2013年值得商榷的高考题 数学学科

2013年值得商榷的数学高考题这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识．但不可否认地说，仍然有需要改进的地方．有些题目不够好或可以改进．我这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评．一 概率统计题中的问题由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈这方面的问题．(一)数学上定位不准确陕西第5题. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是( A ) ()1()1()2()4224A B B B ππππ---评注：几何概率模型考查的是，如何把一个随机现象中求概率的问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题．而这道题重点是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识．这样的问题去年也存在，如2012年湖北理8．.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A21121.1...2A B C D ππππ--2013年辽宁 填空第16题为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 10 .评注：统计的作用是提取信息．信息指的是我们要考查对象(总体)中的信息．样本则是随机抽取的．因此，求样本的最大值就没有任何意义．每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同．因此，这道题问题的提法就是错误的．另外，在实际问题中，是知道了样本去求样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？这纯粹变成了数字游戏．和统计问题相差万里．(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重．2013年湖南理18．(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(II)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．2013年江西理19．(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．2013年浙江第19题此题的第二问．(本小题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,,39E Dηη==求a：b：c．2013年江苏填空7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为2063．评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作物求相‘接近’的概率或年收获量(湖南18题)，还是向量与合唱团(江西18题)，都极不自然，很难让人认同．浙江18题第二问，已知均值】方差，倒过来求a,b,c的关系也极不自然．而江苏的填空题，出现的‘病毒’，也不知要做什么．(三) 个别题目有些难我们看一下安徽21题．下面是出题者给出的分析和答案．重点看第二问．2013年安徽理21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使P (X =m )取得最大值的整数m ．分析： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(II)由题意，要先研究随机变量X 的取值范围，由于k ≤n 故要分两类k =n 与k ＜n 进行研究，k =n 时易求，k ＜n 时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P (X =m )，再根据其形式研究它取得最大值的整数m 即可．解：(I)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以A 与B 相互独立，由于()()11,k n k n C k P A P B C n --===故()()1,k P A P B n ==- 因此学生甲收到活动信息的概率是222211.k kn k n n -⎛⎫--= ⎪⎝⎭(II)当k =n 时，m 只能取n ，此时有P (X =m )=P (X =n )=1当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和m 中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为()2,m n C 当X =m 时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k −m ，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m −k ，由乘法原理知：事件{X =m }所包含的基本事件数为2,k k m m k k m k m kn k n k n k n k C C C C C C ------= ()()222,k k m m k k m m k n k n kk n k k knn C C C C C P X M C C ------=== 当k ≤m <t 时，P (X =M )<P (X =M +1)⇔(m −k +1)2≤(n −m )(2k −m )⇔m ≤()212.2k k n +-+假如()212.2k k k t n +≤-<+成立，则当(k +1)2能被n +2整除时，()()2211221,22k k k k k t n n ++≤-<+-<++ 故P (X =M )在()2122k m k n +=-+和()21212k m k n +=+-+处达到最大值；当(k +1)2不能被n +2整除时，P (X =M )在()2122k m k n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦处达到最大值(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)，下面证明()212.2k k k t n +≤-<+因为1≤k <n ，所以()()2221111120.2222k k k k kn n k k k n n n n ++-------=≥=≥++++ 而()()221120,22k n k k n n n +-+--=-<++ 故()212,2k k n n +-<+显然()2122,2k k k n +-<+ 因此()212.2k k k t n +≤-<+ 点评： 本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分评注：这道题在两个方面比较难了．首先，如果考虑一个老师，例如李老师，先取了k 个学生，那么张老师选取到的学生中，没有被李老师选到的人数，服从超几何分布．也就是说，这个问题可以转化为学生熟知的超几何分布．讨论就很简单了．但是学生很难看出这一点．从这份答案来看，连出题者都没有能如此做．说明此题是难了．其次，后面的问题由求最大值转化为判断单调区间的问题．