七年级下册数学 完全平方公式课件
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苏科版七下数学完全平方公式课件
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(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2
a2 2ab b2
（a-b）2= a2-2ab +b2
新知归纳
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和.
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
(6)(x 2 y)2 x2 4xy 4 y2 √
典型例题
例3：简便计算 （1）3022
（2）49.72
解：
3022
(300 2)2
3002 2300 2 22
90000 1200 4 91204
课堂小结
面积恒等法
数形结合思想
多项式相乘法则
完全平方公式
应用与拓展
1.整理 2.公式选择 3.代入准确 4.化简 一题多解方法
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
合作学习 计算 (a b)2
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
3、已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
转化思想
拓展提高
通过本节课的学习你会求（a+b+c)2的值吗？ 说说你的方法。
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2
a2 2ab b2
（a-b）2= a2-2ab +b2
新知归纳
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和.
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.
(6)(x 2 y)2 x2 4xy 4 y2 √
典型例题
例3：简便计算 （1）3022
（2）49.72
解：
3022
(300 2)2
3002 2300 2 22
90000 1200 4 91204
课堂小结
面积恒等法
数形结合思想
多项式相乘法则
完全平方公式
应用与拓展
1.整理 2.公式选择 3.代入准确 4.化简 一题多解方法
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
合作学习 计算 (a b)2
(a b)2
a (b)2
a2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
合作学习 计算 (a b)2
（a-b）2 = （a-b）（a-b） = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab +b2
3、已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
转化思想
拓展提高
通过本节课的学习你会求（a+b+c)2的值吗？ 说说你的方法。
1.6完全平方公式(第1课时)课件-七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
小结&反思
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同：
情势不同
结果不同：
完全平方公式的结果是三项， 即 (a +b)2＝a2 +2ab+b2;
平方差公式的结果是两项， 即 (a+b)(a-b)＝a2-b2.
2.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
练习&巩固
C
2.小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2－10ab＋■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是( )A．5b B．5b2 C．25b2 D．100b2
练习&巩固
A
2.若x2＋8x＋k是完全平方式，则k等于( )A．16 B．－16 C．±3 D．±4
3.口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
探索&交流
典例精析
例2.利运用完全平方公式计算： (1)(－x＋5)2； (2)(－a－2b)2；解：(1)原式＝(x－5)2＝(x)2－2·x·5＋52 ＝x2－10x＋25； (2)原式＝(a＋2b)2＝a2＋2·a·2b＋(2b)2 ＝a2＋2ab＋4b2
探索&交流
典例精析
例1.利用完全平方公式计算：(1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2 ；(3) (mn－a)2 .解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－2·2x·3+32 = 4x2－12x + 9；(2) (4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ； (3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2 = m2n2－2amn+a2.
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同：
情势不同
结果不同：
完全平方公式的结果是三项， 即 (a +b)2＝a2 +2ab+b2;
平方差公式的结果是两项， 即 (a+b)(a-b)＝a2-b2.
2.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
练习&巩固
C
2.小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2－10ab＋■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是( )A．5b B．5b2 C．25b2 D．100b2
练习&巩固
A
2.若x2＋8x＋k是完全平方式，则k等于( )A．16 B．－16 C．±3 D．±4
3.口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
探索&交流
典例精析
例2.利运用完全平方公式计算： (1)(－x＋5)2； (2)(－a－2b)2；解：(1)原式＝(x－5)2＝(x)2－2·x·5＋52 ＝x2－10x＋25； (2)原式＝(a＋2b)2＝a2＋2·a·2b＋(2b)2 ＝a2＋2ab＋4b2
探索&交流
典例精析
例1.利用完全平方公式计算：(1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2 ；(3) (mn－a)2 .解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－2·2x·3+32 = 4x2－12x + 9；(2) (4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ； (3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2 = m2n2－2amn+a2.
北师大版七年级数学下册1.完全平方公式的认识课件(共19张)
新知探究
典例精析
运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； 解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a + b)2= a2 + 2ab + b2 = 16m2 + 8mn +n2.
新知探究
(2)
y
1 2
2
解：
y
1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2
+
1 2
2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
b
你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
新知探究
完全平方公式 合作探究： 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 ； （2） (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 ； （3） (p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 ； （4） (m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
-
-
a2
-
ab - b(a-b)
a2-2ab+b2
新知探究
问题4 视察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
1.6完全平方公式课件数学北师大版七年级下册
=
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
完全平方公式与平方差公式-----完全平方公式课件数学沪科版七年级下册
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40 000-1 200+9
=10 404.
=38 809.
例5
计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
=16x²+20xy+20xy+25y²
=16x²+40xy+25y².
−
1
)(
2
− )
1
= ²
4
−
1
2
1
2
1
= ²
4
− + ².
−
²
+
例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( C )
A.11或-7
B.13或-7
C.11或-5
D.13或-5
解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的情势.
(a - b)² = a² - 2 a b + b²
=9a²-12ab+4b².
例1 用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
解：(1)(2x-3)(2x-3)
=4x²-6x-6x+9
=4x²-12x+9.
