2016年秋九年级数学上册 22.1 平行线与比例的关系(第3课时)(新版)沪科版
平行线分线段成比例定理.1比例线段(平行线分三角形三边成比例定理)
这个基本事实包含下列两个基本几何图形：
用几何语言表述为：
∵AD∥BE∥CF， AB DE ∴ ＝ . BC EF
上 上 下 下
上 上 全 全
下 下 全 全
推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边(或两边延长线),所得对应线段成 比例.
(平行线分三角形两边成比例定理)
A D
A
E
B C E
A E
O
B
到：全品数学活动，课本第72页第9题
D
C
例 6 如图 22－1－21，D 是△ABC 的边 AB 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，连接 DF 交 AC 于点 E. 求证：EA∶EC＝BF∶CF.
图 22－1－21
证明：过点 A 作直线 AM∥DF 交 BF 的延长线于点 M.
由于 D 是 AB 的中点， 所以 F 是 BM 的中点， 即 BF＝FM. 在△ACM 中，EF∥AM， 所以 EA∶EC＝FM∶CF. 因为 FM＝BF， 所以 EA∶EC＝BF∶CF.
求：(1)CF:BF; (2)BF:AD; (3)CE:ED A
D F
B
C
E
例2.已知:如图,在△ABC中，
DE∥BC,AD=4,DB=3
4
A D E C
(1)若AE=6,求EC; (2)若AE=8,求AC; B
3
(3)若AC=10,求AE,EC.
例3.已知:如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.
B
C
D
E A B
D
C
练习： 已知：如图，AB∥CD∥EF，下列结论正确 的是（ ）
AD BC A. DF CE BC DF B. CE AD CD BC C. EF BE
北师大版九年级数学上册《平行线分线段成比例》说课PPT
合作
启发
教法
激趣ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类比
抽象
学法
探究
说教材
说教法学法
说教学过程
环节一：创设情境、激发兴趣
环节二：自主探究、构建新知
环节三：应用新知，体验成功
环节四：总结梳理、拓展提升
说教材
说教法学法
说教学过程
环节一：创设情境 激发兴趣
提出问题 如何不测量将一条绳子分为2:3两部分
激发 兴趣
源于 生活
感受 价值
说教材
说教法学法
说教学过程
环节二：自主探究、构建新知
特殊方格 中的线段
比
计算特殊方格中的线 段比初步猜想结论
方格中平 移后的线
段比
平移线段后结论是 否成立？进一步归 纳猜想。
任意平面 上的线段 比
几何画板演示，从 特殊到一般归纳基 本事实
说教材 说教法学法
说教学过程
环节三：应用新知，体验成功
基础练习
变式练习
培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使 学生感悟几何知识在生活中的价值。
通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
说教材
重点
教学重难点及关键
难点 关键点
平行线分线段成比例和推论及其应用
基本事实及推论的灵活应用及推论的变式。 充分利用学生原有的相关认识基础，关注由特 殊到一般再到特殊抽象概括过程。
说教材 说教法学法
《平行线分线段成比例》说课
目录
1.说教材
2.说教法学法
3.说教学过程 4.说板书设计
5.说教学反思
说教材
承上启下
教材所处的 地位和作用
平行线的性质及判定 比例的定义及基本性质 研究相似图形重要理论
4.2平行线分线段成比例 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
AF交BC于点D，若BF=3EF，则 =
.
.
（ B）
.
.
点拨：过点E作 //交 BC 于点H,则
=
.
∵BE 是 △ 的中线， ∴ = , ∴ = .
∵ //, = , ∴
=
= , ∴
1 2 1 2
3 .计算
与
的值，你有什么发现？
2 3 2 3
如果不通过测量，我们要将一条长为5厘米的细线分成两部
分，使得这两部分之比为2：3.我们如何运用所学知识解决
这个问题呢？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本82-83页内容.
2.思考并完成课本82页导入的内容中的问题可以得出什么结论？
例2：如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交
AC于E，如果
= ，那么BD：BC等于（
D
）
A.3:5 B. 5:3 C.8:5 D. 3:8
点拨: ∵ //, ∴
=
=
,∴
=
.
【题型三】平行线分线段成比例与三角形中位线的综合应用
例3：如图，BE是△BC的中线，点F在BE上，延长
平行的直线，用它们截两条直线，然后测量被截
的每段线段的长度，观察并计算是否满足本节课
所学的基本事实.
清楚哪些线段是对应的，切勿写反.
注意：在应用基本事实和推论时，我们需要注意的是：对应线段成比例，一
【最新】北师大版九年级数学上册《平行线分线段成比例》精品课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
33
拓展延伸
2. 如图，ΔABC中，BC=a.