而这里涉及的是离散变量．因此，整个的困难变成了对参数的讨论，完全离开了概率的分析．而且这个讨论超出了中学生的水平，难了．如果能对参数给出具体的值，如n =100,k =60等，把问题集中于概率的分析，即突出了对概率的考查，又降低了难度，此题能成为一道不错的概率题．二 考试内容超出了课程标准和考试大纲(一) 递推公式2013年广东 理科第19题(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有121117.4n a a a +++< 评注：递推公式曾在高考题中一再出现．也曾多次受到批评． 此题是，今年高考卷中唯一出现的数列的递推公式考题．关于递推公式，我们所以会不止一次地提出批评．其根本原因是， 它不是数学研究的方向，无论是问题本身，还是其技巧方法，都不值得人们为此而花费精力．举一个类似的例子：我们知道五次和五次以上的代数方程都无法用方程的系数给出其根的解析表达式(除了一些极特殊的方程)．因此，找一些特殊的高次方程去求其解析解，就没有什么意义了．它不是数学研究的方向．同样地，对微分方程与差分方程(递推公式就是差分方程)，除了对一阶线性或某些特殊的方程(如贝努里方程)有通解公式外，主要是给出了高阶常系数线性方程的通解公式，而对一般的方程，特别是非线性方程，无法给出通解的表达式．因此，讨论一些特殊的方程(递推公式)，去求其通项公式，不是数学研究的方向．没有意义．对差分方程(递推公式)来说，数学上，研究的是，这些解的极限行为(趋于一个稳定值、呈现周期现象等)以及初始值或参数对解的影响．这属于离散拓扑动力系统，讨论的问题涉及到我们常听说的‘混沌’、‘分形’等．正是基于以上理由，我们反对在高中讨论这种意义不大的问题，即反对求一般的递推公式．新课标高考后，递推公式一度离开了高考．但前一两年又有所出现．我们曾给出批评．今年递推公式几乎不再出现，这是一个好现象．只有广东这次还有递推公式的题．因此，我们提出批评．希望以后能够杜绝．(二)大学或竞赛的题目这类题的出现也超出了高中课程标准和考试大纲的要求．不过，它一般不是指知识内容的超纲，而是一些比较难的技巧和方法．而这些技巧和方法又往往不是最基本、最本质的东西．2013年福建理科15题当x ∈R ,∣x ∣<1时，有如下表达式：211,1nx x x x +++++=- 两边同时积分得：111112222220000011,1n dx x dx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111ln 2.2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111____.2223212n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 注： 这里涉及的不是基本思想，而更多地是一种技巧．而且这里还涉及到级数能否逐项积分的问题，在此也无法严格讨论．没有必要用这些东西来考查中学生．2013年安徽理20题(本小题满分13分)设函数()()232221,*,23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0； (2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足10;n n p x x n+<-< 证明：(1)对每个n ∈N *，当x >0时，由函数()()232221,*23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈可得()2110,23n x x x f x n-'=++++>故函数f (x )在(0，+∞)上是增函数．由于f 1(0)=0，当n ≥2时，()222211110,23n f n=+++> 即f n (1)>0．又232222222233313323nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+++++ ⎪⎝⎭2112343ini =⎛⎫≤-+⋅ ⎪⎝⎭∑2112213311120.2343313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯=-< ⎪⎝⎭-根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0．(2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }，当x >0时， 因为()()()()112,1n n n n x f x f x f x n ++=+>+所以f n +1(x n )>f n (x n )=f n +1(x n +1)=0．由 f n +1(x ) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n +1<x n ，即 x n -x n +1>0，故数列{x n }为减数列，即对任意的 n 、p ∈N *，x n ﹣x n +p >0．由于 ()232221,23nn x x x f x x n=-+++++ ①()()()()2322212222123,12nn pn pn pn p n p n p n n n pn pn pn px x x f x x n x x x n n n p ++++++++++++=-+++++⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦+②用①减去②并移项，利用0<x n +p ≤1，可得222211k k k kn pn pnn p nn pn p n n p k k n k n x x x x x x kkk++++++==+=+--=+≤∑∑∑21111111.(1)n pn pk n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑综上可得，对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足0＜x n -x n +p ＜．点评： 本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．评注：这道题也是要用到大学数学系学生常用的放缩法来估计．这种能力对大学学数学的学生是应该要求的．但对高中生来说，就不应该如此要求了．用数学系大学生要会的一些技巧来区分选拔中学生是不适当的．其结果是，中学教学中会补充这些非本质的内容，加重学生负担．除了加入大学一些内容外，还有就是用一些竞赛的难题，如下面湖北和重庆的考题．都超出了对中学生考查的要求．2013年湖北理22(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(Ⅰ)求函数f (x )=(1+x )r +1−(r +1)x −1(x >−1)的最小值； (Ⅱ)证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++(Ⅲ)设x ∈R ，记[x ]为不小于x 的最小整数，例如[][]322,4, 1.2π⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦令S =++++ 求[S ]的值．(参考数据：4444333380344.7,350.5,124618.3,126≈≈≈≈631.7)解；(Ⅰ)由题意得f '(x )=(r +1)(1+x )r −(r +1)=(r +1)[(1+x )r −1]，令f '(x )=0，解得x =0．