第七次作业(谓词公式类型及等值演算)
第七次作业（谓词公式类型及等值演算）
第七次作业（谓词公式类型及等值演算）一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))一. 利用代换实例判断下列公式的类型(1) (?xA(x)→?xA(x))→(??yB(y)∨?yB(y))(2) ?(?xF(x)→?xB(x))∧?xB(x)二. 利用等值演算, 求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y)三. 利用等值演算,求证??x?y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ??x?y((F(x) →G(y))∧( F(x) →? H(x,y)))。
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
离散数学作业标准答案
离散数学作业标准答案离散数学作业⼀、选择题1、下列语句中哪个是真命题（C ）。
A ．我正在说谎。
B ．如果1+2=3，那么雪是⿊⾊的。
C ．如果1+2=5，那么雪是⽩⾊的。
D ．严禁吸烟！2、设命题公式))((r q p p G →∧→=，则G 是（ C ）。
A. 恒假的B. 恒真的C. 可满⾜的D. 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ??→中的变元x （ C ）。
A ．是⾃由变元但不是约束变元 B ．既不是⾃由变元⼜不是约束变元 C ．既是⾃由变元⼜是约束变元 D ．是约束变元但不是⾃由变元4、设A={1，2，3}，则下列关系R 不是等价关系的是（C ）A ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>}B ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<2，3>，<3，2>}C ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，4>}D ．R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<1，3>，<2，3>，<2，1>，<3，1>，<3，2>} 5、设R 为实数集，映射σ=R →R ，σ（x ）= -x 2+2x-1，则σ是（ D ）。
A ．单射⽽⾮满射 B ．满射⽽⾮单射 C ．双射 D ．既不是单射，也不是满射 6、下列⼆元运算在所给的集合上不封闭的是（ D ） A. S={2x-1|x ∈Z +}，S 关于普通的乘法运算 B. S={0，1}，S 关于普通的乘法运算 C. 整数集合Z 和普通的减法运算D. S={x | x=2n ，n ∈Z +}，S 关于普通的加法运算7、*运算如下表所⽰，哪个能使（{a,b}，*）成为含⼳元半群（ D ）b a b b a a b a * b b b a a a b a * a a b a a a b a * a b b b a a b a *A B C D8、下列图中是欧拉图的是（ A ）。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
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第2章 逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算2.1 谓词演算基本概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域(domain of individuals)，常用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在我们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中常用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号∀和∃来表示，分别称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词∀表示个体域中所有（每一个）个体满足一元谓词P，用存在量词∃表示有（存在）个体满足一元谓词P，还需使用变元：∀xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x满足P(x)”，表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x满足P(x)”，表示个体域中至少有一个体满足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或者是紧邻其右侧的那个谓词；或者是其右侧第一对括号内的表达式。
谓词公式转换
谓词公式转换在咱们学习数学和逻辑的这个奇妙旅程中，有个叫谓词公式转换的家伙，时不时就出来给咱们找点小挑战。
咱先来说说啥是谓词公式。
简单讲，谓词公式就是用一些符号和规则来描述事物的性质和关系的式子。
比如说，“对于所有的 x，如果 x是偶数，那么 x 能被 2 整除”，这就是一个谓词公式。
那为啥要进行谓词公式转换呢？这就好比你有一堆乱七八糟的积木，你得把它们重新组合、排列，才能搭出你想要的城堡。
谓词公式转换也是这个道理，通过转换，能让我们更清楚地理解和解决问题。
我记得有一次，我在给学生讲谓词公式转换的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔和一张纸，给他举了个例子。
假设我们有个果园，里面有苹果树和梨树。
我们用谓词 P(x) 表示 x 是苹果树，用 Q(x) 表示 x 结的果子是甜的。
那么“有的苹果树结的果子是甜的”这个命题，用谓词公式可以写成：存在 x (P(x) 且 Q(x)) 。
那如果我们要把这个公式转换一下，比如说，转换成“存在 x (Q(x)且P(x))”，意思是不是一样的呢？这时候学生们就开始七嘴八舌地讨论起来。
经过一番思考和讨论，大家发现，这两个公式表达的其实是同一个意思，只是顺序不同罢了。
通过这个小小的例子，学生们一下子就明白了谓词公式转换的作用，那就是可以从不同的角度去描述同一个问题，让我们的思维更加灵活。
再比如说，“对于所有的 x，P(x) 蕴含Q(x)”这个谓词公式，我们可以通过等价变换，把它变成“不存在 x (P(x) 且非Q(x))”。
这种转换在解决逻辑推理问题的时候特别有用。
在实际的学习和应用中，谓词公式转换就像是一把万能钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
比如说在数学证明中，通过巧妙地转换谓词公式，可以让复杂的问题变得简单明了；在计算机编程中，正确地进行谓词公式转换，可以让程序的逻辑更加清晰，减少错误。
总之，谓词公式转换虽然看起来有点复杂和抽象，但只要我们多练习、多思考，就能掌握其中的窍门，让它成为我们学习和解决问题的得力工具。
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
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二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
谓词逻辑的等值和推理演算-SJTUCS
正确的推理形式
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推理形式
例2: 人皆有死，孔子是人，所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
例3: 若有一个又高又胖的人,则有一个高个 子而且有一个胖子.
