利用导数研究函数的极值与最值

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高二数学A 学案 1.3.2利用导数研究函数的极值与最值

编号：20 编制：纪登彪 审核：姜希青 时间：2012-2-25

一、【学习目标】

1、能够区分极值与最值两个不同的概念；

2、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

3、掌握求可导函数的极值与最值的步骤. 二、【基础知识】

1、函数()f x 在闭区间[],a b 上的最值：如果在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图象是一条

的曲线，则该函数在[],a b 上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。 2、求函数()y f x =在闭区间[],a b 上的最值的步骤：（1）求函数()y f x =在(),a b 的 ；（2）将函数()y f x =的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

3、绕口令：函数的最大值、最小值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值。极值有可能成为最值，最值不一定是极值，最值只要不在端点处必定是极值。 三、【典型例题】

例1：求下列各函数的最值：

（1）()[

]3

2

362,1,1f x x x x x =-+-∈-；（2）()[]0,4f x x x =+∈。

例2：设

213a <

<，函数()323

2

f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为-，

求函数的解析式。

例3：设函数()22()21,0f x tx t x t x R t =++-∈>。

（1）求()f x 的最小值()h t ；（2）若()2h t t m <-+对()0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

四、【当堂练习】 1、函数()3223125f x x x x =--+在区间[]0,3上的最大值和最小值分别是（ ）

A 、5,15-

B 、5,4-

C 、4,15--

D 、5,15--

2、函数()[],0,4x f x x e x -=⋅∈的最大值为（ ）

A 、0

B 、

1e

C 、

4

4e D 、

2

2e 3、已知函数()2

23f x x x =--+在[],2a 上的最大值为

15

4，则a =（ ） A 、32

-

B 、

12 C 、1

2

- D 、12-或32

-

4、若函数()1sin sin 33f x a x x =

+在3

x π

=处有最值，则a =（ ）

A 、2

B 、1

C

D 、0

5、当0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭时，函数()()sin f x tx x t R =-∈的值恒小于零，则t 的取值范围是（ ）

A 、2t π≤

B 、2t π≤

C 、2t π≥

D 、2

t π

<

6、点P 是曲线2ln 2y x =-

上任意一点，则点P 到直线y x =-的最小距离为（ ）

A

、

4 B

、4 C D 7、函数()32

43365f x x x x =+-+在)2,-+∞上的最大值为 ，最小值

为 。

8、若函数()3

32f x x x m =+

+在[]2,1-上的最大值为9

2

，则m = 。 9、（09江苏）设函数()331f x ax x =-+对于任意[]1,1x ∈-，都有()0f x ≥成立，则a = 。

10、已知()()()24

f x x x a =--，若()10f '-=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值。

11、已知0a >，函数()ln f x x ax =-。

（1）设曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线为l ，若l 与圆()2

2

11x y ++=相切，求a 的值；

（2）求()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 在(]0,1上的最大值。