矩阵特征值的估计及其应用

设λ ＝ａ 为 Ｍ 的任一特征值， 则 ＋ｂ １ 槡－ Ｒ ｅ （ （ ） （ （ ） ｒ ｒ Ｍ ｎ ｆ Ｍ） － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ Ｍ ｎ ｆ Ｍ） － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ 。 －槡 ｅ ＋槡 (ｔ (ｔ ≤ａ ≤Ｒ ｎ) ｎ ｎ) ｎ ｄ ｘ ， 其中 Ａ为系数矩阵， 若 ＝Ａ ｘ ｄ ｔ
山
东
大
学
学
报
（ 理
学
版）
第４ 卷 ４
２ {‖ （ （ ） －Ｍ‖２ ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ －Ｍ） ＝ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } 。 ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ αＩ αＩ Ｆ－ ｍ ｋ － １ ≤ｋ ≤ｎ
又因为 １ ２ ２ ２ （ ］ －Ｍ‖２ ｜ ｔ ｒ －Ｍ） ｜ －｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ＋ ‖ αＩ αＩ ‖ Ｍ‖ Ｆ， Ｆ＝ ［ ｎ 所以有 ｎ － １ ２ ２ （ （ （ ） （ 。 ｆ －Ｍ） ＝ ｜ ｔ ｒ －Ｍ） ｜ －｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ＋ｆ Ｍ） αＩ αＩ ｎ （ ）显然 ３ ｎ － １ ｎ － １ ２ ２ ２ { ‖ Ｍ‖２ （ （ ） ， ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ Ｍ） － ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ＝ ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } － ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ Ｆ－ ｍ １ － １ ｎ ｎ ≤ｋ ≤ｎ 即
特征值的估计一直是矩阵分析领域非常热门的课题。特征值的定位与分布就是在复平面上对给出的 矩阵的特征值的大小， 所属区域给出一个范围。在自然科学的许多分支中， 并不需要精确计算出矩阵的特 征值， 而只需要给出一个大体的分布范围。如在控制理论中， 只需要判断系统方程中系统矩阵的特征值是 否都具有非负的实部， 就可以判断系统是否稳定； 而在统计线性模型或是数值算法分析中， 有时需要判断
Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｆ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ａ ｎ ｄｉ ｔ ｓ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
，Ｚ Ｘ Ｕ ＥＪ ｉ ａ ｎ ｍ ｉ ｎ ｇ Ｏ ＵＬ ｉ ｍ ｉ ｎ
（ ，Ｔ ，Ｃ ，Ｃ ） Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄＣ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ ｈ ｒ ｅ ｅ Ｇ ｏ ｒ ｇ ｅ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ ４ ０ ４ ０ ０ ０ ｈ ｉ ｎ ａ ：Ｔ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｐ ｕ ｒ ｐ ｏ ｓ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ｏ ｆ ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ． ，ｗ Ｗｅｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ａ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ｏ ｆ ａ ｎ ｙ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｘ ａ ｒ ｅ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｏ ｎ ｅ ｄ ｉ ｓ ｋ ． Ａ ｆ ｔ ｅ ｒ ｔ ｈ ａ ｔ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｓ ｕ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ａ ｔ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｔ ｉ ｍ ｅ ｉ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｔ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｉ ｓ ａ ｓ ｙ ｍ ｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｉ ｎｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｓ ｏ ｍ ｅ ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍ ｐ ｌ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ． ：ｅ ；Ｆｆ ；ｎ ；ｅ ；ｓ Ｋ ｅ ｙｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｒ ｍ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
