关系对于解决几何问题和实际应用具有重要意义。
我们可以通过几何推理和计算来判断圆与直线的位置关系,进而解决与其相关的问题。
例如,在建筑设计中,确定某个圆形花坛是否与墙面的直线相交或相切,可以决定是否需要调整花坛的位置和形状,从而达到更美观和合理的效果。
在机械制图中,分析零件的圆形定位孔与直线轴线的位置关系,有助于确定装配的精度和可靠性。
圆和直线的位置关系知识点
圆和直线的位置关系知识点圆和直线的位置关系是数学中非常重要的知识点,它们广泛应用于各种领域,如图形设计、建筑、物理和工程学等。
本文将探讨圆和直线之间的位置关系,包括相交、相切和不相交等情况。
一、圆和直线的相交从几何的角度来看,如果一条直线与圆相交,则该直线经过圆的两个点。
这两个点被称为圆与直线的交点。
如图1所示,直线AB与圆O相交于点C和点D。
图1 圆与直线相交我们可以得出如下结论:1. 如果直线的斜率等于圆心到直线的垂线的斜率,则圆与直线相切。
2. 如果直线的斜率大于或小于圆心到直线的垂线的斜率,则圆与直线相交。
二、圆和直线的相切当直线与圆只有一个公共点时,我们称圆和直线相切。
在图2中,直线和圆相切于点E。
图2 圆与直线相切这里我们介绍一个重要的结论:相切的直线是圆的切线。
圆的切线定义为与圆相切的直线。
如图3所示,圆O的切线为直线PO。
图3 圆的切线三、圆和直线不相交如果直线经过圆的中心,但不与圆相交,那么该直线被称为圆的直径。
圆的直径是圆的最长距离,它被定义为通过圆心且两端点在圆上的直线。
如图4所示,直线MN为圆O的直径。
图4 圆的直径另外,如果一条直线不经过圆的中心,并且距离圆心的距离等于圆的半径,则该直线被称为圆的割线。
如图5所示,直线EF是圆O的割线。
图5 圆的割线四、结论在本文中,我们介绍了圆和直线之间的三种位置关系:相交、相切和不相交。
我们还提到了相切的直线是圆的切线,圆的直径是圆的最长距离,圆的割线距离圆心的距离等于圆的半径。
这些知识点在数学中非常重要,对于理解圆形和直线在几何学、物理学和工程学中的应用有着重要的作用。
高三直线与圆的知识点
高三直线与圆的知识点直线与圆是高中数学中一个重要的几何学知识点。
本文将对高三学生在学习直线与圆相关内容时需要掌握的知识点进行详细介绍。
一、直线与圆的基本概念在几何学中,直线与圆是最基本的图形。
直线是无限延伸的、宽度可以忽略不计的一维图形,用两个端点确定;圆是平面上一组与一个给定点的距离相等的点的集合,该给定点称为圆心。
二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系有三种情况:(1)直线与圆相交:直线与圆相交于两个不同的点。
(2)直线与圆相切:直线与圆相切于圆上的一个点。
(3)直线与圆相离:直线与圆没有公共的点。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法:(1)利用勾股定理:设圆的圆心为O,直线上任意一点为A,则直线上的点到圆心的距离等于圆的半径r,即OA²=r²。
(2)利用判别式:设圆的圆心为O(x0,y0),半径为r,直线的方程为Ax+By+C=0,则直线与圆的位置关系可以用判别式D=|Ax0+By0+C|²-(A²+B²)(x0²+y0²-r²)来判断。
当D>0时,直线与圆相交;当D=0时,直线与圆相切;当D<0时,直线与圆相离。
三、直线与圆的性质1. 直线的性质:(1)直线的斜率:直线的斜率定义为直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
(2)直线的截距:过直线上任意一点的垂直线与坐标轴的交点称为直线的截距。
直线的截距有x截距和y截距两种形式。
2. 圆的性质:(1)圆的周长:圆的周长等于半径乘以2π。
(2)圆的面积:圆的面积等于半径平方乘以π。
四、直线与圆的问题求解在学习直线与圆的知识时,常常需要解决与其相关的问题。
下面介绍几类常见的问题及求解方法:1. 直线与圆的交点问题:(1)已知直线与圆的方程,求交点坐标。
(2)已知直线与圆的位置关系,求直线方程或圆方程。
2. 直线与圆的切线问题:(1)已知直线与圆的位置关系为相切,求切点坐标及切线方程。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念,涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。
本文将对直线与圆的位置关系进行总结,包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。
一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点:当直线与圆的位置关系是相交时,直线将穿过圆的两个交点。
这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。
2. 直线与圆相交于一个交点:当直线与圆的位置关系是相切时,直线与圆仅有一个交点。
这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。
二、直线与圆的相切关系1. 切线:当直线与圆的位置关系是相切时,直线与圆仅有一个交点,并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线是圆上某一点的切线,它与半径的长度相等。
2. 外切线:当一条直线与圆的位置关系为外切时,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
3. 内切线:当一条直线与圆的位置关系为内切时,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时,即直线与圆没有交点。
总结:直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。
在相交的情况下,直线与圆相交于两个交点或一个交点。
在相切的情况下,直线与圆仅有一个交点,并且切点处的切线垂直于半径。
而不相交的情况下,直线与圆没有交点。
以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。
了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。
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(1)直线和圆的三种位置关系:
①相离:一条直线和圆没有公共点.
②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.
③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.
(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
①直线l和⊙O相交⇔d<r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d>r.
(2)(1)切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径.
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(2)切线的性质可总结如下:
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;
②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.
(3)切线性质的运用
由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.
(3)(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)在应用判定定理时注意:
①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.
③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂
线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.
(4)(1)内切圆的有关概念:
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.
(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.
(3)三角形内心的性质:
三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
(5)(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.
如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.
(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;
②两圆外切⇔d=R+r;
③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);
④两圆内切⇔d=R-r(R>r);
⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).。