(x)Man(x)(x)Woman(x) 要么所有人都是男人，要么所有人都是女人
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量词分配等值式(续)
回顾：约束变元改名规则
(x)(x) = (y)(y) (x)(x) = (y)(y)
变元易名后的“分配律”
(x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y)) (x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y))
步骤： 设 是任一公式，通过下述步骤可将其转化
为与之等价的前束范式： （1）消去公式中包含的联结词“”、“”； （2）反复运用摩根定律，直接将“”内移到原子
谓词公式的前端； （3）约束变元易名（如果必要的话）； （4）使用分配等值公式，将所有量词提到公式的最
前端。
14
求((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) 的前束范式。 解 （1）消去联结词“”、“”，得： ((x)(y)P(a, x, y)(x)((y)Q(y,b)R(x)))
引入新个体常项a代入x消去u时引进的个体因为与左边的y和z有关所以不能用个体常项而是用函数两者明显不等值但在不可满足的意义下两者是一致的skolem范式不保持等值24谓词逻辑的推理命题逻辑中有关推理形式重言蕴涵以及基本的推理公式的讨论和所用的术语都可引入到谓词逻辑中并可把命题逻辑的推理作为谓词逻辑的推理的一个部分来看待我们讨论谓词逻辑所特有的推理形式和基本推理公式25推理形式推理形式是指用表达推理的公式例1
§2谓词公式语义解释
由于项与变元有密切联系:由变元集和常 元集生成(自由T(1)-代数)
二、变元的指派和项解释
定理21.1:设U为P(Y)的一个解释域，0为 X→U的映射，则0可唯一扩张为I→U的 同态映射，使得(ci)=c'i。这里c'i为U中 的元素
为I→U的同态映射，对任意的fniTn和 t1,,tnI，有
在此指派下有v(p(x'))=0
例: 下述结论是否成立:{xp(x)}╞p(x) 不正确
关键是找到解释域U和项解释,使得 v(xp(x))=1,但v(p(x))=0 根据x的定义,即要求v(xp(x))=1 而v(p(x))=0
作业:P423 12(4)(5), 13,14
期中成绩说明：85分及以上：10人
称p是假设集A的后件，或称A语义蕴含p，
记 为 A╞p， 用 Con(A) 表 示 A 的 后 件 全 体 ， 即Con(A)={pP(Y)|A╞p}。
若╞p，则p就是重言式，简记为╞p。
ACon(A)
例：证明： {x(p(x)→q(x))}╞xp(x)→xq(x)
例：证明：
解释域(U, 1,2,3)简记为U， 在给定解释域U后，P(Y)中只涉及闭项的
原子公式就可视作为关于U上的命题。它 不需要经过变元的指派就可以确定命题 的真假值。
例：设P(Y)中的个体常元集C={c1,c2}， 函数词集合T(1)=，谓词集合R={R21} ， P(Y) 的 解 释 域 现 定 义 为 ： U={2 ， 3} ， 1 ( c1)=c'1=2 ， 1 ( c2)=c'2=3 ， 3 ( R21)= R'21，这里R'21表示“小于”关系。
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
谓词演算的等价式和蕴含式
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
5.谓词演算5.15.5
① 设C为真，则C1,C2, …Cn中至少有一个Ci为假， ∵ Ci ∈ S ∴ S是不可满足的
② 设C为假，则由 ~ C ~（Ci Cj） 可知： Ci，Cj中至少有一个为假
且Ci，Cj∈S ∴ S是不可满足的 证闭
(2) 命题逻辑归结 归结过程：给定公理集F（前提）和命题P（结论） ① 用子句形式表示公理集F，得到子句集S0 ② 将P的否定式～ P用子句表示，构成子句集S= S0 ∪{~P} ③ 反复利用归结方法，直到得出空子句（即矛盾式），证明结束 例：已知公理集如下
归结树：
~P∨~Q∨R
P
~Q∨R ~Q ~T
~R ~T∨Q
T
NIL
5.2.3 谓词逻辑归结 合一：寻找项对变量的置换，使表达式达到一致的过程称为合一。 项：由常量、变量和函数组成。 表达式的例：在表达式中，用置换项置换变量后得到的特定表达式。 例如：表达式 P(x, f(y), B) , 用z置换x，用w置换y，得到一个置换例
9 更换变元名称： （变元分离标准化）
（1）~ P(x1) ~ P( y) P( f (x1, y)) （2）~ P(x2) Q(x2, g(x2)) （3）~ P(x3) ~ P(g(x3))
关于公式标准化的讨论： （1）利用斯托林函数标准化得前束范式称为S_标准形。 （2） S_标准形不唯一。选择不同的斯托林函数可以得到不同的S_标准形。 （3）公式F与其S_标准形Fs在F非永假时不等价。
证毕
一个重要结论： P Q ~ Q ~ P
同理，可以得到：（C1C2） C ~ C ~（C1C2）
推论： 设C是子句Ci和Cj的归结式， 则子句集S={C1,C2, …Cn}与子句S’={C,C1,C2, …Cn} 的不可满足性是等价的 其中： Ci，Cj∈S
离散数学21.谓词演算的等价式
1. (x)P(x)(x)P(x)； 2. (x)P(x)(x)P(x). 对这两个公式可以证明如下： 证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则 (x)P(x)(P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an))
P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)(x)P(x). 类似可以证明另一个公式.
(x)P(x)表示：不是所有人都是优等生.
(x) P(x)表示：有些人不是优等生.
(x)P(x)表示：没有人是优等生.
(x)P(x)表示：所有人都不是优等生.
显然：
