结构力学第10章-结构动力计算基础

1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t)，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&(t )的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F
1F
A
m(22) 1 22 m2
由于 11
1 m 2
，代入上式，有
1 A
122
F11
1
122
ysFt
式中 ysFt F11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起
的位移。令
1位移成正比，因此动内力和动
位移有相同的动力系数，最大动内力按与最大动位移相同方法进行
计算。例如，结构的最大动弯矩
Md MsFt
其中，M
F st
为荷载幅值作为静荷载时所产生的弯矩。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
动力系数的变化规律，令 ，β称为频率比，则
整理得
F (t) FS (t) FI (t) 0
改写为
m&y&t k11yt F(t)
&y&t 2 y t F(t)
m
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中
, k 11
m
下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
§10-1 概述
1）结构动力计算的特点和内容
⑴动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并
且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力 荷载，主要看其对结构产生的影响。
⑵动力特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和
阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的 自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结 构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。
1
1
2 2
1 1
2
以β为横坐标，μ的绝对值为纵坐标，绘出动力系数随频率比 变化的图形
无阻尼情况下动力系数随频率比变化图
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
讨论：
① 当 0 时， 1。此时动荷载的频率比结构固有频率小得多，
动荷载随时间变化缓慢，其引起的动位移幅值与静位移 y
F st
60
60
动力系数为
1
1
2 2
1
1
41.92 62.22
1.83
梁跨中截面动弯矩幅值和动位移幅值为
Md
M
F st
1.8310 18.3kN m
A yF 1.83 0.722 103 1.32 103 m st
梁截面的最大弯矩和最大位移为：Mmax MQ Md 35 18.3 53.3kN m
将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为
M sF t 1 4F l1 410410kN m
结构的自振频率为
ysFt
F11
10 103 43 48 1.848 107
0.722 103 m
1 g g m11 mg11 yQ
9.8 2.53 103
62.2S1
动荷载的频率为
2πn 2 3.14 400 41.9S1
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
y(t)=y0cosωt+yω & 0sinωt
上式可改写为如下形式
y(t)=A sinω t+
其中 ， A=
y02
+
y&02 ω2
tan = y0ω y&0
无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式
中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。 称为初始
解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数11 ，再求固有频率
。由结构的 M
图, ，则 1
11E1IM12dx3E 4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0，y 0 可由图乘法计算得到，
y0E 1IM1MPdx1 E1I ，则质点m的位移
并且 随β增大而逐渐减小趋于零，说明当荷载频率θ远大于
结构固有频率ω时，动位移幅值反而比静位移
y
F st
要小。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁 的自重，求梁的最大弯矩和最大挠度。
§10-1 概述
2）动力荷载的分类
⑴周期荷载：随时间呈周期变化的荷载。 ⑵冲击荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。 (3)突加荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间
的荷载。
(4)随机荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能
用确定的函数关系进行表示。
前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的 作用。
通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响 很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。 对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上 任意两点之间距离保持不变。
(a) 自由度示意 (b) 附加链杆
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少 的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为 所加链杆的数目。
相位角，(t ) 称为相位角。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
2）运动分析
简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期
为 T 2 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频 率 f 1 ，体系自由振动的圆频率或角频率为
T
2f 2
T
结构自振频率 的计算公式为
k11 m
m 111W g 11
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
(2)柔度法：
将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性
力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为 y = FIδ11 = -m&y&tδ11
,此式可改写为
&y&(t)＋ 1 y(t)＝0 m11
这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的
独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。
⑵集中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
设荷载的表达式为F(t)Fsint ，则微分方程 &y&t 2 y t F sint ，
其通解为 y(t)y(t)y*(t)。
m
设齐次方程的通解为 y (t) c 1 c o st c 2 s int，设特解 y*(t)Asint ，
将特解代入微分方程可得待定系数 A F ，则方程通解为：
m(2 2)
力分别为Q1
12E1 I 1 h3
，Q2
12E2I2。因而，使刚架产生单位水平位移所施 h3
加的力 k11 为：
k11
Q1
Q2
12 h3 (E1I1
E2I2 )
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 m
12(E1I1 E2 I 2 ) mh 3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
第十章 结构动力计算基础
主要内容
§10-1 概述 §10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 §10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 §10-4 单自由度体系有阻尼自由振动 §10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 多自由度体系在简谐荷载作用 下的受迫振动
(a)二质点三自由度结构 (b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出： ① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目； ② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关； ③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
ymax yQ A 2.53 103 1.32 103 3.85 103 m
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
y (t) c 1c o st c 2sin ω t m (2 F 2 )sint
其中c1,c2为积分常数，由初始条件而定。
前两项是按固有频率ω自由振动，在阻尼作用下，其为衰减函
数，将会在一段时间内逐渐消失。第三项是按动荷载的频率θ振动， 称为纯受迫振动或稳态受迫振动。一般把振动刚开始阶段几种振动 同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只存在纯受迫振动的阶段 称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因此在实际问题中分析平稳 阶段的动力特性更为重要。
趋于
一致，故可将动荷载作为静荷载处理；
② 当 1时， 。这说明当简谐荷载的频率与结构自振频率接近
时，振幅将趋于无穷，较小的荷载即可产生很大的位移和内力，
这种情况称为共振。在工程结构设计时，常常需要避免发生共
振现象；
③ 当0 1时，动力系数 1 ，且随β值的增大而增大；
④ 当 1 时，μ为负值，说明振动过程中动位移与动荷载反向，
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI +Fs =0,即m & y & (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
& y&(t)+k11 y(t)=0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
对单自由度体系，有
δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt= c 1 c o sω t+ c 2 sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
2 2
则
A ysFt
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
μ称为动力系数，它表示质点的最大动位移与静位移的比值。
可先求出简谐荷载的幅值作为静荷载所产生的静位移 y
F st
，然后再乘
以动力系数μ，即可得到在动荷载作用下的最大动位移A，这一方法
称为动力系数法。
对于单自由度体系，若荷载作用在质点上，并且其作用线与质
yy0cost1 E1 Icos
3EIt 4m
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例2】门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分别为E1I1和 E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI=∞ ，横梁的总质量为m，立柱的 质量不计。求刚架作水平振动时的频率。
解：当横梁产生单位位移时，由位移法知，左右两柱的杆端剪
g yst
式中，W表示重力，y st 是由重力产生的静力位移。相应地，结构
的自振周期T的计算公式为：
T2
km 112m 112
yst g
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例1】简支梁承受静荷载F=12kN，梁EI为常数。设在t=0 时刻把这个静荷载突然撤除，不计梁的阻力，试求系统的自振 频率和质点m的位移。
解：最大弯矩和最大挠度发生在梁的中点，它们是在电机重力Q和动 荷载Fsinθt共同作用下引起的。梁在电机重力作用下跨中的弯矩和 挠度为：
MQ
1 Ql 4
1 4
35 4
35kN m
yQ
Q11
l3 Q
48EI
35103 43 48 1.848 107
2.53103 m
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
(a)单自由度体系无阻尼振动模型 (b)受力分析图
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
在荷载F(t)作用下，其位移为y(t)。用刚度法建立其运动 微分方程，对质量块m进行受力分析，在荷载F(t)、弹性恢复力 Fs t k11y(t) 和惯性力 FI t = -m&y&t 的共同作用下，质量块保持平衡。 即：