共焦点的双曲线和椭圆问题教学提纲

tan
2
三、已 知 椭 圆 方 程 为
x2 a2
y2 b2
1(a b 0),
两焦点分别为
F1 , F2 ,
设焦点三角形
PF1 F2
中
F1P m, PF2 n, 则 S b mn b2 c | y0 | 。
四、已知双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1, 两焦点分别为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1P
m, PF2
n, 则
S b mn b2 c | y0 | 。
第2页
（二）共焦点的常用结论
椭圆与双曲线共焦点 F1 ， F2 ，它们的交点 P 对两公共焦点 F1 ， F2 的张角为 F1PF2 2 ，椭圆与双曲线的
离心率分别为 e1 ， e2 ，则 (
)
A．
cos2 e12
sin2 e22
（四） 其他题目.......................................................................13
第1页
一、解题知识
（一）基础知识
一、已 知 椭 圆 方 程 为
x2 a2
y2 b2
1(a b 0),
两焦点分别为
F1 , F2 ,
二、 分类解析..................................................................................4 （一） 用焦半径.........................................................................4 （二） 面积公式.........................................................................5 （三） 离心率关系.....................................................................7
解得 m a1 a2 ， n a1 a2 ，【记住结论，焦半径是两个 a 之和，和两个 a 之差】 由余弦定理可得 m2 n2 2mn cos 2 4c2 ， 则 (a1 a2 )2 (a1 a2 )2 2(a1 a2 )(a1 a2 ) cos 2 4c2 ，
化为 a12 (1 cos 2 ) a22 (1 cos 2 ) 2c2 ，
4a 2 4c 2 2b 2 2(1 cos ) 1 cos
SF1PF2
1 2
PF1
PF2
sin
b2 sin 1 cos
b
2
tan
2
二、已 知双 曲线 方 程为
x2 a2
y2 b2
1,
两焦点分别为
F1 , F2 ,
设焦点三角形
PF1 F2
中
F1PF2
,
则
S F1PF2
b2 。
第3页
二、分类解析
（一）焦半径
1.
设椭圆
x2 6
y2 2
1 和双曲线
x2 3
y2
1 的公共焦点为 F1 ，F2
，A 是两曲线的一个公共点，则 |
AF1
||
AF2
|
的值等于 ( ) 【A】
A．3
B．4
C．5
D．6
解：设椭圆的长轴长为 2a1 ，双曲线的实轴长为 2a2 ，P 到两焦点的距离分别为 m ，n(m n 0) ，焦距为 2c ，
由椭圆的定义可得
，由双曲线的定义可得
，
解得
，
，
2. 如图，F1 、F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，A 、B 分别是 C1 ，C2 在第二四象限的交点，若 AF1 BF1 ，
且 AF1O
3
，则 C1
与 C2
离心率之积为 (
)
A．2
B． 2 3
1
B．
sin 2 e12
cos2 e22
1
C．
e12 cos2
e22 sin2
1
D．
e12 sin 2
e22 cos2
1
解：设椭圆的长轴长为 2a1 ，双曲线的实轴长为 2a2 ，P 到两焦点的距离分别为 m ，n(m n 0) ，焦距为 2c ，
由椭圆的定义可得 m n 2a1 ，由双曲线的定义可得 m n 2a2 ，
1． 求值.................................................................................................7 2． 均值不等式.....................................................................................9 3． 范围...............................................................................................12
可得 a12sin2 c2
a22cos2 c2
Leabharlann Baidu ，由 e1
c a1
， e2
c a2
，可得
sin2 e12
cos2 e22
1．
故选： B ．
记住结论椭圆与双曲线共焦点 F1 ， F2 ，它们的交点 P 对两公共焦点 F1 ， F2 的张角为 F1PF2 ，椭圆与双
曲线的离心率分别为 e1 ， e2 ，则有______________
设焦点三角形
PF1 F2
中
F1PF2
, 则 SF1PF2
b2
tan
2
。
(2c)2 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos ( PF1 PF2 )2 2 PF1 PF2 (1 cos )
PF1
PF2
( PF1 PF2 )2 4c 2 2(1 cos )
共焦点的双曲线和椭圆问题
目录
一、 解题知识..................................................................................2 （一） 基础知识.........................................................................2 （二） 共焦点的常用结论........................................................ 3