导数与微分在经济学中的简单应用
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（2）解析式：设需求函数为：p=p(q),(q为销量,p为单价）则收益函数为：
R R(q) q • p(q)
边际收益为： MR R(q) dR dq
（3）分析： R(q 1) R(q) R(q)
（4）举例
设某商品的价格p关于需求量q的函数为p 10 q , 5
求当p 6时的总收益,平均收益和边际收益.
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
Q
Ep
p q( 百度文库) q
1400(ln 4) p(1) p 4
1400(1) p
p ln 4
4
Ep p10 10ln 4 20ln 2
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？
（4）举例
设生产某商品x个单位的成本函数为C(x) 100 6x x2 , 4
求当x 10时的总成本,平均成本和边际成本
解： 总成本为C(10) 185,
平均成本为C(10) C(10) 18.5, 10
边际成本为C(10)
(C(x))
x10
(6
x) 2
x10
11
2 边际收益 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的收益。
解：
p 10 q q 50 5 p,当p 6时, q 20, 5
总收益R(q) pq 10q q2 , R(20) 120, 5
平均收益R(20) R(20) 6 20
边际收益R(20)
(10
2q ) 5
q20
2
3 边际利润 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的利润。
y
y x
x
或
y
Ex
lim
x0
y x
lim
x0
x y
y x
x y
y
x
2 需求价格弹性
若需求量为q，价格为p，则需求价格弹性为：
q
Ep
lim
p0
q p
p q
dq dp
p
dq q
dp p
Ep,或
q q
p p
Ep
由于需求量q是价格p的单减函数，Ep一般为负数
含义为:当价格上升一个百分点时， 需求量将下降Ep 个百分点
（2）解析式：利润函数为：
L L(q) R(q) C(q) qp(q) C(q)
边际利润为：
ML L(q) dL dq
（3）分析：
L(q 1) L(q) L(q)
二 弹性
1 概念：一种变量y对于另一种变量x的微小百分比变动所作的反应，即当x 有某一百分比的变动，则y有什么趋势的多大跨度的变动，称为y对x的弹性。 记为：
导数与微分在经济学中的简单应用
一、边际分析 二、弹性
一、边际分析
1 边际成本 （1）概念：在某一产量时多生产一件产品的成本。
（2）解析式：设成本关于产量的函数为：C=C(q),则边际成本为：
MC C(q) dC dq
（3）分析： C(q q) C(q) C(q)q
C(q 1) C(q) C(q)
当 E p 1时 : 有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升 若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
5 弹性举例
例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400(1)p ,求该商品的 4
3 需求收入弹性
设人们的收入为M，对某商品的需求量为q，则一般来说q随M单调递增， 需求收入弹性为：
EM
M q
dq dM
dq q
dM M
EM
,或
q q
M M
EM
含义为 :当收入增加一个百分点 时， 需求量将上升 EM 个百分点
4 边际与弹性的关系
（1）关系： Q R pq( p),dR pdq qdp,
解： (1)边际需求函数为q 5,
需求价格弹性为Ep
p q
q
5 p 42 5 p
(2)Ep
p6
5 6 42 5 6
2.5
1,
若价格上涨1%, 其需求量的减少将高于1%,因而总收益将减少
而E p
p q
dq ,qdp dp
pdq Ep
dR pdq pdq Ep
边际收益MR dR (1 1 ) p (1 1 )P
dq
Ep
Ep
R (1 1 ) pq Ep
（2）分析：
当 E p 1时 :
有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升
R R(q) q • p(q)
边际收益为： MR R(q) dR dq
（3）分析： R(q 1) R(q) R(q)
（4）举例
设某商品的价格p关于需求量q的函数为p 10 q , 5
求当p 6时的总收益,平均收益和边际收益.
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
Q
Ep
p q( 百度文库) q
1400(ln 4) p(1) p 4
1400(1) p
p ln 4
4
Ep p10 10ln 4 20ln 2
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？
（4）举例
设生产某商品x个单位的成本函数为C(x) 100 6x x2 , 4
求当x 10时的总成本,平均成本和边际成本
解： 总成本为C(10) 185,
平均成本为C(10) C(10) 18.5, 10
边际成本为C(10)
(C(x))
x10
(6
x) 2
x10
11
2 边际收益 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的收益。
解：
p 10 q q 50 5 p,当p 6时, q 20, 5
总收益R(q) pq 10q q2 , R(20) 120, 5
平均收益R(20) R(20) 6 20
边际收益R(20)
(10
2q ) 5
q20
2
3 边际利润 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的利润。
y
y x
x
或
y
Ex
lim
x0
y x
lim
x0
x y
y x
x y
y
x
2 需求价格弹性
若需求量为q，价格为p，则需求价格弹性为：
q
Ep
lim
p0
q p
p q
dq dp
p
dq q
dp p
Ep,或
q q
p p
Ep
由于需求量q是价格p的单减函数，Ep一般为负数
含义为:当价格上升一个百分点时， 需求量将下降Ep 个百分点
（2）解析式：利润函数为：
L L(q) R(q) C(q) qp(q) C(q)
边际利润为：
ML L(q) dL dq
（3）分析：
L(q 1) L(q) L(q)
二 弹性
1 概念：一种变量y对于另一种变量x的微小百分比变动所作的反应，即当x 有某一百分比的变动，则y有什么趋势的多大跨度的变动，称为y对x的弹性。 记为：
导数与微分在经济学中的简单应用
一、边际分析 二、弹性
一、边际分析
1 边际成本 （1）概念：在某一产量时多生产一件产品的成本。
（2）解析式：设成本关于产量的函数为：C=C(q),则边际成本为：
MC C(q) dC dq
（3）分析： C(q q) C(q) C(q)q
C(q 1) C(q) C(q)
当 E p 1时 : 有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升 若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
5 弹性举例
例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400(1)p ,求该商品的 4
3 需求收入弹性
设人们的收入为M，对某商品的需求量为q，则一般来说q随M单调递增， 需求收入弹性为：
EM
M q
dq dM
dq q
dM M
EM
,或
q q
M M
EM
含义为 :当收入增加一个百分点 时， 需求量将上升 EM 个百分点
4 边际与弹性的关系
（1）关系： Q R pq( p),dR pdq qdp,
解： (1)边际需求函数为q 5,
需求价格弹性为Ep
p q
q
5 p 42 5 p
(2)Ep
p6
5 6 42 5 6
2.5
1,
若价格上涨1%, 其需求量的减少将高于1%,因而总收益将减少
而E p
p q
dq ,qdp dp
pdq Ep
dR pdq pdq Ep
边际收益MR dR (1 1 ) p (1 1 )P
dq
Ep
Ep
R (1 1 ) pq Ep
（2）分析：
当 E p 1时 :
有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升