2014年中考数学专题(考点知识梳理+典例精析+巩固训练+考点训练)复习：第32讲 与圆有关的计算

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例 2 (1)(2012· 绍兴)如图，扇形 DOE 的半径为 3，边长 为 3的菱形 OABC 的顶点 A，C，B 分别在 OD，OE，DC 上．若把扇形 DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )
1 A. 2
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B．2 2
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第32讲 与圆有关的计算
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考点一弧长、扇形的面积 1．如果弧长为 l，圆心角为 n° ，圆的半径为 r，那么弧 nπr 长的计算公式为：l＝ . 180 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图 形叫做扇形．若扇形的圆心角为 n° ，所在圆半径为 r，弧长 nπr2 1 为 l，面积为 S，则 S＝ ，或 S＝ lr. 360 2 (注：公式中的 n 表示 1° 的圆心角的倍数，所以不写单 位．)
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【解答】(1)D 连接 OB，AC，BO 与 AC 相交于点 F， 由题意知 CF 垂直平分 OB，由于 OC＝ 3，OB＝3，所以 3 OF＝ ，由三角函数得∠COF＝30° ，所以∠COA＝60° ，DE 2 60×π×3 1 的长度为： ＝π，2πr＝π，所以圆锥底面半径 r＝ ， 180 2 12 35 2 所以圆锥的高 h＝ 3 － ＝ ，故选 D. 2 2
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例 1 (1)(2012· 日照)如图，在 4×4 的正方形网格中，若 将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到△AB′C′， BB′ 的 则 长为( )
A．π
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π B. 2
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C．7π
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考点二圆柱和圆锥 1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱 的底面周长 c，宽是圆柱的母线长(或高)l，如果圆柱的底面 半径是 r，则 S 圆柱侧＝cl＝2πrl. 2．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥的底面周长 c，半径等于圆锥的母线长 l.若圆锥的底面半 1 r 径为 r，这个扇形的圆心角为 α，则 α＝ · ，S 圆锥侧＝ cl 360° l 2 2 ＝πrl，S 圆锥全＝πrl＋πr .
A．b＝ 3a 5 C．b＝ a 2
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5＋1 B．b＝ a 2 D．b＝ 2a
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【 点 拨 】 (1) 利 用 菱 形 的 性 质 及 三 角 函 数 关 系 求 出 ∠FOC，进而求出底面圆锥的周长，即可得出底面圆的半径 和母线长，再利用勾股定理即可求出． (2)首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长 求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得 a、b 之间 的关系即可．
37 C. 2
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35 D. 2
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(2)(2012· 宁波)如图，用邻边分别为 a，b(a<b)的矩形硬 纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、 两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧 面， 小圆恰好能作为底面， 从而做成两个圣诞帽(拼接处所用 材料忽略不计)，则 a 与 b 满足的关系式是( )
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D．6π
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(2)(2012· 临沂)如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 为 BC 的 中点，AB＝4，∠BED＝120° ，则图中阴影部分的面积之和 为( )
A．1
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3 B. 2
C. 3
D．2 3
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【点拨】(1)根据图示知∠BAB′ ＝45° ，所以根据弧长 nπr 公式 l＝ 求得 BB′的长； 180 (2)首先证明△ABC 是等边三角形，其次证△EDC 为等 边三角形，而 BE 和弦 BE 围成的部分的面积等于 DE 和弦 DE 围成的部分的面积．
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考点三阴影部分的面积 1．规则图形：按规则图形的面积公式求． 2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不 规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移 法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．
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πa (2)D ∵半圆的直径为 a，∴半圆的弧长为 ，∵把半 2 圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， πa a ∴设小圆的半径为 r，则 2πr＝ .解得 r＝ . 2 4 如图小圆的圆心为 B，半圆的 圆心为 C，作 BA⊥CA 于 A 点，则 a 2 b 2 2 2 2 AC ＋AB ＝BC ，即( ) ＋( ) ＝ 4 2 3a 2 ( )， 4 整理，得 b＝ 2a，故选 D.
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∴∠ABC＝∠AOD＝60° ∴OD∥BC， ， △BOE 和△EOD 均为正三角形．∵O 为 AB 的中点，∴OD 为中位线，∴OD 1 ＝ BC＝EC， AD＝DC， OD＝DE＝AD， 又 ∴EC＝DE＝DC， 2 1 1 ∴△EDC 是等边三角形， 其边长是 BC＝ AB＝2， ∵∠BOE 2 2 ＝∠EOD＝60° ，∴BE 和弦 BE 围成的部分的面积＝DE 和 3 弦 DE 围成的部分的面积．∴阴影部分的面积＝S△EDC＝ 4 ×22＝ 3.故选 C.
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【解答】(1)A
根据图示知，∠BAB′＝45° ，∴ BB′
45π×4 的长为： ＝π. 180 (2)C 如图，连接 OE，OD，AE.∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90° ，又∵∠BED＝120° ，∴∠AED＝30° ， ∴∠AOD＝2∠AED＝60° .∵OA＝OD，∴△AOD 是等 边三角形，∴∠BAC＝60° ，∵点 E 为圆上一点且为 BC 的 中点，∠AEB＝90° ，∴AB＝AC，∴△ABC 是等边三角形．