2013年值得商榷的高考题 数学学科

2013年值得商榷的数学高考题

这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识．但不可否认地说，仍然有需要改进的地方．有些题目不够好或可以改进．我这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评．

一 概率统计题中的问题

由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈这方面的问题．

(一)数学上定位不准确

陕西第5题. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C

两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围

分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域

内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形

区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是( A ) ()1()1()2()4224A B B B π

π

π

π

---

评注：几何概率模型考查的是，如何把一个随机现象中求概率的问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题．而这道题重点是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识．

这样的问题去年也存在，如

2012年湖北理8．.

如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以

OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取

一点，则此点取自阴影部分的概率是 A

21121.1...2A B C D ππππ-

-

2013年辽宁 填空第16题

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 10 .

评注：统计的作用是提取信息．信息指的是我们要考查对象(总体)中的信息．样本则是随机抽取的．因此，求样本的最大值就没有任何意义．每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同．因此，这道题问题的提法就是错误的．另外，在实际问题中，是知道了样本去求样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？这纯粹变成了数字游戏．和统计问题相差万里．

(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重．

2013年湖南理18．(本小题满分12分)

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

(II)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

2013年江西理19．(本小题满分12分)

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团

还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起

点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如

图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个

向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率；

(2)求X的分布列和数学期望．

2013年浙江第19题此题的第二问．(本小题满分14分)

设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．

(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量

η为取出此球所得分数．若

55

,,

39

E D

ηη

==求a：b：c．

2013年江苏填空7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，

n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为20

63

．

评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作物求相‘接近’的概率或年收获量(湖南18题)，还是向量与合唱团(江西18题)，都极不自然，很难让人认同．浙江18题第二问，已知均值】方差，倒过来求a,b,c的关系也极不自然．而江苏的填空题，出现的‘病毒’，也不知要做什么．

(三) 个别题目有些难

我们看一下安徽21题．下面是出题者给出的分析和答案．重点看第二问．

2013年安徽理21．(本小题满分13分)

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．

(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使P (X =m )取得最大值的整数m ．

分析： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；

(II)由题意，要先研究随机变量X 的取值范围，由于k ≤n 故要分两类k =n 与k ＜n 进行研究，k =n 时易求，k ＜n 时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P (X =m )，再根据其形式研究它取得最大值的整数m 即可．

解：(I)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以A 与B 相互独立，

由于()()11,k n k n C k P A P B C n --===故()()

1,k P A P B n ==- 因此学生甲收到活动信息的概率是222211.k kn k n n -⎛⎫--= ⎪⎝⎭

(II)当k =n 时，m 只能取n ，此时有P (X =m )=P (X =n )=1