结构力学第10章-结构动力计算基础
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结构动力学基础
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A
y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
结构动力计算
5. 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下的 结构内力、位移等量值随时间而变化的规律，从 而找出其最大值以作为设计或验算的依据。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
结构力学第十章习题集
第十章 结构动力计算基础 【练习题】10-1 判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
5、图 a 体 系 的 自 振 频 率 比 图 b 的 小 。
l /2l /2l /2l /2(a)(b)6、单 自 由 度 体 系 如 图 ，W =98.kN ，欲 使 顶 端 产 生 水平位 移 ∆=001.m ，需 加 水 平 力 P =16kN ，则 体 系 的自 振 频 率 ω=-40s 1。
∆7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、桁架ABC 在C 结点处有重物W ，杆重不计，EA 为常数，在C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。
AC10、不 计 阻 尼 时 ，图 示 体 系 的 运 动 方 程 为 ：m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭=⎧⎨⎩⎫⎬⎭ ()lh10-2 选择题：1、图 示 体 系 ，质 点 的 运 动 方 程 为 ： A ．()()()y l Ps i n m y EI =-77683θ t /； B ．()()m y EIy l Ps i n /+=19273θ t ； C ．()()m y EIy l Ps i n /+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps i n m yEI =-7963θ t/ 。
ll0.50.52、在 图 示 结 构 中 ，若 要 使 其 自 振 频 率 ω增 大 ，可 以 A ．增 大 P ； B ．增 大m ； C ．增 大 E I ； D ．增 大 l 。
第10章结构动力学
由此可知，体系的自由振动由两部分组成：一部分由初位移 y 0 引
0 引起，变现为正弦规律 起，表现为余弦规律；另一部分由初速度 y
[图10-13(a)、(b)]，两者叠加为简谐振动[图10-13(c)]。
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图10-13
令
y0 A sin
（d）
目录
则有
0 y
A cos
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图10-8 简支梁的广义位移
3. 有限单元法 有限元法是将实际结构离散成有限个单元，对每个单元给定插
目录
值函数，然后叠加单元在各个相应结点的贡献建立系统求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同，分为位移有限元法、应力
有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法应用最广。
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在确定结构震动自由度时，应注意不能根据结构有几个集中 质量就判定它有几个自由度，而应该由确定集中质量位置所需的独
小，如图10-2。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、各种爆炸荷载等。
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图10-2 冲击荷载
（3）突加荷载。在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载， 如图10-3。例如吊重物的起重机突然启动时施加于钢丝绳的荷载就 是这种突加荷载。
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图10-3 突加荷载
（4）快速移动荷载。例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材
结构力学
主编 丁克伟
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10 结构动力学
下页
目录
目录
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10.1 结构动力学计算基本概念 10.2 自由度结构自由振动 10.3 简谐荷载作用下的单自由度体系受迫振动 10.4 一般荷载作用下的单自由度体系受迫振动
第10章 结构动力学基础1
（1）重力 W 为静力荷载
（2）弹性恢复力 S(t) k[ y jw y(t)] 与位移成正比，方向与位移指向相
反的。在k质为点刚上度R所(系t加)数的，c力其y• (意t) 义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需
（3）阻尼力
•• 与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为
粘滞阻尼系I (数t) 。 m y(t)
my(t) cy(t) ky(t) 0
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。
（二）柔度法：取振动体系为研究对象。
I (t) R(t)
FP 1
m y(t)
δ（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作 用所引起的可得方程：
y(t) [I(t) R(t)]
10.1 一般概念
一、结构的动力荷载及分类
动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的 荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明 显的振动，即在平衡位置附近往返运动。
静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷 载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢， 使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载
T
T
T
（二）自振周期与频率
自振频率（圆频率）
自振周期
T 2
k 1 g g m m W st
T 2π m 2π mδ 2π Wδ 2π Δst
动静法 根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加
于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实际各力与惯 性力处于平衡状态。
三、 动力计算简图和动力自由度
动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的 分布。
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学第10章-结构动力计算基础
1 1 1 3
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到， 振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m
F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起 式中 yst 的位移。令 1
2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到， 振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m
F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起 式中 yst 的位移。令 1
2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
结构力学 第10章结构动力计算基础
结构力学
10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
结构力学
对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
结构力学
10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
结构力学
将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
结构力学第10章 结构动力计算基础0710
5. 动力自由度
动力自由度（简称自由度）就是指在振动过程中任一时刻确定结构全部质量位
置所需的独立几何（位移）参数的数目。 结构动力自由度是指体系中全部质量的运动自由度，又称为弹性体系自由度；
而体系几何组成分析中的自由度是研究体系整体运动情况的，不考虑杆件本身
的微小变形，因而又称为刚体体系自由度。二者不是同一个概念。 实际结构都是由变形体构成，质量连续分布，属于无限自由度体系。所有
y ( x, t ) Ak (t )k ( x)
k 1
n
（3）有限单元法 用有限单元法分析动力问题，以结点位移来表达结构上各点的位移状态。先将整 个结构离散成有限个单元，单元之间以结点相连，结点的位移就是作为广义坐标。 与广义坐标法相比，有限单元法采用了位移函数（形状函数）的概念，但不同于 广义坐标法在整个体系上定义位移函数，而是采用了分段定义的位移函数，因此，位 移函数的形状相对简单。有限单元法中的广义坐标是结点位移，有明显的几何意义， 与集中质量法一样，也是真实直观的物理量。
2. 动荷载的概念及其分类 引起结构静力响应和动力响应不同的原因是荷载的不同。根据作用 性质的不同，荷载分为静荷载和动荷载。 静荷载的大小、方向和位置不随时间变化或变化相对缓慢，不会使 结构产生明显的加速度，计算过程中可忽略惯性力的影响。结构的恒载 都是静荷载。只考虑位置改变，不考虑动力效应的移动荷载也是静荷载， 如绘制影响线中的移动荷载等。
而惯性力对结构的响应又会产生重要影响。计算中必须考虑惯性力的影响，这
也是动力问题与静力问题的根本区别。 此外，动荷载的变化规律、阻尼参数等也是动力计算时需要考虑的重要因 素，这是结构静力计算时所不需要的。 4.动力特性和动力响应 结构的动力特性是指与结构自身质量、刚度分布和能量耗散等有关的物理量， 如自振频率（周期）、振型和阻尼等参数结构的动力响应是指结构在动荷载作用下 产生的动内力、动位移、速度和加速度等参数，它们都是时间的函数，与结构本身 的动力特性和动荷载作用规律密切相关。
