三角函数值域的求法

例谈三角函数值域（最值）的几种求法

南县一中 肖胜军

有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、 合理转化，利用有界性求值域

例1、求下列函数的值域：

（1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3

cos 3

x y x -=

+

（3）2

2

sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()

44

y x x π

π

=+++解析：（1）根据11sin cos sin 222x x x ≤

≤可知：13

22

y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y +=

-，由cos 1x ≤可得：1

22

y -≤≤-

(3) 原函数解析式可化为：2

1sin 22cos 2sin 2cos 22)4

y x x x x x π

=++=++=+

可得：

22y -≤≤+

（4）根据sin cos )a x b x x φ⎡+=+∈⎣可得：55y -≤≤

二、单调性开路，定义回归

例2、求下列函数的值域：

（1）y =

（2）y =

（3）2cos ,63y x x x ππ⎛⎫

⎡⎤=+∈ ⎪⎢

⎥⎣⎦⎝⎭

（4）y =

1sin 022

x ≤≤≤≤解析：（1）由-1知：

1sin 1,cos1cos sin 1

2

2

x x π

π

≤-≤≤≤

≤≤≤≤（2）由-

有（）125sin()663366

x x x ππππππ

+≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2

[](4)0,2y ==

三、 抓住结构特征，巧用均值不等式

2222min 9sin 4

30,()sin 0sin 0,4()9sin 12

sin 44

9sin sin ()12

sin 9

x x x f x x x

x x x f x x x x x x x x x f x x x ππ+<<=<<>=+≥====例、若求的最小值

解析：由得：根据均值不等式：

当即时， 例4、sin cos(),sin β

αβαββα

=+已知其中、为锐角，求tan 的最大值 [][

]2

2sin sin ()sin()cos cos()sin sin cos()sin()cos 2sin cos(),tan()2tan tan()tan tan 1tan tan ()1

1tan tan()12tan 42tan tan 112tan tan tan 2βαβααβααβαααβαβαααβαβααβαα

βαβαααβα

αα

ααα=+-=+-+=++=++=+-=+-=

==≤++++==解析：由即有于是：当

即

时，有max

tan 4

β=（）

四、易元变换，整体思想求解

5sin cos sin cos y x x x x =++例、求函数的值域

222

11)sin 2)12sin ()424241

sin ())442

sin()1

42y x x x x x x x ππππππ⎡⎤=++=+--+⎢⎥

⎣⎦

=+++-

⎡=++-⎢⎣

⎦解法一：

max 1

sin()142

x y π+==当

时，2

22max 1sin cos ),sin cos 42

11

(1)122

1

,2

t x x t t x x x t y t t t y π

-⎡+==+∈=⎣-⎡∴=+=+-∈⎣==解法二：设，则，t 故当有

2222222

2

2

max sin ,cos ,sin cos 2,sin cos 1

sin cos 1,2221

sin cos sin cos 222,,2221

22

x m n x m n x x m x x m n x m n m y x x x x m m n m m m m y =+=-+==-⎡+=+=∈-⎢⎣⎦

⎡∴=++=+-=+-∈-⎢⎣⎦

=

=解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当

五、方程架桥，问题转化

()()[]

221sin 3sin 62sin sin (4)sin 320sin ,1

32011x x y x

x y x y t x t t y ++=

++-+-==≤∴++-=-例：求函数的最大值、最小值。

解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件： 原函数解析式转化为： 令则t 在，上有解,故有：2(4)4411

2(1)0(1)0

y y f f ∆=--≥--≤-≤-≥≥（3-2y ）0

或(1)(1)0f f -≤

8

03

y ≤≤解得：

六、运用模型、数形结合

22sin 82cos 13830x

y x

k k -=

-=-+=⎣⎦

例：求函数的值域。

解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：