“不是所有人都是优等生.”与“有些人不是优等生.”是等价 的.
“没有人是优等生.”与“所有人都不是优等生.”是等价的.于 是有：
从这两个公式，可以总结出如下规律：
将量词前的“”移到量词的后边，全称量词改成存在量 词，存在量词改成全称量词;反之也要做相应改变.
4、量词作用域的扩张与收缩
在量词的作用域中，对于合取或者析取项，如果其中一个 为命题，则可将该命题移直量词辖域外.
1. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 2. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 3. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 4. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 5. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 6. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 7. B→(x)A(x)(x)(B→A(x))；
谓词演算的等价式
高等数学第二章谓词逻辑练习题
一、 选择题1．下列四个公式正确的是①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃A.①③B.①④C.③④D.②④2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( )(A) ()()P x S x ∧ (B) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )(A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃(C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀7.下列各式不正确的是( )(A) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃(D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 01 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).(A) ∃x ∀yP(x,y) (B)∀x ∀yP(x,y) (C)∀xP(x,x) (D)∀x ∃yP(x,y).9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ⋅=<：，则以下命题中（ ）是假命题.A ．),0,(x x xP ∀B ．),,(y y x yP x ∀∃C ．),,(x x y yQ x ∃∀D ．)0,(x xR ∀10. 下面不是命题的是（ ）A ．()xP x ∀B ．()()x P x ∃C ．()()()x P x P y ∀∨D ．()()(()())x y P x R y ∃∃→11公式()()()()x P x x Q x ∀→∀的前束范式为（ ）A ．()()(()())x y P x Q y ∀∀→B ．()()(()())x y P x Q y ∀∃→C ．()()(()())x y P x Q y ∃∀→D ．()()(()())x y P x Q y ∃∃→12. 公式()(())x P x Q ∀↔⇔（ ）A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∀B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∃C (()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∀D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∃13. ()()(,)x y P x y ∀∃的否定是（ ）A ．()()(,)x y P x y ∀∀⌝B ．()()(,)x y P x y ∃∀⌝C ．()()(,)x y P x y ∀∃⌝D ．()()(,)x y P x y ∃∃⌝14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ∀↓等价的是（ ）A ．()()()()x A x xB x ∀↓∀ B ．()()()()x A x x B x ∀↑∀C ．()()()()x A x x B x ∃↓∃D ．()()()()x A x x B x ∃↑∃15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ∀的有效结论，其理论依据是（ ）A ．USB ．UGC ．ESD ．EG16. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y <x ))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式二、填空题1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ()x y xy y ∀∃= ( ) (2) ()+x y x y y ∃∀= ( )(3) ()+x y x y x ∃∀= ( ) (4) (2)x y y x ∀∃= ( )2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ∀∨∧∃→∀中量词∀x 的辖域是3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ∀→∨∃→中量的自由变量为 约束变量为4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为7. 谓词公式∀x (F (x )→G (x ))∧⌝∀y (F (y )→G (y ))的类型是 ．