量子力学考研真题与量子力学考点总结

量子力学考研真题与量子力学考点总结
8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。

[中国科学院2006研]
【解题的思路】
直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。

【分析】
在势场V中，粒子所
受作用力为
因此作用力F的平均值为
得证。

【知识储备】
①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。

②
即
③在某一表象下，算符F ∧
在ψ态中的平均值为
29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：
（1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。

[中国科学院2007研]
【解题的思路】
对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。

【分析】
（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为
本征能量为
对于两个可区分粒子
基态
能量
波函数
因此，能级简并度为4。

第一激发态
或者
能量
波函数
因此，能级简并度为8。

（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。

基态
能量
波函数
能级非简并。

第一激发态
或者
能量
波函数
能级简并度为4。

【知识储备】
①一维无限深方势阱
若势能满足
在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是
体系的能量本征值
本征函数
②全同粒子
a．全同粒子定义
在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。

b．全同性原理
全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。

c．两个电子的自旋函数
若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为
【拓展发散】
两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。

30假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们按如下自旋相关
势相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g＞0为常量，而（i ＝l，2）为分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。

（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；
（2）请给出该体系各束缚定态的能级g；
（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。

[中国科学技术大学2012研] 【解题的思路】
①可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；
②直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。

【分析】
（1）体系的哈密顿量可以写为
令，则，与哈密顿量对易。

对于，此结果是显然的。

对于
体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。

因此力学量组
即为体系的一组可对易力学量完全集。

（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为
其中为质心动量。

由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。

略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数
由于
满足
其中。

令
可知只有，才会出现束缚态。

将写为
可知
将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为
（3）对于体系的基态为
相应的量子数
其中为玻尔半径。

【知识储备】 ①定态薛定谔方程
②体系的总角动量满足角动量的一般对易关系
J →×J →＝i ħJ →
分量形式
[J ∧x ，J ∧y ]＝i ħJ ∧z ；[J ∧y ，J ∧z ]＝i ħJ ∧x ；[J ∧z ，J ∧x ]＝i ħJ ∧y
或统一写成
[J ∧i ，J ∧j ]＝i ħεijk J ∧k
其中的i ，j ，k 分别表示x ，y ，z 分量，如果i ，j ，k 有两者或两者以上相同则ε
ijk 为
0，其他情况则为1或－1。

31粒子在势场中运动（），试求系统能级和能级方程。

[中国科学院2007研] 【解题的思路】
对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的δ势场，需要充分利用δ函数的性质。

【分析】
粒子在无限深δ势场中运动，由定态薛定谔方程可得
当x＞a或x＜－a时
当－a＜x＜a时
对两边在积分可得
①当x≠0时
其中
求解可得
带入①可得，则B＝0，所以
因为
所以
即
【知识储备】
①定态薛定谔方程
②波函数必须满足的三个基本条件
有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；
单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；
连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

32一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用，试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。

[中国科学院2007研]
【解题的思路】
对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。

【分析】
由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得
本征波函数为
对于微扰有
根据定态微扰第n级的一级修正为
对于谐振子势场，由维里定理可得由
可得
所以
【知识储备】
①一维线性谐振子
势能满足方程
本征值
振子的基态（n＝0）能量，零点能
本征函数
其中
常用公式总结：
②维里定理
粒子在r的n次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式
③非简并定态微扰
微扰作用下的哈密顿量
H＝H0＋H′
第n个能级的近似表示
波函数的近似表示
33两个自旋为的粒子，两个粒子分别为，，求系统处于单态和三重态的概率。

[中国科学院2008研]
【解题的思路】
对于两个自旋为的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。

【分析】
因为两个粒子分别为
则它们两个粒子系统的状态为
其中为单态，、为三重态。

因此，系统处于单态的概率为，系统处于单态和三重态的概率为。

【知识储备】
单态和三重态
若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为
其中，（）表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。

χA 是两电子自旋反平行的态，总自旋为零，此态是单态；χS是三重简并的，被称为三重态。

34对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。

[复旦大学2001研]
【解题的思路】
当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。

【分析】
首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数的归一化形式为
选择为参量。

能量的平均值为
由
可得。

所以基态波函数为
能量为
由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为
比较两种结果，它们相同。

【知识储备】
①变分法求体系基态能量方法总结
分析具体的物理问题和研究对象，在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：
a ．根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数λ的尝试波函数ψ（λ）；
b ．计算H 的平均能量H —
（λ），它是变分参量λ的函数；
c ．由极值条件求解λ数值；
d ．带入H —（λ），求出H —
（λ）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。

②一维谐振子本征函数
其中
【拓展发散】
当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。

35两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量描述，其中分别是两个粒子的自旋，是它们的z分量，A，B为常数，求该哈密顿量的所有能级。

[复旦大学2004研]
【解题的思路】
对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。

【分析】由两个自旋为1/2的粒子组成的体系，为总自旋，即并且对应的z分量有
所以
即
因此哈密顿量可以改写为
根据自旋角动量的合成规则
则或者。

当时，；
当时，。

因此带入哈密顿量，可得所有能级为
或者
或者
【知识储备】
两个角动量合成
①耦合表象
a．力学量组相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；b．以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；
c．耦合表象的基矢记为，或简记为。

②无耦合表象
a．力学量组也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；
b．无耦合表象的基矢为。

③需满足；。

其中，j＝|j1－j2|，……，j1＋j2；m＝－j，－j＋1，……，j－1，j。

36有一个质量为m的粒子处在长度为a的一维无限深势阱中，
，t＝0时粒子波函数，求：（1）归一化常数A；
（2）粒子能量的平均值；
（3）t＝0时粒子能量的几率分布；
（4）任意t＞0时波函数的级数表达式。