４ ９
２ （ ）对于任意的矩阵 Ａ ， 若｜ （ ） ， 则 Ａ非奇异； １ ｔ ｒ Ａ｜ ＞ｆ Ａ
ｎ － １ ２ ２ （ ）对于任意的α∈Ｃ ， 有ｆ （ ） （ （ ） ） （ ） ； ２ －Ａ ＝ ｜ ｔ ｒ －Ａ ｜ －｜ ｔ ｒ Ａ｜ ＋ｆ Ａ αＩ αＩ ｎ ｎ － １ ２ （ ）ｆ （ ） ， ３ Ａ ｔ ｒ Ａ｜ ≥ ｎ ｜ 珓 为一个 Ｆ函数， 记 Ｆ函数的全体为 。 则称 ｆ ｆ ｎ ×ｎ 珓 定理 １ ， 则 Ａ的所有特征值位于如下一个圆盘之中： １ 设Ａ ｆ ｆ ∈Ｃ ， ∈ （ ） （ ） Ａ 槡ｎ ｆ Ａ － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ａ｜ 。 ｔ ｒ ：ｚ － {ｚ } ∈Ｃ ｎ ≤ ｎ
２ （ ） ｜ ｔ ｒ －Ａ ｜ ｎ － １ ２ λＩ （ ） ， Ａ － ｜ ｔ ｒ Ａ｜ ≤ｆ ｎ ｎ
所以 ｔ ｒ Ａ２ ２ ２ （ ） （ ） ， ｎ ｆ Ａ － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ａ｜ λ－ ｎ ≤ｎ 故
２ （ ） （ ） Ａ 槡ｎ ｆ Ａ － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ａ｜ ｔ ｒ 。 λ－ ｎ ≤ ｎ
２ ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ２ ２ （ （ ） { ‖ Ｍ‖２ 。 ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ Ｍ） － ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ＝ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } － ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ Ｆ－ ｍ １ － １ ｎ ｎ ≤ｋ ≤ｎ
(
)
） 可得 所以， 由式（ １ （ ｆ Ｍ） ≥ ｎ － １ ２ 。 ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ｎ
≤ ≤
ｓ
２
２
２
所以
２ ２ { ‖ Ｍ‖２ ） ａ ｘ（ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｂ ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ）} ， Ｆ－ ｍ ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ ≤（ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
（ ） １
于是 Ｔ （ ， 与条件矛盾， 所以 Ｍ 为非奇异矩阵。 Ｍ） ≤０
５ ０ （ ）设α∈Ｃ为任意复数， 则 ２
收稿日期： ２ ０ ０ ８ １ １ １ ４ 作者简介： 薛建明（ ， 女， 硕士， 研究方向为泛函分析和矩阵计算 ． ：ｘ １ ９ ８ ２ ） Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ｕ ｅ ｊ ｉ ａ ｎ ｍ ｉ ｎ ｇ １ ０ ４ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
第１ 期 ２
薛建明， 等： 矩阵特征值的估计及其应用
于是定理得证。
ｎ ×ｎ 定理 １ 且被分块为如下形式： ２ 设 Ｍ∈Ｃ Ａ Ｂ （ ） ｋ ×ｋ ｋ × ｎ －ｋ ，（ ） 。 Ｍ＝ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ Ｃ Ｄ （ ） （ ） （ ） ｎ －ｋ ×ｋ ｎ －ｋ × ｎ －ｋ
(
)
令
２ { ‖ Ｍ‖２ （ （ ） ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ Ｍ） ＝ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } ， ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ Ｆ－ ｍ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
２
证明
设λ 为 Ａ的任意特征值， 令 Ｈ＝ ， 则由 Ｆ函数的定义， 有 －Ａ λＩ ２ （ ， ｜ ｔ ｒ Ｈ｜ Ｈ） ≤ｆ ｎ － １ ２ ２ （ ） （ （ ） ） （ ） ， ｆ －Ａ ＝ ｜ ｔ ｒ －Ａ ｜ －｜ ｔ ｒ Ａ｜ ＋ｆ Ａ λＩ λＩ ｎ
又由 Ｆ函数的定义可得
于是 ｎ － １ ２ ２ ２ （ ） （ ） ） （ ） ， ｜ ｔ ｒ －Ａ ｜ ｜ ｔ ｒ －Ａ ｜ －｜ ｔ ｒ Ａ｜ ＋ｆ Ａ λＩ ≤ ｎ（ λＩ 即