8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则∀x (P (x )∨Q (x ))的真值是9.只用联结词,,⌝∀→表示以下公式()(()())x P x Q x ∃∧=()(()()())x P x y Q y ∃↔∀=()(()()())y x P x Q y ∀∀∨⌝=三、计算及证明1. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤ 2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．2. 说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．3. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∀⇔→∃4. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀的前束范式5. 前提：∃xF (x ), ∀x (F (x )→G (x )∧H (x ))结论：∃x (F (x )∧H (x ))6. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃．。
【精品】谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的作用域是()61
【精品】谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的作用域是()61一、选择题1. 谓词公式,x(P(x),，yR(y)),Q(x)中量词,x的作用域是()A. ,x(P(x),，yR(y))B.P(x)C. (P(x),，yR(y))D.P(x)，Q(x) 2. 谓词公式,x(P(x),，yR(y)),Q(x)中变元x是()A.自由变量B.约束变量C.既不是自由变量也不是约束变量D.既是自由变量也是约束变量3. 若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真,()，y(x+y=0) B.，y,x(x+y=0) A.,xC.,x,y(x+y=0)D.，，x，y(x+y=0) 4. 设谓词P(x):x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式，x(P(x),Q(x))在下面哪个论域中是可满足的,()A.自然数集B.整数集C.实数集D.以上均不成立 5. 设C(x):x是运动员，G(x):x是强壮的。
命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()A.，,x(C(x),，G(x))B.，,x(C(x),，G(x))C.，，x(C(x),，G(x))D.，，x(C(x),，G(x)) 6. 设A(x):x是人，B(x):x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为()A.,x(A(x),B(x))B.，，x(A(x),，B(x))C.，，x(A(x),B(x))D.，，x(A(x),，B(x)) 7. 设Z(x):x是整数，N(x):x是负数，S(x,y):y是x的平方，则“任何整数的平方非负”可表示为下述谓词公式()A.,x,y(Z(x),S(x,y),，N(y))B.,x，y(Z(x),S(x,y),，N(y))C.,x,y(Z(x),S(x,y),，N(y))D.,x(Z(x),S(x,y),，N(y))8. 令F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x比y快。
则语句“某些汽车比所有的火车慢”可表示为()A.，y(G(y),,x(F(x),H(x,y)))B.，y(G(y),,x(F(x),H(x,y)))C.,x，y(G(y),(F(x),H(x,y)))D.，y(G(y),,x(F(x),H(x,y)))9. 设个体域A={a,b}，公式,xP(x),，xS(x)在A中消去量词后应为()A.P(x),S(x)B.P(a),P(b),(S(a),S(b))C.P(a),S(b)D.P(a),P(b),S(a),S(b)10. 在谓词演算中，下列各式哪个是正确的,()A.，x,yA(x,y),,y，xA(x,y)B.，x，yA(x,y),，y，xA(x,y)C.，x,yA(x,y),,x，yA(x,y)D.,x,yA(x,y),,y,xA(x,y)11. 下列各式哪个不正确,()A.,x(P(x),Q(x)),,xP(x),,xQ(x)B.,x(P(x),Q(x)),,xP(x),,xQ(x)C.，x(P(x),Q(x)),，xP(x),，xQ(x)D.,xP(x),Q),,xP(x),Q12. 下面谓词公式哪个是前束范式,()A.,x,y，z(B(x,y),A(z))B.，,x，yB(x,y)C.，x,y,x(A(x,y),B(x,y))D.,x(A(x,y),，yB(y))在谓词演算中:P(a)是,xP(x)的有效结论，其理论根据是() 13.A.全称规定规则(US)B.全称推广规则(UG)C.存在规定规则(ES)D.存在推广规则(EG)二、填空题1. 令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。
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一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))
一. 利用代换实例判断下列公式的类型
(1) (∀xA(x)→∀xA(x))→(⌝∃yB(y)∨∃yB(y))
(2) ⌝(∀xF(x)→∃xB(x))∧∃xB(x)
二. 利用等值演算, 求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
三. 利用等值演算,
求证⌝∃x∀y(F(x) ∧(G(y) →H(x,y))) ⇔∀x∃y((F(x) →G(y))∧( F(x) →⌝ H(x,y)))。