求函数最值问题及代数式最值问题

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谈谈解答最值问题的四个技巧

备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。

湘教版高中数学必修四基本不等式及其应用第课时(1)

第2课时基本不等式的应用题.1．利用基本不等式求函数或代数式的最值预习交流1利用基本不等式求最值的关键是什么？ 2．利用基本不等式解决实际应用问题预习交流2应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？ 3．利用基本不等式解决恒成立问题预习交流3“不等式恒成立求参数取值范围”问题的常见解法是什么？预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值； (4)还原为实际问题，写出正确答案．预习交流3：提示：常见解法有以下两种：(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k ≥f (x )(或k ≤f (x ))，从而转化成f (x )求最值． (2)如果参数不能分离，而x 可以分离，如g (x )≥f (k )(或g (x )≤f (k ))，则f (k )恒大于g (x )的最大值或恒小于g (x )的最小值，然后解关于参数k 的不等式．其中关键是f (x )或g (x )的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值．一、利用基本不等式求函数的最值求解下列问题：(1)求f (x )＝x ＋42x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的最小值；(2)求f (x )＝13x (1－4x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <14的最大值．思路分析：将x ＋42x －1变形为x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，然后利用基本不等式a ＋b ≥2ab 变形求解；将13x (1－4x )变形为f (x )＝112[4x ·(1－4x )]，然后根据ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求得4x ·(1－4x )的最大值，从而得到原函数的最大值．设x ＞0，则函数y ＝x －1＋22x ＋1的最小值等于__________． 1．在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解．2．凑项的技巧通常有：添项、拆项、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值．二、利用基本不等式求代数式的最值已知正数a ，b 满足1a ＋1b＝3.(1)求a ＋b 的取值范围；(2)求ab 的取值范围．思路分析：一种思路是根据1a ＋1b＝3，用a 表示b ，然后代入要求最值的式子中，消去b ，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将1a ＋1b＝3变形为a ＋b ＝3ab ，再运用基本不等式，将a ＋b 与ab 进行转化，根据需要求得a ＋b 或ab 的取值范围．1．设x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________．2．设x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为__________．1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．2．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．三、基本不等式在实际问题中的应用某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x 吨，所以购买次数为400x，从而可建立总费用与x 的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x 的值．建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为__________元．1．解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求．2．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．四、不等式恒成立问题设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )．A ．0B ．4C ．－4D ．－2思路分析：将参数k 与变量a ，b 进行分离，即把参数k 放到不等式的一边，不等式的另一边是关于变量a ，b 的代数式，然后只需求出关于变量a ，b 的代数式的最值，即可得到参数k 的取值范围，从而得出k 的最小值．当x ＞－1时不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 1．不等式恒成立问题往往与函数或代数式的最值有关，通过函数或代数式的最值，即可得到恒成立时参数的取值范围．一般地有以下几种情况：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥[f (x )]max ； (2)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞[f (x )]max ； (3)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤[f (x )]min ； (4)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜[f (x )]min .2．如果欲求范围的参数与其他变量混合在一起，可以首先进行参数分离，即把欲求取值范围的参数分离到不等式的一边，然后只需考察不等式另一边的函数或代数式的最值或取值范围即可．1．(2012浙江高考，文9)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．245 B ．285C ．5D ．62．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．23．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．( )．A ．3B ．8C ．5D ．64．若x ＞0，则y ＝xx 2＋2的最大值为__________．5．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0，(1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.答案：活动与探究1：解：(1)由于f (x )＝x ＋42x －1＝x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，又x ＞12，所以由基本不等式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·2x －12＋12＝22＋12，当且仅当x －12＝2x －12，即x ＝12＋2时，函数取得最小值22＋12.(2)由于0＜x ＜14，所以f (x )＝13x (1－4x )＝112[4x ·(1－4x )]≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 22＝148，当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18时函数取得最大值148.迁移与应用：12 解析：y ＝x －1＋22x ＋1＝x －1＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－32≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－32＝12，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值等于12.活动与探究2：解：(解法一)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab ，所以b ＝a3a －1，并且由于a ＞0，b ＞0，可得a ＞13.(1)a ＋b ＝a ＋a 3a －1＝a ＋133a －1＋13＝a －13＋133a －1＋23≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133a －1＋23＝43，当且仅当a －13＝133a －1，即a ＝23时等号成立，所以a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)ab ＝a ·a3a －1＝a 2－13a ＋13a －19＋193a －1＝13a ＋19＋193a －1＝13a －19＋193a －1＋29≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －19·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫193a －1＋29＝49，当且仅当13a －19＝193a －1，即a ＝23时取等号，所以ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. (解法二)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab .①由于ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即4(a ＋b )≤3(a ＋b )2，所以a ＋b ≥43，即a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. ②由于a ＋b ≥2ab ，所以3ab ≥2ab ，即9(ab )2≥4ab ，所以ab ≥49，即ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. 迁移与应用：1．3＋2 2 解析：因为x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋xy≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2y 时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.2．16 解析：因为x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，x ＋y 的最小值为16. 活动与探究3：20 解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，故一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元．而400x ·4＋4x ≥2400x ·4·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．迁移与应用：5 400 解析：设水池底的长为x m ，宽为y m ，则有2xy ＝18，解得xy ＝9. 这时水池的造价为p ＝200xy ＋150×2(2x ＋2y )，即p ＝1 800＋600(x ＋y )，于是p ≥1 800＋600×2xy ＝1 800＋600×29＝5 400，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，故池的最低造价为5 400元．活动与探究4：C 解析：因为a ＞0，b ＞0，所以不等式可化为k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab＝a 2＋2ab ＋b 2ab ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，即－(a ＋b )2ab的最大值为－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值是－4.迁移与应用：a ＜1 解析：令f (x )＝x ＋1x ＋1，由于x ＞－1，则f (x )＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1＝1，即函数f (x )的最小值是1，因此要使不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，应有a ＜1. 当堂检测1．C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．2．D 解析：因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，所以40≥24xy ，即xy ≤100，所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，故lg x ＋lg y 的最大值是2.3．C 解析：依题意设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，而当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，于是k 1＝20，k 2＝45，因此y 1＝20x ，y 2＝45x ，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，∴仓库应建在离车站5千米处．4．24 解析：由于y ＝x x 2＋2＝1x ＋2x ，而x ＞0，所以x ＋2x ≥22，于是1x ＋2x≤122＝24，故y ＝xx 2＋2的最大值为24. 5．(1)解：由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0有(x 2＋y 2＋5)·(x 2＋y 2－4)≤0，因为(x 2＋y 2＋5)＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4.(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.。