假设 Ｍ 为奇异矩阵， 则有
２ ２ ） 。 ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ｎ － １ ≤（ ∑｜ λｉ｜ ＝ １ ｉ ｓ
又由文献［ ］ 定理 １ 知 ３
ｉ ＝ １
ｍ ａ ｘ（ （ ） （ ） ∑｜ λｉ｜ ≤‖ Ｍ‖ Ｆ － ‖Ｂ ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ）， ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ １ ｋ ｎ － １
年１ 月 ２ ０ ０ ９ ２ Ｄ ｅ ｃ ． ２ ０ ０ ９
矩阵特征值的估计及其应用
薛建明， 邹黎敏
（ 重庆三峡学院数学与计算机科学学院，重庆 ４ ） ０ ４ ０ ０ ０
摘要： 讨论矩阵特征值估计及其在稳定性理论中的应用。证明了矩阵的所有特征值都位于一个圆盘中， 给出了定 常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件， 并给出了数值算例。 关键词： 特征值； 范数； 估计； 稳定性 Ｆ函数； 中图分类号： Ｏ １ ５ １ ２ 文献标志码： Ａ
４ 矩阵是正定的， 即所有的特征值都大于零 １ 。 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ ［ ］
众所周知， 动力系统
ｄ ｘ （ ） 的稳定性理论有着广泛的应用， 而非线性系统的稳定性往往可以用其线 ＝ｆ ｘ ｄ ｔ
ｄ ｘ 判断 Ａ是否是稳定矩阵的方法 ＝Ａ ｘ的解的稳定性问题时， ｄ ｔ 有很多， 如Ｒ ， 李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵， 上面的方法是比较复杂的， 故寻求 ｏ ｕ ｔ ｈ Ｈ ｕ ｒ ｗ ｉ ｔ ｚ 然后给出了定常线性系统在平衡 Ａ是稳定矩阵的简单判据是有必要的。文中先得到了矩阵特征值的估计， 性部分来处理。涉及常系数线性微分方程组 位置渐近稳定的一个充分条件， 并给出了数值算例验证估计的优越性。
珓 综上可知 ｆ （ 。 Ｍ） ｆ ∈
ｎ ×ｎ 推论 １ 且被分块为如下形式： １ 设 Ｍ∈Ｃ
Ｍ＝ 令
(
Ａ ｋ ×ｋ
Ｂ （ ） ｋ × ｎ －ｋ
Ｃ （ ） （ ） （ ） ｎ －ｋ ×ｋ Ｄ ｎ －ｋ × ｎ －ｋ
)
∈Ｃ
ｎ ×ｎ
，（ ） 。 １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
２ { ‖ Ｍ‖２ （ （ ） ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ Ｍ） ＝ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } ， ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ Ｆ－ ｍ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
ｎ ×ｎ ｎ ×ｎ 设Ｃ 表示 ｎ 若 Ａ＝（ ） 称‖ Ａ （ ） 为矩阵 Ａ的 Ｆ 范数， ×ｎ阶复矩阵的集合， ａ ｒ Ａ Ａ 槡ｔ ∈Ｃ ， ‖Ｆ ＝ ｉ ｊ 其中 Ａ 表示的 Ａ的共轭转置。
１ 矩阵特征值的估计
ｎ ×ｎ ＋ 定义 １ ： ｝ ， 若ｆ 满足 １ 令映射 ｆ Ｃ ０ → Ｒ ∪｛
(
Ａ ｋ ×ｋ
Ｂ （ ） ｋ × ｎ －ｋ
Ｃ （ ） （ ） （ ） ｎ －ｋ ×ｋ Ｄ ｎ －ｋ × ｎ －ｋ
)
∈Ｃ
ｎ ×ｎ
，（ ） ， １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
２ { ‖ Ｍ‖２ （ （ ） ａ ｘ ( ‖Ｂ ｆ Ｍ） ＝ ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×‖ Ｆ) } ， Ｆ－ ｍ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ
则 Ｍ 的所有特征值位于如下一个圆盘之中： （ （ ） ｔ ｒ Ｍ ｆ Ｍ） － ｎ － １ ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ 。 槡ｎ ：ｚ － {ｚ } ∈Ｃ ｎ ≤ ｎ
２
证明
推论 １ 为定理 １ 和定理 １ 的综合推论。 １ １ ２
ｎ ×ｎ 推论 １ 且被分块为如下形式： ２ 设 Ｍ∈Ｃ
Ｍ＝ 令
第４ 卷 第１ 期 ４ ２ Ｖ ｏ ｌ ． ４ ４ Ｎ ｏ ． １ ２
文章编号： （ ） １ ６ ７ １ ９ ３ ５ ２ ２ ０ ０ ９ １ ２ ０ ０ ４ ８ ０ ４
山
东
大
学
学
报
（ 理
学
版）
（ ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ
珓 则ｆ （ 。 Ｍ） ｆ ∈ 证明 （ ）令 １
２ ２ { ‖ Ｍ‖２ （ （ ） ａ ｘ ( ‖Ｂ Ｔ Ｍ） ＝｜ ｔ ｒ Ｍ｜ － ｎ － １ （ ） （ ） ‖Ｆ － ‖Ｃ ‖ Ｆ) } ， ｋ × ｎ －ｋ ｎ －ｋ ×ｋ Ｆ－ ｍ １ － １ ≤ｋ ≤ｎ ２ 若｜ （ ， 即Ｔ （ ， 设 Ｍ有ｓ 个非零特征值， 则ｒ ， 于是 ｔ ｒ Ｍ｜ ＞ｆ Ｍ） Ｍ） ＞ ０ ａ ｎ ｋ Ｍ≥ ｓ ２ ２ ２ 。 ｜ ｔ ｒ Ｍ｜ ＝∑ ｜ ａ ｎ ｋ Ｍ∑ ｜ λｉ ≤ ｓ ∑ λｉ｜ ≤ｒ λｉ｜ ｉ ＝ １ ＝ １ ＝ １ ｉ ｉ ｓ ２ ｓ ｓ