椭圆中与面积有关的取值范围问题专题

椭圆中与面积有关的取值范围问题专题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

椭圆中与面积有关的取值范围问题

范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量

例题：如图，已知椭圆C ：x 2

a

2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为

x ＝－2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．

变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2

2＋y 2

＝1，点A 是椭圆上异于长轴端

点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．

变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 2

4＋y 2

＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx

＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.

(1)求OQ

OP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．

串讲1如图，已知椭圆C ：x 2

2＋y 2

＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线

x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，

S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1

S 2

的最大值．

串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2，F 是椭圆E 的

右焦点，直线AF 的斜率为23

3

，O 为坐标原点．

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 2

4＋y 2

＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交

于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．

(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y

2

b 2＝1(a ＞b ＞

0)的离心率为

2

2

，两条准线之间的距离为4 2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2

＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，

且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．

答案：(1)x 2

4＋y

2

2

＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.

解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a

2

c ＝42，2分

解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 2

4＋y

2

2＝分

(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 2

4＋y

2

2＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，

所以x 0

2

＋y 02

＝89，①（2x 0＋2）2

4＋（2y 0）

2

2

＝1，②10分

由①②，得9x 02

－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．

把x 0＝－23代入①，得y 0＝±2

3

，12分

所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±1

2

(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分

解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分

设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，

y ＝k （x ＋2），

得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2

－4＝0，

所以(x ＋2)[(1＋2k 2

)x ＋4k 2

－2]＝0，解得x B ＝2－4k 2

1＋2k

2，8分

所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k

2

1＋2k

2，10分

y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2

，代入x 2＋y 2

＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2

1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4

＋k 2

－2＝0，12分

即(7k 2＋2)(4k 2

－1)＝0，解得k ＝±12，

因此，直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分

例题

答案：(1)x 22

＋y 2

＝1；