(2)(4x+5y)2;
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
苏科版七年级数学下册乘法公式—完全平方公式课件
解： (1) 原式 ＝(1000 -2)2 ＝10002- 2×1000×2＋22 ＝1000000－4000+4 ＝996004
(2) 原式 ＝(2000 ＋1)2 ＝20002＋2×2000×1＋12 ＝4000000＋4000＋1＝4004001
【练一练】
1.用简便方法计算: 992.
2.如图所示,内外两个均为正方形, 则小正方形的边长为多少厘米?大 正方形的面积比小正方形大多少?
试一试 计算: (a + b + c)2
【练一练】 1.用完全平方公式计算：
(1) (1＋x)2；
(2) (y－4)2；
(3) (－3x＋2)2;
4
3
x
4
2
y
2 3
【练一练】 2.下面计算对不对?如果不对，应当怎样改正?
(1) (x＋y)2 ＝ x2＋y2；
(2) (－a－b)2 ＝ a2－2ab＋b2；
【练一练】
3.填空：
(1) (a +
)2 ＝ a2 + 4ab + 4b2；
(2) (2a +
)2 ＝4a2 + 4ab + b2；
(3) (3x -
)2 ＝ 9x2 - 12xy +
；
(4) ( - x -
)2 ＝x2 +
+ 1.
例题讲授
例2 用简便方法计算：(1) 9982；
(2) 20012.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推理
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
七年级数学沪科版下册第1课时完全平方公式课件
课堂小结
1. 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2
（a-b)2= a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减
去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
课堂小结
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
方，末平方，首末两倍中间放”．
新知讲授
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
新知讲授
2. 完全平方式的计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2.
＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，
∴
＋
+ + −
= =
=
；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝
x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
随堂练习
1.计算：运用乘法公式计算: (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
随堂练习
2.思考：怎样计算1022更简便呢？
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
完全平方公式公开课ppt课件
应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
1.6.1 完全平方公式(第1课时)(课件)-2023-2024学年七年级数学
核心知识点一
完全平方公式
一块边长为 a 米的正方形 试验田，因需要将其边长增加 b 米， 形成四块试验田，以种 植不同的新品种．
b
a
a
b
用不同的形式表示试验田的总面积，并进行比较． 你发现了什么？
直接求：
总面积= (a+b)2
b
间接求：
总面积= a2+ab+ ab+ b2
a
(a+b)2 = a2+2ab+b2
解：原式= (200 –1)2 =2002-2×200×1+12 =40000 -400+1 =39601
【归纳提升】
完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原 数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平 方公式进行求解．
练一练：利用乘法公式计算： (1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152.
（2）原式=x2+14x+49﹣x2+6x﹣8 =20x+41．
题型三：完全平方公式的变形运用 例3.若a+b=5,ab=6, 求a2+b2.
解：∵(a+b) 2=a2+2ab+b2 ∴ a2+b2=(a+b) 2-2ab =52-2×6 =13
例4. 若a-b=5,ab=6, 求a2+b2.
解：∵(a-b) 2=a2-2ab+b2 ∴ a2+b2=(a-b) 2+2ab =52+2×6 =37
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)] =(x-y)2-(m-n)2 =x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
完全平方公式
一块边长为 a 米的正方形 试验田，因需要将其边长增加 b 米， 形成四块试验田，以种 植不同的新品种．
b
a
a
b
用不同的形式表示试验田的总面积，并进行比较． 你发现了什么？
直接求：
总面积= (a+b)2
b
间接求：
总面积= a2+ab+ ab+ b2
a
(a+b)2 = a2+2ab+b2
解：原式= (200 –1)2 =2002-2×200×1+12 =40000 -400+1 =39601
【归纳提升】
完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原 数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平 方公式进行求解．
练一练：利用乘法公式计算： (1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152.
（2）原式=x2+14x+49﹣x2+6x﹣8 =20x+41．
题型三：完全平方公式的变形运用 例3.若a+b=5,ab=6, 求a2+b2.
解：∵(a+b) 2=a2+2ab+b2 ∴ a2+b2=(a+b) 2-2ab =52-2×6 =13
例4. 若a-b=5,ab=6, 求a2+b2.
解：∵(a-b) 2=a2-2ab+b2 ∴ a2+b2=(a-b) 2+2ab =52+2×6 =37
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)] =(x-y)2-(m-n)2 =x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
冀教版数学七年级下册同步课件：第2课时完全平方公式
x2 6 xy 9 y2
(2)(1 ab cm)2 3
1 (
ab)2
2(1
ab)(cm)
(cm)2
3
3
1 a2b2 2 abcm c2m2
9
3
(3)(4a 3b)2
解：(4a 3b)2 [(4a 3b)]2 (1)2(4a 3b)2 (4a)2 2(4a)(3b) (3b)2 16a2 24ab 9b2
(m＋2n)2
m
(2b－c)2
2b
2n
m2＋4mn＋4n2
c
4b2－4bc＋c2
(3m－2)2
3m
2
9m2－12m＋4
例题讲授 例1 计算： （1）(2m 3n)2
（2）(2m 3n)2
(a b)2 a2 2ab b2
解：(1)(2m 3n)2 (2m)2 2(2m)(3n) (3n)2 4m2 12mn 9n2
C.(a＋b)(a－b)=a2－b2
D.a(a＋b)=a2＋ab
2.利用完全平方公式计算：
(1)(5＋3p)2;
(2)(7x－2)2;
解：(5＋3p)2 =9p2＋30p＋25.