初中数学最小值问题

初中数学最小值问题在初中数学中，最小值问题是一个常见的问题，涵盖了多个方面，包括代数式求最值、一次函数或二次函数的最值、几何图形中的最值问题、方程式的最值以及数据分析中的最小值问题。

下面我们将逐一介绍这些方面。

1. 代数式求最值代数式求最值是初中数学中的一个重要问题。

通常，我们需要通过配方、平方和、平方法等技巧，将代数式转化为能够求最值的表达式。

例如，对于一个二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，函数存在最小值，这个最小值可以通过公式求得。

2. 一次函数或二次函数的最值一次函数或二次函数的最值也是初中数学中常见的问题。

对于一次函数，可以通过观察图像或者利用一次函数的性质来求最值。

对于二次函数，可以通过配方或者利用二次函数的顶点坐标来求最值。

3. 几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题通常涉及到长度、角度、面积等方面。

这类问题需要结合几何知识，运用相关的定理和公式来求解。

例如，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上，且∠FBE=∠ABE。

求证：EF最短。

4. 方程式的最值方程式的最值问题通常涉及到求解方程的最小或最大值。

这类问题需要运用相关的代数知识，通过对方程进行变形或者利用判别式等方法来求解。

例如，对于方程x²+2x+1=0，我们可以利用配方法将其转化为(x+1)²=0，从而求解。

5. 数据分析中的最小值问题在数据分析中，最小值问题通常涉及到在一组数据中找到最小值。

这类问题需要运用相关的统计知识，通过观察数据分布或者利用计算最小值的方法来求解。

例如，在一组数据中，我们可以观察到数据分布的情况，从而找到最小值。

总之，初中数学最小值问题是一个涵盖多个方面的问题。

在求解最小值时，我们需要根据不同的情况运用不同的方法来求解。

通过掌握这些方法，我们可以更好地解决最小值问题。

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最（一）值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。

例2、如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，AB A '′Pl请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

求函数最值的题型和方法

求函数最值的题型和方法
求函数的最值是数学中的常见问题，下面列举了几种常见的求函数最值的题型和方法：
1. 单变量函数的最值：对于单变量函数，可以通过求导数的方法来求函数的最值。