[南京大学2001研] 【解题的思路】
①由波函数的归一化公式即可求得A；
②对于力学量的平均值可以直接带入平均值公式求解；
③任意波函数都可以由某一个完备集展开，相应的能量的完备集也可以，对于求解某一个能级的几率分布，只需要对展开式中本征波函数的振幅平方即可；
④含时薛定谔方程可以求解t时刻波函数的具体形式。

【分析】
（1）由波函数的归一化
所以
（2）利用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱可得本征波函数为
本征能量为
将用完备集展开可得
因此由傅里叶变化可得
所以粒子的平均能量为
（3）粒子的本征能量为的几率为
（4）粒子在任意时刻t的波函数为
【知识储备】
①波函数的归一化条件
②在某一表象下，算符F ∧
在ψ态中的平均值为
③设y 1、y 2、…、y n 、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c 1y 1＋c 2y 2＋…＋c n y n ＋…，这也是微观粒子的可能状态。

也可以说，当体系处于态y 时，体系部分地处于态y 1、y 2、…、y n 、…中；相应的概率分别为|c 1|2，|c 2|2、…、|c n |2，…。

④波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出
37．氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处在室温，试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最大波长。

（晶格常数1A ）[南京大学2001研] 【解题的思路】
本题把量子力学中的理论和实际的系统联系，这可以提高对量子力学的理解。

将氯化钠晶体中的空穴束缚电子看成三维无限深势阱模型，要求解电子可以吸收的最大波长的电磁波，根据波长和频率的关系，也就是要求频率最小，能级间能量差最小，显而易见，由无限深势阱的本征能量的形式，即可以求解基态和第一激发态的能量差。

【分析】设晶格常数为c，对于束缚在三维无限深势阱中的电子，由定态薛定谔方程可以求解本正能量为
因此，基态能量为
第一激发态的能量为
能使电子从基态跃迁到第一激发态的光子的频率为
相应的波长为
【知识储备】
①三维无限深方势阱
势能满足方程
则本征值
本征函数
②电子由能量为E m的定态跃迁到能量为E n的定态时所吸收或发射的辐射频率满足
【拓展发散】
将三维无限深势阱的模型变为三维谐振子的情形，来求解相应的吸收最大电磁波波长。

38请写出四位因对量子力学理论的贡献而获诺贝尔物理学奖的科学家，并简要介绍他们在量子力学建立过程中的贡献。

[武汉大学2015研]
【解题的思路】
在量子力学的学习过程中，对量子力学的发展史的了解是必要的，在了解这些历史的过程中，也可以加深对量子力学的理解。

【分析】
普朗克：引入量子的概念，提出的黑体辐射公式很好的解决了黑体辐射问题；薛定谔：建立薛定谔波动方程；
海森堡：矩阵力学；
泡利：泡利不相容原理。

【拓展发散】
了解一些量子力学发展过程中重要的实验，比如戴维孙-革末
（Davisson-Germer）实验、斯特恩-格拉赫（Stern-Gerlach）实验。

39一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数并给出能量简并度：（1）转子绕一固定轴转动；
（2）转子绕一固定点转动。

[武汉大学2015研] 【解题的思路】
对于定态问题，直接使用定态薛定谔方程，结合波函数满足的性质，就可以求解本征能量和波函数，根据本征值和波函数对应的数量关系就可以判断简并度的问题。

【分析】
（1）设固定轴沿z轴方向，选择球坐标系，则体系的哈密顿算符为
对应的定态薛定谔方程为
即
其中
m2＝2IE/（ħ2）
求解可得
f（φ）＝Ae imφ
考虑到波函数的单值性，则
f （φ＋2π）＝f （φ）
即
e im （φ＋2π）＝e im φ
则
e i2m π＝1
从而得到
m ＝0，±1，±2，…
因此，转子的定态能量
E m ＝m 2ħ2/（2I ）（m ＝0，±1，±2，…）
利用归一化条件得
转子体系的波函数为
当m ＝0时，能量非简并；
当m ≠0时，＋/－m 对应相同的能量，不同的波函数，则能量简并度为2。

（2）取固定点为坐标原点，转子的哈密顿算符为
H ∧＝L ∧
2/（2I ）
由定态薛定谔方程可得
即
L ∧
2Y （θ，φ）＝2IEY （θ，φ）
式中，Y （θ，φ）设为H ∧
的本征函数，E 为其本征值。

令2IE ＝λħ2，则有
L ∧
2Y （θ，φ）＝λħ2Y （θ，φ）
此即为角动量L ∧
2的本征方程，其本征值为
其本征函数为球谐函数
所以转子的定态能量为
对于任一个l ，m 的取值有2l ＋1个，所以能量简并度为2l ＋1。

【知识储备】 ①定态薛定谔方程
②波函数必须满足的三个基本条件
有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；
单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种； 连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

40中心力场中高能散射振幅及微分截面。

[复旦大学2012研]
【解题的思路】
对于量子力学中散射问题，首先根据所给条件判断是高能散射还是低能散射，据此使用分波法或者玻恩近似。

【分析】
根据题意，直接使用玻恩近似 散射振幅为
相应的微分散射截面为
【知识储备】 ①玻恩近似法 a ．适用条件
（高能散射）
b ．微分散射截面
其中，U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k →
分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。

②分波法 微分散射截面
第l个分波的散射截面
总散射截面
适用范围：适用于低能散射情形，l≥ka的分波的散射截面可略去。

4。