华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-向量函数微分学(圣才出品)

，即
，当
时可逆。 时，
即
故
5．设 D Rn，f：D→Rm ．若存在正实数 k，r 对任何点 x，y∈D 满足
试证明 f 是 D 上的连续函数． 解：略。
6．设 （1） （2） （3）
，证明下列各式： ； ； 。
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使
，又因为 f 是一一映射，所以
使
，即
，
这表明
。
综合两方面，有
。
4．设 （1） （2） 证明：（1）因为
时可逆；
等价于
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，证明： 所以
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时，有
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利用本节习题 6（3）的不等式，有
故
若
（2）因为
有
，则 所以对
这表明
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7．设
为可微函数，试求分别满足以下条件的函数，f（x）：（1）
（单
位阵）；
（2）
，即以
为主对角线元的对角矩阵
。
解：（1）因为
所以由本节习题 6（2）有
（2）令
因为
故由本节习题 6（1）知 F（x）＝c（常向量），即
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5．设 解：把 w 看作以下三个变换的复合
即
，应用链式法则计算
则
6．设 D Rn 为开域，f：D→Rn 为可微函数．利用定理 23.14 证明： （1）若在 D 上 f′（x）恒为 0（零矩阵），则 f（x）为常向量函数； （2）若在 D 上 f′（x）≡c（常数矩阵），则 f（x）＝cx＋b，x∈D，b∈Rm． 答：略。
证明过程如下：（1）因为 f 在 处可微，故根据可微的定义，有
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所以 即
（2）又 g 在 处可微，故同样有 所以
即
2．求下列函数的导数： （1） （2） 解：（1）
，求
和
求
和
（2）
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3．设 解：对
为开集
均为可微函数，证明： 也是可微函数，而且
。
，因为 在 处可微，所以
又由 f（x）在 处可微，知 f 在 处连续，从而 在 附近有界，即
，使
所以
这表明， 在 处可微，且 D 上可微，且
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，由 的任意性，知 在
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4．设函数
的定义如下：
试依链式法则求下列复合函数的导数：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
（5）
；（6）
。
解：（1）令
，则
（2）令
，则
（3）令 则
பைடு நூலகம்
（4）令 则
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（5）令 则
（6）令 则
3．设
是 X 的任意子集，证明：（1）
；
（2）
；（3）若 f 是一一映射，则
。
解：（1）一方面，
，则
或
，若
，则
．使
，若
，则
使
所以
，总
，使
，即
，这表明
。
另一方面
，则
，使
，因为
．所以
或
，即
或
从而
，这表明
综合两方面，有
；
（2）
，则
使
因为
所以
且
，
则
且
，即
，故
。
（3）一方面，由（2）有
；
另一方面，
，则
且
，即
使
因而
，故
，
使
，现
有
即
。
（2）一方面，
由于
，因而
或
，若 X 则
由于
，存在点列
，使
，即表示
这说明 X 为 E 的聚
点，所以不论
或
，都有
．即
另一方面，
，若
，则
．即 X 为 E 的聚点，因而
，使
．故
若 又
，但
即
这表明
综合两方面，有
即
。
。
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即
又
即
所以
等号成立的条件为 y＝kx（k 为实数），当 n＝2 时等式的几
何意义为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。
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7．（1）证明定理 23.6； （2）设 D Rn 试问向量函数 f：D→Rm 在 D 上一致连续，是否等价于 f 的所有坐标 函数 fi，i＝1，2，…，m 都在 D 上一致连续?为什么? 答：略。
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第 23 章 向量函数微分学
§1 n 维欧氏空间与向量函数
1．设 证明：
，证明
2．设
点
到集合 E 的距离定义为
。证明：（1）若 E 是
闭集
，则
；（2）若 E 是 E 连同其全体聚点所组成的集合（称为 E 的闭包）．则
。
证明：（1）因为 E 为闭集，所以 E 的余集 为开集，由
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因为此处利用了不等式
即
所以
等号成立的充要条件为
或
也就是
即
图 23-2 故等号成立的充要条件为 x 与 y 正交，当 n＝2 时不等式的几何意义为（见图 23-2）； 以向量 x，y 为邻边的平行四边形的两对角线的乘积小于或等于以向量 x，y 为边的两正方 形面积之和。 （3）由三角不等式有
并讨论备不等式中等号成立的条件和解释 n＝2 时的几何意义。 证明：（1）此不等式的证明要用到第六章 中例 3，即所谓詹森不等式：若，为 上凸函数，则对任意
有
现取
，则
为 R 上的凸函数，令
，
则由詹森不等式，有
即
等式成立的充要条件为
。
当 n＝2 时，不等式为
图 23-1 此不等式的几何意义为（见图 23-1）：在任意一直角三角形中，以斜边所作正方形的对 角线的长大于或等于两直角边长之和。 （2）利用本节习题 1 有
8．设
为连续函数
为任意开集
为任意闭集，试问，f（A）是否
必为开集？f（B）是否必为闭集？
解：不一定，反例：
（1）对于连续函数
为开集，但
不是开集。
（2）对于连续函数
为开集，但
不是闭
集．
§2 向量函数的微分
1．证明定理 23.12。 证明：定理 23.12 设 在 也可微，且有
是两个在
可微的函数，c 是任意实数，则 cf 与
8．求下列函数 f 的黑赛矩阵，并根据例 4 的结果判断该函数的极值点：
（1）
（2）
解：（1）因为
其中
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