归一问题 2

归一问题
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。

问：48秒钟可以放映多少张片子？
例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：需要增加同样的卡车多少辆？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。

由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。

问：每天要工作几小时？
例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。

由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。

问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。

结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。

问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。

供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。

问：这些煤共可以供暖多少天？
筑路队修一条36千米长的路，15天修了4500米，以后加快速度每天多修75米，这条路共修多少天？
织布厂要织布3600米，先用5台织布机8小时可以织布960米，如果再增加17台织布机，几小时就能将余下的任务完成？
一个果园请人帮忙摘桃子，4个人3个小时共摘桃子600千克，照这样计算，5个人8小时可以摘多少千克桃子？
分析：这种题一般的解法就是要先要计算出一个人一小时能摘多少桃子，然后再算5个人8小时可以摘多少桃子。

列式就是：
600÷4÷3×5×8=2000（千克）
当然如果题目凑巧，就可以很简单地算。

比如：
例2、一个果园请人帮忙摘桃子，4个人3个小时共摘桃子600千克，照这样计算，8个人6小时可以摘多少千克桃子？
这道题就不必要用上面的方法，人数是例题1中人数的2倍，工作时间也是例题1中的2倍，那么摘的桃子就是例题1中的2乘2倍，也就是4倍，算式可以这样列：
8×6÷4÷3×600=2400（千克）
当然例1也可以这样用这样的方法算。

这种方法有个名字，叫倍比法。

其他的题就是从基本题中衍生出来的题目，也没有什么难的，就是缺了里边的一个量，让你去算，比如下面的例3。

例3：2台拖拉机4小时耕地96亩，照这样计算，4台拖拉机耕地240亩，需要几小时？
240÷（96÷4÷2×4）
=240÷48
=5（小时)
答：4台拖拉机耕地240亩，需要5小时。

归一问题练习题：
1、一个人骑自行车3小时行36千米，从家到达目的地共有48千米。

需要几小时？
2、用火车运一批钢材，28节车厢共运840吨，照这样计算，50节车厢可运钢材多少吨？
3.一台拖拉机4小时耕地480公亩，照这样计算，12小时可耕地多少公亩？
4.有4台造纸机15分钟生产了16200米纸，照这样计算，3台造纸机2小时可生产多少米纸？
5、15头牛4天吃了1260千克草，照这样计算，30头牛10天吃草多少千克？
6、4辆汽车5小时共运土石400方，现有10辆同样的汽车，要运1000方土石，需几次？
7、服装厂承做一批服装，30个人每天工作9小时，40天可完成，后来调走5人，如果要提前4天完成任务
，求每天应工作几小时？
8、一件工作12人每天工作8小时需要10天，照这样计算，如果增加8人，每天减少2小时，可以提前几天
完成？
9、一个部队预计由50个战士用16天挖一条沟，挖了4天后又增加25名战士，每个战士的工作效率相同，
可提前几天完成？
10、工厂计划做4320个机器零件，18个工人工作8小时完成了计划的一半，其余的如果在4小时内完成需
要多少工人?
4、某纺织厂有32台织布机，10天可织布4万米，后来改进操作规程，每台织布机每天多织5米，照这样的速度生产，如果该纺织厂又增加同样的织布机4台，20天可织布多少万米？
5、例2 某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？
6、例3 某农场收割麦子，计划18人每天6小时15天收割完，后来为了加快速度，实际每天增加了9人，并且工作时间增加了2小时，实际比原计划提前了几天完成这项任务？
：“50千克黄豆可以榨豆油5千克，照这样计算，生产豆油114千克，需要黄豆多少千克？”摘录条件和问题
先锋小学买了2张桌子，5把椅子共付220元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍。

求每张桌子，每把椅子各多少钱、？
：1.（归一问题）工程队计划用60人5天修好一条长4800米的公路，实际上增加了20人，每人每天比计划多修了4米，实际修完这条路少用了几天？
2.（相遇问题）甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车距中点40千米处相遇。

东西两地相距多少千米？
3.（追及问题）大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时
行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车？
4.（过桥问题）列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。

已知列车的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米？
5.（错车问题）一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。

如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒。

客车的速度和货车的速度分别是多少？
6.（行船问题）客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点还有6千米。

已知客轮在静水中的速度是每小时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24千米。

求水流速度是多少？
7.（和倍问题）小李有邮票30枚，小刘有邮票15枚，小刘把邮票给小李多少枚后，小李的邮票枚数是小刘的8倍？
8.（差倍问题）同学们为希望工程捐款，六年级捐款数是二年级的3倍，如果从六年级捐款钱数中取出160元放入二年级，那么六年级的捐款钱数比二年级多40元，两个年级分别捐款多少元？
9.（和差问题）一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层还比下层多4本，上下层各放书多少本？
10.（周期问题）2006年7月1日是星期六，求10月1日是星期几？
11.（鸡兔同笼问题）小丽买回0.8元一本和0.4元一本的练习本共50本，付出人民币32元。