1
1
(1)若AD1= 3 AB，AE1= 3 AC，则D1E1= ；
(2)若D1D2=
1 3
1 D1B，E1E2= 3 E1C，则D2E2=
；
(3)若D2D3=
1 3
D2B，E2E3=
1 3
E2C，则D3E3=
；……
(4)若Dn-1Dn=
1 3
Dn-1B，En-1En=
图3-6
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比 例吗？
归纳
平行线分线段成比例定理：
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
C
F
l5
2、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
3、注意该定理在三角形中的应用
习题巩固
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
北师大版九年级数学上册_平行线分线段成比例解读
平行线分线段成比例解读一、知识要点：1、 平行线分线段成比例定理2、 平行于三角形一边的直线的判定和性质（“A”、“X”型）主要的基本图形E D C B AA B CD E FED C B A（图1） 平行线分线段成比例 （图2）图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。
（可看作性质1）及其的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（可看作判定）以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。
（可看作性质2 ）对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，（共5点），其中作比的三点在一条直线上（AD ∶AB=AE ∶AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上。
）在作辅助线的时候我们可以观察这些特征。
而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得。
注意点：（1）平行线分线段成比例没有逆定理（2）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例（被判断的平行线本身不能参与作比例）（3）有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ∶FE=BG ∶GC（4）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中。
CF 平移至过点ACF 平移至过点D G F E D CB A典型例题分析：例1：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=a.CD=b,E 在AD 上且AE ∶ED=m ∶n ，EF//AB 交BC 于点F ，求EF 的长。
分析：由于要计算的EF 是平行线段，所以不能直接计算，应该把它放在“A”型或“X”型中，所以要构造基本图形。
九年级数学上册平行线分线段成比例课件北师大版
DE，BC所截.
则由平行线分线段成比例可知
AD AE , AD AE . DB EC AB AC
同时还可以得到 DB EC , DB EC . AD AE AB AC
归纳总结
平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边（*或其延长线）
相交，截得的对应线段成比例.
A
D
E
A
B
C
又AD=2BD
BF AE 2 . BC AC 3
CF 1 . BF 2
D
E
B
FC
(2)∵DE//BC，EF//AB,
∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF.
AD
BF
,
AD
由DE(1)知
.
AB BC AB BC
当堂练习
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( D )
A. AC BD CE DF
B.
AC BD AE BF
C. CE DF D. AE BD
AE BF
BF AC
2.填空题:
如图:DE∥BC,
已知: AE 2 AC 5
则
AD AB
2 5.
E
D
A
B
C
3.在△ABC中，ED//AB，若 AE 4 ，
则
BD
4
___3____
4 EC BD ___7____
3
DC
BC
解： 相等.理由如下，如图，我们分
别找出AB的二等分点和BC的三等分
A
点，再过它们作AD的平行线.
P
由平行线等分线段可知：
B
DQ QE EN NG GF
M
华师版九年级数学上册《平行线分线段成比例》课件PPT
一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三
角形一边上的特殊情况.
2. 成比例线段不涉及平行线上的线段.
3. 当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条
隐形的平行线（如图23.1-4）.
课堂小结
平行线除了具备构造“三线八角”得角相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线段 成比例的基本思路是： 1．善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
知1－导
数学表达式如图：∵l3∥l4∥l5，
∴ AB DE , AB DE , BC EF .
BC EF AC DF AC DF
可简记为：
上 上上 上下 下 下 下,全 全,全 全.
感悟新知
要点Байду номын сангаас读：
知1－导
1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这
BC 6
∴BC＝8.
感悟新知
归纳
知1－讲
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法： 先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例
关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的 比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
感悟新知
知1－练
1．如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论中正
确的是( C )
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； 2. 平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
第23章 图形的相似
23.1
成比例线段
第2课时 平行线分线段 成比例
学习目标
1 课时讲解 平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的推论
【最新】北师大版九年级数学上册《平行线分线段成比例》精品课件
快乐预习感知
1. 两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成 比例 . 2. 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应 线段成 比例 .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 如图, 在△ABC 中, 已知 MN∥BC, DN∥MC. 小红同学由此得出了以 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ �� ������������ 下四个结论:①������������ = ������������ ;②������������ = ������������;③������������ = ������������;④������������ = ������������ .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 如图, AB∥GH∥CD, 点 H 在 BC 上, AC 与 BD 交于点 G,AB=2, CD=3, 则 GH 的长为 .
关闭
6 5
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 如图, 已知 D, E, F 是△ABC 三边上的点, DE∥BC, DF∥AC, AE=5 cm, CE=3 cm, BF=2 cm, 则 CF= .
关闭
10 3
cm
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
6. 如图, 直线 AB∥CD∥EF, 若 AC=3, CE=4, 则������������的值是多少?
������������
关闭
3 7
答案
关闭
D
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3. 如图, 在▱ABCD 中, E 是 AD 上一点, 连接 CE 并延长交 BA 的延长线 于点 F , 则下列结论中错误的是( )
北师大版九年级数学上册教学课件《 平行线分线段成比例》
图2
图1
相等
探索新知
思考二： 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如 图3所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
图2
图1
相等
探索新知
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的 对应线段成比例。
探索新知 请你熟悉该定理及推论的几种基本图形。
学以致用
A1 A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
探索新知
②将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点 分别为A2，B2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果 将ｂ平移到其他位置呢？
成立，A1A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
探索新知
③在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线 段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言： 若a ∥b∥ c ，则
A1 A2 = B1B2 A2 A3 B2 B3
被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
探索新知
思考一： 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如 图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
2.要熟悉该定理的几种基本图形
北京师范大学出版社 九年级 | 上册
第四章·图形的相似
平行线分线段成比例
情景引入
1.比例线段的概念： 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段。
2.比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc。 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d 。 如果 a：b =c：d，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d。
九年级数学 平行线分线段成比例 知识点精讲 教案 课件
九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。
[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。