首先求出函数的导数，然后将导数等于0的方程求解，得到驻点（即函数取得极值的点）。

接着，通过将
驻点和函数的端点（如果有的话）进行比较，确定函数的最值。

2. 多变量函数的最值：对于多变量函数，求解最值的方法更加复杂。

可以通过求偏导数和二阶导数的方法来求解。

首先求出函数的偏导数，然后将偏导数等于0的方程组求解，得到驻点。

接着，求解雅可比矩阵的特征值，根据特征值的正负来确定驻点的类型（最大值、最小值或鞍点）。

最后，对比驻点和函数的端点（如果有的话），确定函数的最值。

3. 约束条件下的最值：在某些情况下，函数的变量受到一定的约束条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过拉格朗日乘数法来实现。

首先，将约束条件转化为方程组，然后定义拉格朗日函数。

接着，求解拉格朗日函数的导数等于0的方程组，得到驻点。

最后，通过对比驻
点和边界点，确定函数的最值。

4. 条件最值：在某些情况下，函数的取值受到一定的条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过消元法来实现。

首先，将条件限制转化为方程组，然后将其中的一个方程代入到函数中，得到一个只包含一个变量的函数。

接着，通过求解这个函数的最值，得到函数在满足条件限制下的最值。

需要注意的是，对于非线性函数或复杂函数，求解最值可能涉及到数值计算或近似计算的方法。

在实际应用中，通常会使用数值计算软件来求解函数的最值。

初中数学常见8种最值问题

的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则的最大值为.解：设，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设，则从而可知，当时，解：由得解得由是非负实数，得 , 解得又，故，三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛）实数满足.则 z 的最大值是.解：由得.代入消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即，整理得解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程的两个实数根，则 ,因为，所以，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。

二次函数与代数式的最值

二次函数与代数式的最值
二次函数是一种形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a,b,c$为实数且$a\neq0$。

代数式是一个包含运算符和变量的表达式，例如$3x^2+2xy-5y^2$。

在解决二次函数和代数式的最值问题时，我们通常需要求出函数或代数式的极值点和最大值最小值。

对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，它的开口方向和极值点位置取决于系数$a$的正负性。

当$a>0$时，二次函数开口朝上，极值点为抛物线的最低点，即$\left(-\frac{b}{2a},-
\frac{\Delta}{4a}\right)$，其中$\Delta=b^2-4ac$为二次函数的判别式。

当$a<0$时，二次函数开口朝下，极值点为抛物线的最高点，即$\left(-\frac{b}{2a},\frac{\Delta}{4a}\right)$。

因此，我们可以利用$a$的正负性来判断二次函数的最大值最小值，同时通过判别式$\Delta$的正负性来判断极值点是否存在，以及最大值最小值的具体值。

对于代数式$P(x,y,z,\cdots)$，我们需要求出所有变量的偏导数，并使偏导数为零，求解方程组得到极值点。

然后我们利用二次偏导数矩阵的主子式判断极值点是否为最大值或最小值。

具体来说，如果所有的二次偏导数主子式都是正数，则极值点为最小值，如果所有的二次偏导数主子式都是负数，则极值点为最大值。

总之，求解二次函数和代数式的最值问题是数学中非常重要的一类问题，需要运用到多种数学知识和技巧，例如微积分、二次曲线性质等等。

巧求最值问题八种方法

巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。

由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。

x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式丄二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到『两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。