0.8元一本的练习本有多少本？
12.（年龄问题）5年前父亲的年龄是儿子的7倍。

15年后父亲的年龄是儿子的二倍，父亲和儿子今年各是多少岁？
13.（盈亏问题）王老师发笔记本给学生们，每人6本则剩下41本，每人8本则差29本。

求有多少个学生？有多少个笔记本？
14.（还原问题）便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果。

求水果店里原来一共有多少个芒果？
15.（置换问题）学校买回6张桌子和6把椅子共用去192元。

已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各是多少元？
16.（最佳安排）烤面包的架子上一次最多只能烤两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？
17.（油和桶问题）一桶油连桶共重18千克，用去油的一半后，连桶还重9.75千克，原有油多少千克？桶重多少千克？
⒙（和倍）青青农场一共养鸡、鸭、鹅共12100只，鸭的只数是鸡的2倍，鹅的只数是鸭的4倍，问鸡、鸭、鹅各有多少只？
19. （鸡兔同笼）实验小学举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分，共有12道题，小旺得了84分，小旺做错了几道题？
20. （相遇问题）甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行，甲每分钟行55米，乙每分钟行45米，如果一只狗与甲同时同向而行，每分钟行120米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲再向乙跑去。

这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，狗共行了多少米？
10|评论
1.某制帽厂原来5人10天生产草帽900顶,现在人数增加了15人,要生产3600顶草帽,需要多少天?
2.四(1)班有37人,王老师给第一排6个同学发了24本软面抄,照这样计算,王老师发现发给全班同学后还多2本,王老师带了多少软面抄?
3.小明和小华4分钟共打字720个,现在2人同时打字,在相同时间内,小明打字490个,小华打字410个,问小明和小华每分钟各打字多少个?
4.3台抽水机8小时灌溉水田8公顷,照这样的速度,5台抽水机36小时可以灌溉水田多少公顷? 要列式计算!!!!!!!
某工程队预计用20人14天挖好一条水渠，挖了2天后，又增加20人，每人的工作效率相同，可以提起几天完成？
【解析】：
把一个人一天的工作量看作一份，根据已知条件，先直接求出：
工作总量：20×14=280（份）；
已经完成的工作量：20×2=40（份）；
现有人数：20+20=40（人）。

再求出实际工作天数：2+（280-40）÷40=8（天）。

所以，可以提前：14-8=6（天）。

《奥赛天天练》第20讲，巩固训练，习题2
【题目】：
某食堂存有16个人可吃15天的大米，16人吃了5天后，走了6人，余下的大米还可以吃多少天？
【解析】：
食堂里大米的总量是一定的。

把一个人一天吃的大米看作一份，共有大米：16×15=240（份）；
16人5天吃了：16×5=80（份）；
还剩下大米：240-80=160（份）；
还剩下人数：16-6=10（人）；
还可以吃的天数：160÷10=16（天）。

综合算式：（16×15-16×5）÷（16-6）
=（240-80）÷10
=160÷10
=16（天）
所以，余下的大米还可以吃16天。

《奥赛天天练》第20讲，拓展提高，习题1
【题目】：
12名同学合租一辆汽车去公园玩，租车费由大家分摊，临上车时又增加了3名同学，这样租车费就由15人平摊。

因此原理的12个人每人比原计划少出了1元钱。

租车费是多少元？
【解析】：
解题的关键是：“12人每人比原计划少出了1元钱”，共少了12元，这12元也就是增加的3名同学付的车费。

所以，实际平均每人付出车费：12÷3=4（元）。

所以，租车费是：15×4=60（元）。

《奥赛天天练》第20讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙、丙三人合买了11根火腿肠，平分着吃。

甲没带钱，乙就付了6根的钱，丙付了5根的钱。

第二天，甲带来了他应付的5元5角。

问乙和丙各应收回多少钱？
【解析】：
火腿肠三人平分着吃，三人应该付出同样多的钱，所以11根火腿肠的总钱数是：5元5角=55角；
55×3=165（角）。

则每根火腿肠的价格为：165÷11=15（角）。

乙应收回钱数为：6×15-55=35（角）。

丙应收回钱数为：5×15-55=20（角）。

《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习2
【题目】：
一批货物，用甲车运恰好24次运完，用乙车运恰好15次运完。

已知乙车比甲车每次多运3吨，这批货物有多少吨？
【解析】：
这批货物的总量是一定的。

“乙车比甲车每次多运3吨”，则乙车15次比甲车15次多运了15个3吨，即45吨，所以甲车运了15次后还剩下45吨货物。

甲车比乙车要多运（24-15=）9次正好运完，即甲车9次正好运了45吨货物，甲车每次运货物：15×3÷（24-15）=5（吨）。

所以这批货物总量为：24×5=120（吨）。

《奥赛天天练》第21讲，巩固训练，习题1
【题目】：
筑路队原计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑路80米，这样在规定完成全路修筑任务的前3天，就只剩下1120米没有筑完成，问这条路全长多少米？【解析】：
把计划修路时间分为两段：最后三天（即完成全部修筑任务的前3天）和之前的一段时间。