(3)(－2x＋3y)2; 解：(－2x＋3y)2
=4x2－12xy＋9y2.
解：(7x－2)2 =49x2－28x＋4.
错 (x +y)2 =x2+2xy +y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
做一做
按要求填写下面的表格：
算式
与公式中a 与公式中b 对应的项 对应的项
北师大版初中数学七年级下册1.6-完全平方差公式课件
=(x2+6x+9)-(x2-5x+6)
(x-2)2
修改
=(x2+6x+9)-(x2-4x+4)
= x2+6x+9-x2+4x-4
=10x+5
= x2+6x+9-x2+5x-6
=11x+3
(x+3)2-
解: (x+3)2- (x-2)2
=[ (x+3) + (x-2) ] [ (x+3) - (x-2) ]
解:(a+b+3) (a+b−3)
= a2 +ab-3a+ ab +b2－3b+3a+3b-9
=a2 +2ab+b2－9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题
中渗透了整体数学思想。
练习2. 计算：a-b-3)
=[ (a-b) +3] [ (a-b) -3]
（2） (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
解：（1）(a+b)2
=52
=25
(2)a2+b2
（2）a2+b2
= (a+b)2-2ab
=52-2×(-6)
=25+12
=37
融会贯通
(3)(a-b)2
(3)(a-b)2
=a2+b2-2ab
=37-2×(-6)
=37+12
=49
挑
战
自
我
1.己知x+y=3 ，x2+y2=5 则xy 的值等于多少？
(x-2)2
修改
=(x2+6x+9)-(x2-4x+4)
= x2+6x+9-x2+4x-4
=10x+5
= x2+6x+9-x2+5x-6
=11x+3
(x+3)2-
解: (x+3)2- (x-2)2
=[ (x+3) + (x-2) ] [ (x+3) - (x-2) ]
解:(a+b+3) (a+b−3)
= a2 +ab-3a+ ab +b2－3b+3a+3b-9
=a2 +2ab+b2－9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题
中渗透了整体数学思想。
练习2. 计算：a-b-3)
=[ (a-b) +3] [ (a-b) -3]
（2） (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
解：（1）(a+b)2
=52
=25
(2)a2+b2
（2）a2+b2
= (a+b)2-2ab
=52-2×(-6)
=25+12
=37
融会贯通
(3)(a-b)2
(3)(a-b)2
=a2+b2-2ab
=37-2×(-6)
=37+12
=49
挑
战
自
我
1.己知x+y=3 ，x2+y2=5 则xy 的值等于多少？
乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)
= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特
完全平方公式ppt课件
推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式 的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推 导过程，包括展开、整理、简化 等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式， 强调公式中的重要部分，如中间项系 数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平 方公式进行计算，帮助学生理解公式 的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方 公式，其中$a$和$b$是常数，表示一 个二次多项式和一个一次多项式相加 或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加 或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
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拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括 号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
做一做
完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将 其边长增加 b 米。 形成四块 实验田，以种植不同的新品种 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
形式不同．
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
作业
作业
1、基础训练：教材p.36 习题1.13 。 2、扩展训练：试一试.
P34---35 读一读.
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
《数学》( 北师大 .七年级 下册 ) 标题
回顾 & 思考 ☞ 回顾与思考 (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项” ; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后， 才能使用平方差公式。
a
学一学 例题解析
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写： 第一数 的平方,
2x− 32 解：(1) (2 −3) = ( 2x ) 2 − 2 • 2 x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证
(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
利用两数和的 完全平方公式 推证公式
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
初 识 完全平方 公式
2= (a+b)2 2 2 2 ((a − 2 + b − 2 a a + b.2 a− −b b))222= =a a − 2a ab bb + b22 2+ 2 a2 2a ab b+b2 +2
.
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
ab
b2 ab
b
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 总面积 = ( a + b ) ； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋
想一想
完全平方公式 的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2 2 2 a − 2 a b + b . (a−b) =
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(差) 的平方 的公式 a 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (2减去 这两数乘积的两倍 .b+b2 . (a−b) ab −b(a−b) = a2−2a = a2) −
阅读
减去 第一数与第二数 乘积 的 2倍 , 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
随堂练习 随堂练习
p34
1、计算：
(1) ( 1 x − 2y)2 ； (2) (2xy+ 1Байду номын сангаасx )2 ;
5 2
(3) (n +1)2 − n2.
接纠错练习
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
完全平方公式的结果 是三项， 2 2 2 结果不同： 即 (a b) ＝a 2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键