中考数学最值问题总结

中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。

以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。

如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。

如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。

2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。

如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。

如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。

3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。

如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。

如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。

4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。

如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。

如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。

解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。

代数式最值问题

当涉及到代数式的最值问题时，我们通常需要找到使代数式达到最大或最小值的变量值。

这类问题可以通过以下步骤来解决：
1. 理解问题：仔细阅读问题并确保对所给信息有清晰的理解。

了解我们需要找到代数式的最大值还是最小值。

2. 定义变量：为问题中涉及的未知量或变量定义符号。

这将有助于建立代数式。

3. 建立代数式：使用定义的变量来建立与问题相关的代数式。

这可以涉及单个方程式或多个方程式的组合。

4. 求导（可选）：如果代数式是一个多项式或可导函数，我们可以通过对其求导来找到驻点（导数为零的点）。

这些驻点可能对应于最值点。

5. 解方程（可选）：如果我们有一个或多个方程式，我们可以使用代数方法来解方程组，找到方程式的解，这些解可能对应于最值点。

6. 分析边界：检查变量的取值范围。

例如，如果变量是实数，确定是否存在无界的情况，或者是否存在最大或最小的限制。

7. 使用数学工具：使用代数、图形或数值方法来找到代数式的最大或最小值。

这可能涉及求解方程，使用图形方法（例如绘制函数图像）或使用数值计算（例如迭代或优化算法）。

8. 验证答案：找到最大或最小值后，将其代入原始问题中，确保它们满足给定条件。

这些步骤将帮助您解决代数式的最值问题。

请提供具体的问题或代数式，以便我可以为您提供更详细的指导。

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。

3.求函数最值问题常用的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
【例8】已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0，解析由题意，得
x＋3≥0，

代数最值

代数最值求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1、运用配方法求最值；2、构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3、建立函数模型求最值；4、利用基本不等式或不等分析法求最值.5、形如的函数，从分离整系数入手；6、形如的函数，通过变形使得只有分母中含有自变量，再对分母的最值运用配方法；或去分母，将问题转化为关于x的一元二次方程，运用求最值.7、常用的不等式有：(1)；(2)；(3)；(4)以上各式等号当且仅当时成立.例1、实数x、y满足，则的最大值是.例2、分式的最小值为（）A、-5B、-3C、5D、3例3、(1)设a、b为实数，求代数式的最小值.(2)实数x、y、z满足，，求z的最大值.例4、(1)已知的最大值为a，最小值为b，求的值.(2)求使取得最小值的实数x的值.例5、已知，对于满足条件，的一切实数对（x，y），不等式恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值.练习：A 组1、(1)设x为正实数，则函数的最小值是.(2)函数的最大值是.2、若实数x、y满足方程，则的xy最大值为.3、已知实数a、b、c满足，，则a的最大值为.4、已知x、y、z为三个非负实数，且满足，，若，则s的最大值与最小值的和为.A、5B、C、D、5、若，则可取得的最小值为（）A、3B、C、D、66、正实数x、y满足，那么的最小值为（）A、B、C、1 D、E、7、(1)求函数在时的最值.(2)求的最大值.8、求的最小值.9、在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，且使得.（1）用b表示k；（2）求面积的最小值.B组10、设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为.11、若抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，则的面积最小值为.12、已知实数a、b满足，且，则t的最大值为，最小值为.13、设x、y、z为正数，且，则的最小值为.14、已知，则k的最小整数值是.15、已知，那么y的最大值与最小值的差为.16、已知都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则的值为.17、设实数a、b满足，求的最小值.18、已知a、b、c是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B.若点A、B到原点的距离都小于1，求的最小值.19、设是整数，并且满足：（1）；（2）；（3）.求的最大值和最小值.20、已知实数a、b、c、d使得方程对一切实数x均成立，那么当代数式取得最小值时，的值为多少？几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段的长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有：1、特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2、几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理.3、数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等. 例1、如图1，在锐角中，的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则的最小值是 .例2、如图2，等边三角形的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上的一点，若的最小值为 .例3、如图3，已知平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为.(1)若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当的周长最短时，求x 的值； (2)若C （a ，0），D （，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值；(3)设M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M （m ，0）和N （0， n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.例4、如图4，p 为正方形ABCD 内的动点，试确定取最小值时点P 的位置，并证明你的结论.A B CDM N 图1图2 x y B OA· · 图3例5、如图5，在中，，经过点C 且与AB 边相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是（） A 、 B 、4.75 C 、5 D 、4.8例6、如图6，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. （1）求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；（2）当时，求x 的值.例7、如图7，已知，P 为AB 边上的一动点，直线DP交CB 的延长线于Q ，求的最小值.例8、如图8，在四边形ABCD 中，，BC 、AD 的延长线交于点P ，求的最小值.图6图5图8图10 A 1P Q D C B A 图12CC 图9 例9、如图9，在等腰三角形ABC 中，.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P .（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？练习：1、如图10，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则的最小值是 .2、如图11，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 .3、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，.如图12所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A 1处，折痕为PQ.当点A 1在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A 1在BC 边上可移动的最大距离为 .图17HC图16图14C 图13 N 图154、如图13，已知梯形ABCD 中，.点N 在BC 上，，E 是AB 中点，在AC 上找一点M ，使的值最小，此时最小值一定等于（） A 、6 B 、8 C 、4 D 、 5、如图14，在等腰中，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持，连接DE 、DF 、EF.在此运动变化过程中，下列结论：○1是等腰直角三角形；○2四边形CDEF 不可能为正方形；○3DE 的长度的最小值为4；○4四边形CDFE 的面积保持不变；○5面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A 、○1○2○3 B 、○1○4○5 C 、○1○3○4 D 、○3○4○56、如图15，已知，P 为双曲线上任意一点，过P 作于C 点，于D 点，则四边形ABCD 面积的最小值为（）A 、22B 、23C 、24D 、267、如图16，圆O的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点. (1) 求证：； (2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长； (2) 当点P 运动到什么位置时，的面积最大？并求这个最大面积S.8、如图17，工程师有一块长AD 为12分米、宽AB 为8分米的铁板，截去了长米，米的直角三角形，在余下的五边形中截得矩形MGCH ，M 必须在线段EF 上.（1）若截得矩形MGCH 的面积为70平方分米，求矩形MGCH 的长和宽；（2）当EM 为多少时，矩形MGCH 的面积最大？并求此时矩形的周长.。

