《数学分析》第八章 不定积分 4

其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2, , k ) .
Mx + N ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 2 x + px + q
真分式化为部分分式之和的待定系数法 真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x 5 x + 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
1 1 x 1 = + ln tan + tan x + C . 4 cos x 4 2 4
三,简单无理函数的积分
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 有理函数的原函数都是初等函数.
二,三角函数有理式的积分
三角有理式的定义: 三角有理式的定义: 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之. 构成的函数称之.一般记为 R(sin x , cos x )
解(三) 可以不用万能置换公式 可以不用万能置换公式.
1 dx = ∫ csc 2 x (1 + cot 2 x )dx ∫ sin 4 x
= ∫ csc xdx + ∫ cot x csc 2 xdx
2 2
1 3 = cot x cot x + C . 3
= d (cot x )
比较以上三种解法, 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定 是最佳方法, 是最佳方法 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换. 虑其它手段 不得已才用万能置换
1 + sin x dx . 例9 求积分 ∫ sin 3 x + sin x A+ B A B 解 sin A + sin B = 2 sin cos 2 2 1 + sin x 1 + sin x ∫ sin 3 x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx 1 + sin x dx =∫ 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx + ∫ = ∫ dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1
1 A Bx + C , + 例3 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
都是非负整数; 其中 m , n 都是非负整数; a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数,并且a 0 ≠ 0 ,b0 ≠ 0 . 都是实数,
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式; (1) n < m , 这有理函数是真分式; 这有理函数是假分式 假分式; ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式; 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
2u + 1 + u 2 1 u 2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) ln | 1 + u | + C 2 x ∵ u = tan 2 x x = + ln | sec | ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2
2 2u 1 u 2 sin x = , cos x = , dx = du 2 2 2 1+ u 1+ u 1+ u
2u 1 u 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx =∫ R 1 + u2 , 1 + u2 1 + u2 du.
2
sin x dx . 例7 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x = 2 1+ u 1 u2 2 cos x = dx = du, 2 2 1+ u 1+ u sin x 2u ∫ 1 + sin x + cos x dx = ∫ (1 + u)(1 + u2 )du
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, A = , B = , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
1 dx . 例4 求积分 ∫ 2 x ( x 1)
∵ x + 3 = A( x 3) + B( x 2), ∴ x + 3 = ( A + B ) x ( 3 A + 2 B ),
A + B = 1, A = 5 , ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6 x+3 6 5 . ∴ = + 2 x 5x + 6 x 2 x 3
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x 1) x 1 x ( x 1 )
1 = A( x 1) 2 + Bx + Cx ( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) C = 1
1 x + x+1 . = x+ 2 例 2 x +1 x +1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律: 有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式 ( x a ) ,则分解后为 )
k
A1 A2 Ak , + + + k k 1 ( x a) ( x a) xa
1 dx . 例8 求积分 ∫ 4 sin x x 2u 2 , dx = du, 解(一) u = tan , sin x = 2 2 2 1+ u 1+ u 2 4 6 1 dx = 1 + 3u + 3u + u du ∫ sin 4 x ∫ 8u 4 1 1 3 u3 = [ 3 + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x + tan + tan + C . = 3 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
1 1 1 sin 2 x + cos 2 x dx dx + ∫ = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x cos x 1 sin x 1 1 1 1 dx + ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x
1 1 1 1 1 1 d (cos x ) + ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x
Mt b dt + ∫ 2 =∫ 2 dt 2 n 2 n (t + a ) (t + a )
Mx + N dx (1) n = 1, ∫ 2 x + px + q p x+ M b 2 2 + C; = ln( x + px + q ) + arctan 2 a a Mx + N dx ( 2) n > 1, ∫ 2 n ( x + px + q ) M 1 b 2 dt . = 2 2 n 1 + ∫ 2 n (t + a ) 2( n 1)( t + a )
§3 几类特殊函数的 不定积分
一,有理函数的积分
二,三角函数有理式的积分 三,简单无理函数的积分
一,有理函数的积分
有理函数的定义: 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n1 + + an1 x + an = m m 1 Q( x ) b0 x + b1 x + + bm 1 x + bm
都是常数. 其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数
A ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 xa
(2)分母中若有因式 ( x + px + q ) ,其中 ) 2 p 4q < 0 则分解后为
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + + 2 2 k k 1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
p p ∵ x + px + q = x + + q , 2 4 p 令 x+ =t 2
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q , 4
2
2
Mp b= N , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
x 6
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1+ e2 + e3 + e6 1 3 3t + 3 6 dt = ∫ = 6∫ dt 2 2 t (1 + t )(1 + t ) t 1+ t 1+ t
3 3t + 3 6 dt = ∫ 2 t 1+ t 1+ t 2 1 3 d (1 + t ) dt 3∫ = 6 ln t 3 ln(1 + t ) ∫ 2 2 1+ t 2 1+ t 3 2 = 6 ln t 3 ln(1 + t ) ln(1 + t ) 3 arctan t + C 2
1 1 1 1 dx = ∫ + 解 ∫ 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1
1 1 1 dx ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x ( x 1) x 1
1 = ln x ln( x 1) + C . x 1
1 dx . 例5 求积分 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 4 2 1 x+ 1 dx= ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx 解 ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) 1 + 2x 1+ x
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 = ∵ sin x = 2 sin cos = 2 2 2 x 2 x 1 + tan sec 2 2 2 x 2 x cos x = cos sin , 2 2
x 2 x 1 tan 1 tan 2= 2, cos x = 2 x 2 x sec 1 + tan 2 2 x 令u = tan 万能置换公式) x = 2 arctan u(万能置换公式) 2
3 = x 3 ln(1 + e ) ln(1 + e ) 3 arctan(e ) + C . 2
x 6 x 3 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后,只出 将有理函数化为部分分式之和后, 现三类情况: 现三类情况:
A Mx + N (1) 多项式; ( 2) 多项式; ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
修改万能置换公式, 解(二) 修改万能置换公式 令 u = tan x
u 1 sin x = , dx = du, 2 2 1+ u 1+ u 2 1 1 1 1+ u ∫ sin 4 x dx = ∫ u 4 1 + u2 du = ∫ u4 du 2 1+ u
1 1 1 3 = 3 + C = cot x cot x + C . 3u u 3
2 1 2x 1 1 dx + ∫ dx = ln(1 + 2 x ) ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
例6 求积分 ∫
1 1+
x e2
+
x e3
+
x e6
dx .
6 解 令 t = e x = 6 ln t , dx = dt , t 1 1 6 dx = ∫ dt ∫ 3 2 x x x 1+ t + t + t t