当−1<x <0时，f '(x )<0，∴f (x )在(−1，0)内是减函数； 当x >0时，f '(x )>0，∴f (x )在(0，+∞)内是增函数． 故函数f (x )在x =0处，取得最小值为f (0)=0． (Ⅱ)由(Ⅰ)，当x ∈(−1，+∞)时，有f (x )≥f (0)=0， 即(1+x )r +1≥1+(r +1)x ，且等号当且仅当x =0时成立， 故当x >−1且x ≠0，有(1+x )r +1>1+(r +1)x ，①在①中，令1x n =(这时x >−1且x ≠0)，得11111.r r n n++⎛⎫+>+⎪⎝⎭上式两边同乘n r +1，得(n +1)r +1>n r +1+n r (r +1)， 即()111,1r r r n n n r +++-<+②当n >1时，在①中令1x n=-(这时x >−1且x ≠0)，类似可得()111,1r r rnn n r ++-->+③且当n =1时，③也成立． 综合②，③得()()111111,11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++④(Ⅲ)在④中，令1,3r =n 分别取值81，82，83， (125)得444433333381808281,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333382818382,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333383828483,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………4444333333125124126125,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将以上各式相加，并整理得44443333331258012681,44S ⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入数据计算，可得444433333312580210.2,12681210.9,44⎛⎫⎛⎫⋅-≈⋅-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由[S ]的定义，得[S ]=211．2013年重庆理22(本小题满分12分) 对正整数n ，记I n ={1，2，3…，n }，,.n n n m P m I k I ⎫=∈∈⎬⎭(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P m 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P m 能分成两人上不相交的稀疏集的并．解：(1)对于集合P 7 ，有n =7． 当k =4时，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭中有3个数(1，2，3)与I 7={1，2，3，…，7}中的数重复，由此求得集合P 7中元素的个数为 7×7−3=46． 又法：当k =41357,1,,2,,3,,2222=有3个数与k =1相同，共有1167446.C C +=(2)先证当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A 和B 为两个不相交的稀疏集，使A ∪B =P n ⊇I n ．不妨设1∈A ，则由于1+3=22，∴3∉A ，即3∈B ．同理可得，6∈A ，10∈B ．又推出15∈A ，但1+15=42，这与A 为稀疏集相矛盾．再证P 14满足要求．当k =1时，14141414,.P I k I I ⎫=∈∈=⎬⎭可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1⋃B1=I14．当k=4时，集合14I⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合13513,,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：22159113713,,,,,,.2222222A A⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当k=9时，集合14I⎫∈⎬⎭，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：3314510132781114,,,,,,,,,.3333333333A B⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭最后，集合1414,,1,4,9C m I k I k⎫=∈∈≠⎬⎭中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1⋃A2⋃A3⋃C，B=B1⋃B2⋃B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A⋃B=P14．综上可得，n的最大值为14．三其它(一)题目叙述不合适例如，2013年全国新课标Ⅰ卷理科第12题设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…，若b 1>c 1，b 1＋c 1=2a 1，a n＋1=a n，11,,22n n n nn n c a b a b c ++++==则( )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列评注： 我们要考察学生的阅读能力，特别是阅读数学读物的能力．但是，作为写作者又应该把文章写得清楚明白．不能故意为难人．例如，此题给出的是，一系列周长不变且有一边为定长的三角形．为什么不能很自然地把这一点说明白呢？而故意用符号语言把它写的让人不易看懂．用符号语言是为了简洁清楚．而不是故意让人看不明白．这道题的重点应该是在给定的条件下，考查数列的增减性，这种写法不知作者要考察的是什么．2013年湖北理科14题古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n=- …… 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ．评注 什么是三角形数、正方形数、无边形数，……，作者为什么不能给清楚(例如，画图)呢？(二)题目本身意义不清楚2013年广东理13 题给定区域D ：44,4,0,x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ={(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 6 条不同的直线．评注 在线性规划中，为什么会有这个问题？不清楚问题的背景和意义．数学问题就变成了游戏．类似地，下面山东这道题的第三问，两个斜率使得1211kk kk +为定值，有几何意义吗？如果有，应该给出来，如果没有，这还是解析几何的问题吗？变成纯粹的形式推导，不是数学讨论的问题．2013年山东理科22(本小题满分13分)椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．。