代数最值问题(含答案)

代数最值问题（答案）一简单分式函数的最值问题1 判别式法例当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_________________. 提示：可设22365112x x x x ++++=t ，化方程为关于x 的一元二次方程利用判别式求解，也可以将22365112x x x x ++++化简为226(1)1x -++，结果为当x=-1时，最小值为4.2 配方法例设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是__________.提示：2221(1)1y x x x x =-+=-++，当x=1时，最小值为1。

3基本不等式a b +≥例函数()9180y x x x=--+>的最大值是（） A.24 B.18 C.12D.2 答案：C二简单的绝对值函数最值例设x 是实数，11y x x =-++.下列四个结论：①y 没有最小值；②只有一个x 使y 取到最小值；③有有限多个x （不止一个）使y 取到最小值；④有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是（）A .① B.② C.③ D.④提示：亦可以画出图象求解较为直观，选D.关于含一次式绝对值函数的最值有如下重要结论：设12n a a a <<< ，那么，函数12n y x a x a x a =-+-++- ，（1）若n 为偶数，则当x 取122n na x a +≤≤时，有min 2112222n n n n y a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若n 为奇数，则当x 取12nx a +=时，有min 35121222n n n n y a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭补充：图像法例若x 是实数，{}min 21,2,6y x x x =++-+，求y 的最大值.提示：X=-2时，有最小值的最大值为4三多元函数最值问题常用策略1 消元法例已知,,x y z 为实数，且26,23x y z x y z +-=-+=.那么222x y z ++的最小值是________.答：142 因数分解法例设,,a b c 是互不相等的自然数，且231350ab c =.则a b c ++的最大值是__________. 答：1543 配方法例求实数,x y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值.答案：164 利用最值范围例设,,a b c 均为不小于3的实数.1的最小值是_________.答：25 基本不等式法例若1xy =，那么，代数式44114x y +的最小值是__________.答案：16 夹值法例已知三个非负数,,a b c 满足325,231a b c a b c ++=+-=，若37m a b c =+-，则m 的最小值为____________，则m 的最大值为____________.答案：最小值57-，最大值111-7 参数法例设,x y 是实数，且223x xy y ++=.求22x xy y -+的最值.答：最大值为9，最小值为1。

重难点填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一代数式求值类型二方程、不等式求值类型三函数求值题型02 规律探究类类型四数字规律探究类型五图形规律探究类型六函数规律探究题型03 函数最值类类型七一次函数的最值问题类型八二次函数的最值问题类型九反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十一次函数的最值问题类型十一二次函数的最值问题类型十二反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

