完全平方公式结合数学思想的常见应用

完全平方公式结合数学思想的常见应用

完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.

一、

利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.

有一类

例1 已知，求的值.21,122=-=+b a b a 4)(b a +分析：要求，直接求的值有一定的困难，因而可利用整体思4)(b a +b a ,想，设法求出，结合题目条件，只需求出值.

2)(b a +122=+b a ab 解：把两边同时平方，得2

1=

-b a 4

1222=+-b ab a 又因为，所以122=+b a 4

32=ab 即431222+=++b ab a 4

7)(2=+b a 所以.1649)(4=+b a 例3 已知，求（1）；（2）.0132=+-x x 221x x +

4

41x x +分析：观察所求代数式的特征，可由平方后整理得到.因而221x

x +x x 1+解题的关键在于利用题目条件求出代数式的值.此处，再0132=+-x x x x 1+次利用了整体思考的数学思想.

解：把两边同时除以，得

0132=+-x x x

，即.013=+

-x x 31=+x

x 把两边同时平方，得31=+x

x ，即 911222=+⋅⋅+x x x x 7122=+x

x 再把两边同时平方，得7122=+x

x ，即.491124224=+⋅⋅+x x x x 47144=+x

x 所以（1）；（2）.7122=+x x 47144=+x x 二、利用完全平方式判断三角形形状

例4 已知三角形的三边满足，请你判c b a ,,0222=---++bc ac ab c b a 断这个三角形是什么三角形.

分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.

解：由两边同时乘以2，整理可得

0222=---++bc ac ab c b a ()()()0

222222222=+-++-++-c bc b c ac a b ab a 所以()()()0

222=-+-+-c b c a b a 因为≥0，≥0，≥0()2b a -()2c a -()2

c b -所以，，()02=-b a ()02=-c a ()02

=-c b 所以 即 .

c b c a b a ===,,c b a ==所以这个三角形是等边三角形.

例5 已知是的三边长，且，判断c b a ,,ABC ∆()022222=+-++c a b c b a 的形状.

ABC ∆

分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.

解：由变形，得

()022222=+-++c a b c b a ()()0

222222=+-++-c bc b b ab a 所以()()0

22=-+-c b b a 因为≥0，≥0()2b a -()2

c b -所以，()02=-b a ()02

=-c b 所以 即 c b b a ==,c

b a ==所以是等边三角形.ABC ∆