解法一：
按照原计划，最后3天应该剩下任务：720×3=2160（米），实际只剩下112 0米，可以推导出，在之前的一段时间里，实际比计划多修了：2160-1120=1040（米）。

“实际每天比原计划多筑路80米” ，则之前的一段时间为：1040÷80=13（天）。

这条路全长：720×（13+3）=11520（米）。

解法二：
按照实际修路效率，后3天还能修路：（720+80）×3=2400（米）。

则在计划时间内，实际比计划就多修了：2400-1120=1280（米）。

又因为“实际每天比原计划多筑路80米” ，可算出计划时间为：
1280÷80=16（天）。

这条路全长：720×16=11520（米）。

例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：需要增加同样的卡车多少辆？
分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
420÷12÷5＝7（辆）。

（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。

综合列式为
专题分析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。

也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。

入门题：某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
解：求出参加了美术或音乐小组的人数，用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。

根据排除法，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋23- 5＝30(人)。

所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。

综合列式为
46- ( 12＋23- 5)＝16(人)。

芳草地小学四年级有68人学钢琴，48人学画画，42人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析
依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人?
100-(62+34-11)=15
六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
答：两组都参加的有5人。

六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7
人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

（人）
（人）
答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

（人）
答：这个年级参加课外小组的有60人。

2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。

只懂日语的有多少名？
3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。

全班有多少人？
4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？
5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？
1、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。

求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？
2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？
3、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两
题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答的不对？
4、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
5、在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？
（5的倍数：100÷5＝20；6的倍数：100÷6＝16……4；5、6的公倍数：100÷（5×6）＝3……10；100―20―16＋3＝57（个）
6、光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
练习题：
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。

这个文艺组一共有多少人？
2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？
3、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？
4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
5、六（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的图画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅？
备选题：
1、五年级有22名学生参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？
2、五（一）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么有多少人两个小组都没有参加？
3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
4、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？
5、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。

这两队都没有参加的有10人。

请计算这个班共有多少人？
6、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是8的倍数的数有多少个？
7、五（一）班做广播操，全班排成4行，每行的人数都相等。

小华排的位置是：从前面数是第5个，从后面数是第8个。

这个班共有多少名学生？
8、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其它年级参展的作品共有多少件？
9、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
两个边长分别为5厘米，3厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为1平方厘米。

求这个图所能覆盖的面积。

【解析】：
先求出两个正方形的面积，分别是：5×5=25（平方厘米）；3×3=9（平方厘米）。

根据容斥原理一，可得所求覆盖面积为：25+9-1=33（平方厘米）。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题1
【题目】：
在一次校运动会上，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班有多少人？
【解析】：
先画出参赛情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A
所在的椭圆表示参加田赛的人数15人；字母B所在的椭圆表示参加径赛的人数1 2人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田赛又参加径赛的人数7人；字母D所在的空白部分表示没有参加比赛的人数21人。

根据容斥原理一，可求出参赛总人数为：15+12-7=20（人）。

全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和：20+21=41（人）。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题2
【题目】：
有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的。

若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有多少人？
【解析】：
根据题意，如果有人既没穿红上衣，又没穿黑裤子，就一定是穿了蓝上衣白裤子，即穿蓝上衣白裤子的人数就是既没穿红上衣又没穿黑裤子的学生总数。

所以穿黑裤子或红上衣或两样都穿的学生总数为：50-14=36（人）。

其中有31人穿了黑裤子，有18人穿了红上衣，，那么穿红上衣黑裤子的学生就是前面两类学生的重叠部分，人数为：
31+18-36=13（人）。

《奥赛天天练》26讲，拓展提高，习题1
【题目】：
在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？【解析】：
①100÷5=20；
②100÷6=16……4；
③100÷（5×6）
=100÷30
=3 (10)
1到100的全部自然数中，5的倍数有20个，6的倍数有16个，有3个数既是5的倍数又是6的倍数（既是5的倍数又是6的倍数的数最小是30，则所有30的倍数也就是既是5的倍数又是6的倍数的数）。

则1到100的全部自然数中，是6的倍数和5的倍数的数总共有：20+16-3=33（个）。

所以既不是6的倍数又不是5的倍数的数有：100-33=67（个）。

《奥赛天天练》第26讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一批外国旅游者，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人这两种语言都听不懂。

这批旅游者一共有多少人？【解析】：
这道题与前面的“巩固训练，习题1”相似，可以画出与上题相似的示意图，先求出会说英语、法语的这两类人的总数：88+60-40=108（人）。

把前两类人的总数加上两种语言都不会说的人数，求出这批旅游者的总人数为：
108+16=124（人）。