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时，其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振 动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法：一是刚度法；一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法：根据达兰贝尔原理，沿位移正向，在质点上加上惯性力，列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反，指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法：在惯性力作用下，质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成！
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
结构力学动力计算
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
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1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t)，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&(t )的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F
1F
A
m(22) 1 22 m2
由于 11
1 m 2
，代入上式，有
1 A
122
F11
1
122
ysFt
式中 ysFt F11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起
的位移。令
1位移成正比，因此动内力和动
位移有相同的动力系数，最大动内力按与最大动位移相同方法进行
计算。例如，结构的最大动弯矩
Md MsFt
其中，M
F st
为荷载幅值作为静荷载时所产生的弯矩。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
动力系数的变化规律，令 ，β称为频率比，则
整理得
F (t) FS (t) FI (t) 0
改写为
m&y&t k11yt F(t)
&y&t 2 y t F(t)
m
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中
, k 11
m
下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
§10-1 概述
1）结构动力计算的特点和内容
⑴动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并
且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力 荷载，主要看其对结构产生的影响。
⑵动力特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和
阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的 自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结 构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。
1
1
2 2
1 1
2
以β为横坐标，μ的绝对值为纵坐标，绘出动力系数随频率比 变化的图形
无阻尼情况下动力系数随频率比变化图
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
讨论：
① 当 0 时， 1。此时动荷载的频率比结构固有频率小得多，
动荷载随时间变化缓慢，其引起的动位移幅值与静位移 y
F st
60
60
动力系数为
1
1
2 2
1
1
41.92 62.22
1.83
梁跨中截面动弯矩幅值和动位移幅值为
Md
M
F st
1.8310 18.3kN m
A yF 1.83 0.722 103 1.32 103 m st
梁截面的最大弯矩和最大位移为：Mmax MQ Md 35 18.3 53.3kN m
将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为
M sF t 1 4F l1 410410kN m
结构的自振频率为
ysFt
F11
10 103 43 48 1.848 107
0.722 103 m
1 g g m11 mg11 yQ
9.8 2.53 103
62.2S1
动荷载的频率为
2πn 2 3.14 400 41.9S1
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
y(t)=y0cosωt+yω & 0sinωt
上式可改写为如下形式
y(t)=A sinω t+
其中 ， A=
y02
+
y&02 ω2
tan = y0ω y&0
无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式
中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。 称为初始
解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数11 ，再求固有频率
。由结构的 M
图, ，则 1
11E1IM12dx3E 4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0，y 0 可由图乘法计算得到，
y0E 1IM1MPdx1 E1I ，则质点m的位移
并且 随β增大而逐渐减小趋于零，说明当荷载频率θ远大于
结构固有频率ω时，动位移幅值反而比静位移
y
F st
要小。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁 的自重，求梁的最大弯矩和最大挠度。
§10-1 概述
2）动力荷载的分类
⑴周期荷载：随时间呈周期变化的荷载。 ⑵冲击荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。 (3)突加荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间
的荷载。
(4)随机荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能
用确定的函数关系进行表示。
前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的 作用。
通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响 很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。 对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上 任意两点之间距离保持不变。
(a) 自由度示意 (b) 附加链杆
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少 的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为 所加链杆的数目。
相位角，(t ) 称为相位角。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
2）运动分析
简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期
为 T 2 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频 率 f 1 ，体系自由振动的圆频率或角频率为
T
2f 2
T
结构自振频率 的计算公式为
k11 m
m 111W g 11
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
(2)柔度法：
将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性
力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为 y = FIδ11 = -m&y&tδ11
,此式可改写为
&y&(t)＋ 1 y(t)＝0 m11
这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的
独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。
⑵集中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
设荷载的表达式为F(t)Fsint ，则微分方程 &y&t 2 y t F sint ，
其通解为 y(t)y(t)y*(t)。
m
设齐次方程的通解为 y (t) c 1 c o st c 2 s int，设特解 y*(t)Asint ，
将特解代入微分方程可得待定系数 A F ，则方程通解为：
m(2 2)
力分别为Q1
12E1 I 1 h3
，Q2
12E2I2。因而，使刚架产生单位水平位移所施 h3
加的力 k11 为：
k11
Q1
Q2
12 h3 (E1I1
E2I2 )
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 m
12(E1I1 E2 I 2 ) mh 3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
第十章 结构动力计算基础
主要内容
§10-1 概述 §10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 §10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 §10-4 单自由度体系有阻尼自由振动 §10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 多自由度体系在简谐荷载作用 下的受迫振动
(a)二质点三自由度结构 (b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出： ① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目； ② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关； ③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
ymax yQ A 2.53 103 1.32 103 3.85 103 m
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
y (t) c 1c o st c 2sin ω t m (2 F 2 )sint
其中c1,c2为积分常数，由初始条件而定。
前两项是按固有频率ω自由振动，在阻尼作用下，其为衰减函