13.4 最短路径问题例题与讲解
最短路径问题PPT课件
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实 际问题
(完整版)最短路径习题
13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。
BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。
13.4最短路径问题5--造桥选址型
13.4最短路径问题5--造桥选址型一．【知识要点】2.方法：①“异侧两点两线定长线段，先平移再连接，用交点作定长线段，顺次连接即为所求”；②“同侧两点一线定长线段，先平移任一点，再对称另一点，后连接两对应点，用交点作定长线段，顺次连接即为所求”。
二．【经典例题】1．(平移变换与最短路径) 如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?在下图中画出路径,不写画法但要说明理由.(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)【问题 1】“造桥选址”作法作图原理直线m∥ n，在m、n，上分别求点M、N，使MN ⊥m，且AM+MN+BN的值最小。
将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥ m于M .两点之间线段最短．AM+MN+BN 的最小值为A＇B+MN．【问题 2】作法作图原理在直线l上求两点M、N（M 在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小 .将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN 的最小值为A＇＇B+MN．2.已知直线上，线段CD的长度是固定的，且线段CD在直线上左右滑动，（1）若点A，B为直线l异侧的两个点，试确定CD的位置，使得A→C→D→B的路程最短.（2）若点A，B为直线l同侧的两个点，试确定CD的位置，使得A→C→D→B的路程最短.3．涪城护城河在 CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？三．【题库】【A】【B 】【C 】【D 】1.（1）已知直线的同侧有A ，B 两点，要在直线上确定一点P ，使PA +PB 的值最小。
小明同学的做法如图：①作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA +PB =A ′P +PB =A ′B ，由“两点之间，线段最短”可知，点P 即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由。
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
人教版八年级上数学知识点13.4 课堂学习 最短路径问题
1、如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）A．50B．50C．50﹣50D．50+50D过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．MK=40+10=50，作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．∵LN=AS==40．∴KN=60+40=100．∴MN==50．∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．∴四边形PABQ的周长=50+50．故选D．2、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，0）C作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P 到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B 的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可．解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（﹣2，4），∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入得：，解得：k=1，b=﹣2，∴y=x﹣2，把y=0代入得：0=x﹣2，x=2，即P的坐标是（2，0），故选C．3、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数��（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°C过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性��求出∠ACM，即可求出答案．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．4、如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（）A．B． 6C．D．D根据题意画出符合条件的图形，求出OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等边三角形DOE，求出DE=，求出△PMN的周长=DE，即可求出答案．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD=OP，PM=DM，同理OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°，∵OD=OE=，∴△DOE是等边三角形，∴DE=，即△PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=，故选D．5、已知两点M（3，5），N（1，﹣1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（）A．（，﹣4）B．（，0）C．（，0）D．（，0）C若PM+PN最短，则M、P、N三点共线，根据M、N的坐标，求出MN的解析式，再求出与x轴的交点即可．解：∵PM+PN最短，∴M、P、N三点共线，∵M（3，5），N（1，﹣1），∴设解析式为y=kx+b，把M（3，5），N（1，﹣1）分别代入解析式得，，解得，其解析式为y=3x﹣4．当y=0时，x=．故P点坐标为（，0）．故选C．6、已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30°B．45°C．60°D．90°A设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=2可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，∴OC=OD=CD=2，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选A．7、直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．D利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．8、已知两点A（3，2）和B（1，﹣2），点P在y轴上且使AP+BP最短，则点P的坐标是（）A．（0，﹣）B．（0，）C．（0，﹣1）D．（0，﹣）C根据已知条件和“两点间线段最短”，可知P点是“其中一点关于y轴的对称点与另一点的连线和y 轴的交点”．解：根据已知条件，点A关于y轴的对称点A′为（﹣3，2）．设过A′B的解析式为y=kx+b，则﹣3k+b=2；k+b=﹣2．解得k=﹣1，b=﹣1那么此函数解析式为y=﹣x﹣1．与y轴的交点是（0，﹣1），此点就是所求的点P．故选C．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF= ____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．2；2+2（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．