求解最值问题的两种途径

思路探寻最值问题比较常见，其常见的命题形式有：（1）求某个代数式的最值或值域；（2）求某个条件下，某条线段、角的最值；（3）由最值求参数的取值范围.最值问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的性质和图象、不等式的性质、基本不等式的应用.接下来，通过几道例题，介绍一下求解最值问题的两种途径.一、利用简单基本函数的单调性求解最值问题经常要用到简单基本函数的单调性.这就要求我们熟知简单基本函数的单调性，如一次函数y =kx +b ，当k >0时，函数单调递增；当k <0时，函数单调递减；二次函数y =ax 2+bx +c ()a >0在x >-b 2a 时单调递增，在x <-b 2a 时单调递减；指数函数y =a x 在0<a <1时单调递减，在a >1时单调递增.当x ∈[]a,b 时，若函数f ()x 为增函数，则f ()a 为函数的最小值，f ()b 为函数的最大值；若函数f ()x 为减函数，则f ()a 为函数的最大值，f ()b 为函数的最小值.例1.已知x,y,z 为非负数，x +3y +2z =3,3x +3y +z =4，求w =2x -3y +z 的最值.解：由题意得：{3y +2z =3-x,3y +z =4-3x,解方程组得：y =53(1-x )，z =2x -1，可得w =9x -6.又x,y,z 为非负数，所以ìíîïïx ≥0，53()1-x ≥0，2x -1≥0，解得12≤x ≤1，可将w =9x -6视为一次函数，该函数在[12,1]上单调递增，所以当x =12时，w min =-32；当x =1时，w max =3.根据已知关系式，用x 表示出y 、z 、w ，并求出x 的取值范围，即可将目标式转化为关于x 的一次函数w =9x -6，根据该函数的单调性就能快速求得w 的最值.当一次函数的定义域是闭区间时，函数的最值必定在端点处取得.例2.求函数y =x +1-x 的最大值.解：令t =1-x (t ≥0),x =1-t 2，于是原函数变为：y =-t 2+t +1=-æèöøt -122+54，当t ∈[12,+∞)时，函数单调递减；当t ∈[0，12)时，函数单调递增.所以当t =12，即x =34时，y 取最大值54.该函数式中含有根号，需先令t =1-x ,通过换元，将函数式转化为y =-t 2+t +1.该式为二次函数式，将函数式配方，即可判断出函数的单调性，就能根据二次函数的单调性顺利求得函数的最值.二、运用判别式法对于含参二次最值问题，通常需运用判别式来求解.首先需根据题意确定自变量，构造出二次方程；然后求得方程的判别式；再根据方程的根的情况，建立关于判别式的不等式，通过解不等式求得最值.一般地，当方程有两个不等实数根时，Δ>0；当方程有一个实数根时，Δ=0；当方程无根时，Δ<0.例3.设α,β是方程4x 2-4kx +k +2=0的两个实根，当k 取什么值时，α2+β2取得最小值？解：由于α,β是该方程的两个实根，所以由韦达定理可知：α+β=k ,αβ=k +24，设y =α2+β2,则y =α2+β2=(α+β)2-2αβ=k 2-k +22=(k -14)2-1716，因为原方程有两个实根，所以Δ=16k 2-16()k +2=16(k 2-k -2)≥0，解得：k ≤-1或k ≥2.而二次函数y =k 2-k -2的顶点(14,-1716)不在该范围内，所以最值在区间端点处取得.而函数y 是以k =14为对称轴，开口向上的抛物线，所以当k =-1时，y min =12，即α2+β2取得最小值.解答本题需抓住关键信息“α,β是该方程的两个实根”，即方程4x 2-4kx +k +2=0有两个不等或相等的实数根，那么判别式Δ≥0，据此建立不等式即可求得k 的取值范围.再讨论目标式取最值的情形，即可解题.虽然求解最值问题的途径很多，但是上述两种途径比较常用，是解答这类问题的重要手段.无论是利用简单基本函数的单调性还是运用判别式法，都要灵活运用函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）李金山48。

巧求“最值”问题八种方法

１１
Байду номын сангаас
４＋４一１ ≥ Ｏ，（４２（一２（一４９０，Ｏｆｃ６ｆ）ｆ）ｆ）－得＜ ≤
２或ｃ４因为Ｃ最大者，以ｃ最小值是４ ≥ ，是所的．
４构造图形求最值
例５使￣ｚ＋４￣（一４１取最小值的实／４／８）－６－
・
一
正
１
、
，
２
（１＋（一）２的小必有ｚ） — 一，一。１要求最值，须
、Ｚ１
—
所以一 — ｚ一２令Ｙ０得ｏ，一，
８
１，／一亡一０解得ｚ， —０且￣ｚ，一１于是当ｚ一１时，一
Ｃ
一
１利用配方求最值
例１若ｚＹ是实数，－一ｘ４Ｙ一３，则ｚｙ－。ｘ一３＋ｙ１９９９的最小值是（９８年数学新蕾竞赛题）１９．分析与解：由于是二次多项式，以直接用完全平难方公式，以用配方法来解更为简捷．所
数ｚ的值为（０６年全国初中数学竞赛试题）２０．分析与解：用一般方法很难求出代数式的最值，由
原式一÷ （ｘＹ） ÷ （ｘ９４ｚ一２ｙ４－４－ｚ一６）－４－
１１１
１
于是构造如图所示．Ａ（，作０２关于ｚ轴的对称点Ａ（，２，）０一）令直线ＡＢ的解析式为ｙ— ｋ４ｘ－

