求函数最值问题及代数式最值问题

求函数最值问题及代数式最值问题（1）

陕西省西乡二中 王仕林

一、高中数学求最值问题分类：

1、一次函数求最值；

2、二次函数求最值；

3、指、对数函数求最值；

4、幂函数求最值；

5、分式函数求最值；

6、分段函数求最值；

7、双沟函数求最值； 8、线性规划求最值； 9、；三角函数求最值；

10、数列函数求最值； 11、含绝对值函数求最值； 12、超越性函数求最值；

13、抽象函数求最值；

二、求最值问题常用方法：

1、单调性法；

2、图象法；

3、配方法；

4、换元法；

5、公式法；

6、几何意义法；

7、判别式法；

8、线性规划法；

三、求最值问题基本题型：

1、求不含参的函数的最值问题；

2、求含参数的函数的最值问题；

3、已知含参函数的最值，求参数的值或范围；

4、已知关于某两个变量的不等式恒成立问题，求另一个变量的值或范围； 下面将按照基本题型进行讲练：

(一)求不含参函数的最值问题：

例1、（一次函数求最值）①求函数()36(13)f x x x =-+-≤≤的最值。 方法1： 方法2：

（二次函数求最值）②求函数()3)f x x =≤≤的最值。 方法：

例2、（分式类函数求最值）①求函数12()(13)2

x f x x x -=

-≤≤+的最值。 方法1： 方法2：

变式：ⅰ、求函数2()(13)2

x f x x x =--≤≤+的最大和最小值。 方法1：图像法 方法2：斜率的几何意义

ⅱ、求数列函数())

f n n N *=∈的最大和最小值。 方法：图像法： ⅲ、求函数2

cos 1cos +-=x x y 的最大和最小值。 ⅳ、求x

x y cos 2sin 2--=的最大值和最小值．

②求函数2()(0)2

x f x x x =>+的最大值。 方法1：图像法； 方法2：斜率的几何意义

变式：ⅰ、求函数22()(0)x f x x x

+=>的最小值。 ⅱ、求函数1()(2)1

f x x x x =+≥-的最小值。

ⅲ、求函数()f x = ⅳ、求函数2

()f x =

例3、（分式类函数求最值）设x 0,y 0,>>且21x y +=， ①求

11x y +的最小值。②求11x y x y +++

最小值。

变式：ⅰ、设x 0,y 0,>>且11=1x y

+，求2x y +的最小值。

ⅱ、若正数,x y 满足232x y xy

+=，求x y +的最小值；

ⅲ、若正数,x y 满足2x y +=，求

23+2x y xy +的最小值；

ⅳ、若正数,a b 满足23ab a b =+，求①a b +的最小值；②ab 的最小值。

变式：①若正数,a b 满足2+3ab a b =+，求①a b +的最小值；②ab 的最小值。

②求函数21()(01)1f x x x x

=

+<<-的最小值。 方法1：转化为函数法： 方法2：增元法:

例4、（无理函数类求最值）①求函数()f x x =最大和最小值； 方法1：三角换元法： 方法2：增元法：

变式：ⅰ、求函数()21f x x =-

ⅱ、求函数()f x =

ⅲ、 求函数()f x =

ⅳ、求函数()f x =

ⅴ、求函数()f x =

ⅵ 求函数()f x =

方法：

②已知函数()f x =

()3f x x -的最大和最小值。 方法1： 三角换元法： 方法2：增元法：

例5、（三角函数类求最值）①求函数()2sin(2)1()463

f x x x πππ=--≤≤的最大和最小值。

方法：

变式：ⅰ、求函数()2cos(2)1()463

f x x x πππ=--≤≤的最大和最小值。

ⅱ、求函数2()2log sin(2)()662

f x x x πππ=+≤≤的最大值。

②求22sin 2sin cos 2cos y x x x x =++的最大和最小值．

③求函数x x y 2cos sin 42--=的最大和最小值．

④求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值和最小值．

例6、（绝对值函数类求最值）求函数()|1||2||3|f x x x x =-+-++的最小值。 方法：

变式：ⅰ、求函数()|1||2||3|+|4|f x x x x x =-+-+++的最小值。

ⅱ、求函数()|21||2|f x x x =-+-的最小值。

例7、（线性规划类函数求最值）①若点P (),x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

。

求（1）43x y -的最大值；（2）y x

的最小值；（3）22+x y 的范围；（4）|++2|x y 的最小值。 方法：

变式：如果点P 在平面区域⎪⎩

⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线()1222=++y x 上，求PQ 的最小值。 方法：

例8、已知函数()f x 对任意.x y R ∈，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，

2(1)3

f =-。（1）求证：()f x 在R 是奇函数；（2）求证：()f x 在R 上递减。（3）求()f x 在[]33-，上的最大和最小值。

方法：

练习题：（一）函数类求最值问题： ①求函数1

12-+=x x y 的最值。 ②求1422++=x x y 在]1,0[上的最大和最小值