11.第十一章代数式中最值问题求法举例(3课时)

第十一章代数式中最值问题举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。

现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：一．根据非负数的性质求最值。

1、若M =（x±a）2+b ，则当x±a =0时M 有最小值b 。

2、若M =-（x±a）2+b ,则当x±a =0时M 有最大值b 。

3、用（a±b）2≥0，∣a∣≥0,a ≥0的方法解题。

第1课时：利用函数图象和性质求最值【经典例题讲一讲】1.已知三个非负数a、b、c 满足3a＋2b＋c =5,2a＋b-3c =1,若Q =3a＋b-7c ,求Q 的最大和最小值。

2.当21≤≤-x 时，函数224222+++-=a a ax x y 有最小值，求a 所有可能取的值。

3.如图：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．4.已知1x ，2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x （k 是实数）的两个实数根，求2221x x +的最大值和最小值。

5.已知二次函数y=x 2﹣2mx（m 为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，求m 的值【典型习题练一练】1.已知x ，y ，z 是非负实数，且满足条件x ＋y ＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x ＋4y ＋2z 的最大值和最小值．2.若│y│≤1,且2x ＋y =1.则2x 2＋16x ＋3y 2的最小值是____________.。

3.若实数x 、y 满足条件,022=-+x y 则522++-x x y 的最大值是_______。

4.已知1x ，2x 是方程0)232(4222=-++-m m mx x 的两个实数根，求m 为何值时2221x x +有最小值，并求这个最小值。

5.若关于x 的一元二次方程()0122222=++--k x k x 有实数根α，β，（1）求实数k 的取值范围。

二次函数的最值问题-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元函数及其图象专题3.5 二次函数的最值问题知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.3h≥31或6a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)a≤x≤b＜h,y随x增大而减小,当x=a时,y有最大值,y max =m；当x=b时,y有最小值,y min =na≤x≤b＜h,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =ny O xm n a bh k (h,k)yOx(h,k)hb a knma ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)h＜a≤x≤b,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =nh ＜a ≤x ≤b ,y 随x 增大而减小,当x =a 时,y 有最大值,y max =m ；当x =b 时,y 有最小值,y min =ny O xh k(h,k)b a n m yO x(h,k)h k nm baa ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＜|b-h|当x=h时,y有最小值,y min =k；当x=b时,y有最大值,y max =n(a＞0,离对称轴越远的点,位置越高)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＞|b-h|当x=h时,y有最大值,y max =k；当x=a时,y有最小值,y min =m(a＜0,离对称轴越远的点,位置越低)y Oxhk (h,k)b a n m yO x(h,k)hk n bam1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x 2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.B知识点一强化训练利用二次函数的区间最值求值A 1xy-2-11143232知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例【例22】】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x 2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4C∵y轴为对称轴把P(m,n)代入y=x 2+ax+4得：n=m 2+4∴m-n=m-(m 2+4)=-(m-1/2)2-15/4∴a=0∴m-n的最大值为-15/4a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴，N在抛物线上，∴N(x,ax2+bx+c).当xA ＜x＜xB,MN=(kx+d)-(ax2+bx+c)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴,N在抛物线上,∴N(x,ax2+bx+c).当xA＜x＜xB,MN=(ax2+bx+c)-(kx+d).yO xxAMBAxBNy=ax2+bx+c y=kx+dyOxNxAMABxBy=ax2+bx+cy=kx+d1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.1.解析：Δ=b2-4a∴b2=a2+4a∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)∴t=-(a-4)2+16当a=4时,tmax =16167/42.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1∴对称轴为x=-2∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)∴当m=-4,n=0时a最小把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/43.如图直线y=x与抛物线y=x 2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN 最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。

最值问题---重点难点考点真题(word+答案)

专题最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x ba =-2时，y 有最小值。

y acb a min =-442；②若a <0当x ba=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为．【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋21QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．-2-1-1321321y xOMDCBA 专题典型训练题1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（） A.最大值为32 B.最小值为32C.最大值为23 D.最大值为23 2.（2018四川绵阳）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。