解：（1）∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，∴EF为△ABC的中位线，∵BC=4，∴EF=BC=×4=2；（2）延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，∵∠C=90°，∴∠EFC=90°，FC=PC=AC=2，∵在Rt△EFP中，EP===2，∴△EDF的周长为：EF+FD+ED=2+ED+PD=2+EP=2+2，故答案为：2；2+2．10、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是________．2分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．解：如图所示：∵点C的坐标为（m， m）（m为非负数），∴点C的坐标所在直线为y=x，点A关于直线y=x的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y=﹣x+b，把点A的坐标（ 2，0 ）代入得﹣×2+b=0，解得b=．故AA′所在直线为y=﹣x．联立C的坐标所在直线和AA′所在直线可得，解得，∴C的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M的坐标为（，），∴点A关于直线y=x的对称点的坐标为（﹣1，），∴A′B===2，即CA+CB的最小值．故答案为：2．11、如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD 和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．4从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．12、如图，锐角三角形ABC中，∠C=45°，N为BC上一点，NC=5，BN=2，M为边AC上的一个动点，则BM+MN的最小值是_____．先作点N关于AC的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知N′C=NC=5，∠BCN′=90°，再利用勾股定理即可求出BN′的长．解：如图所示，先作点N关于AC的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知N′C=NC=5，∠ACB=∠ACN′=45°，即∠BCN′=90°，在Rt△BCN′中，BN′===．故答案为：．13、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于_____米．7当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以当ABP在同一直线上时，PA与PB之差最大=AB=7．解：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、B、P在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：7．14、如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD 的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，∴CN===，∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥，即CF+EF的最小值是，故答案为：．15、如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是___．2要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，∴CE=2cm，∴BE==2，∴PA+PE的最小值是2．故答案为：2．16、已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走_____米．1300在CD边上找一点M，使AM和BM的和最小，延长BD到E点，使BD=DE，连接AE交CD边于点M，过点E作EN⊥AC于点N，则AE为所求的长即牧童最少要走的距离．解：点B关于CD的对称点E，由对称的性质可知，BD=ED，∠EDM=∠MDB，DM=DM，∴△MDE≌△MDB，∴BM=ME，BM+AM=ME+AM=AE，即AE为牧童要走的最短路程．∵EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米，∴在Rt△ANE中，AE===1300米．故牧童至少要走1300米．17、如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD=6，AB=5，CD=3，P是线段AD上的一个动点，设AP=x，DP=y，，则a的最小值是______．10首先确定当BPC三点在同一直线时，a的值最小．然后根据相似三角形的性质计算．解：由题意可得，当BPC三点在同一直线时，a的值最小．则△ABP∽△DCP，x=，y=，则a的最小值是10．18、已知如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．100°作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2=180°﹣∠MON=180°﹣40°=140°，∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°﹣∠P1PP2=40°，∴∠APB=140°﹣40°=100°．故答案为：100°．19、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_____．首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′==．故答案为：．20、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）解：沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，∵ET+TR+FR＞EF，∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，即沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线．作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．21、已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．解：（1）分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A′、B′、C′，分别连接各点即可；（2）先找出C先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，则点p即为所求点．22、如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）解：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN=PN′，故PN+PM=MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′+MN．作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．23、作图题：（写出作法，保留作图痕迹）M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？作法：（1）作M关于BC的对称点M’（2）连接M’N交BC于P点（3）连线MP，则△PMN周长最小 P为所求作的点．由于△PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，故只需在BC上找一点P，使PM+PN最小．如果设M关于BC的对称点为M，使PM，+PN最小．24、已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．解：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N′，连接MN′，与y轴交点为所求的点P，∵N（1，﹣1），∴N′（﹣1，﹣1），设直线MN′的解析式为y=kx+b，把M（3，2），N′（﹣1，﹣1）代入得：，解得，所以y=x﹣，令x=0，求得y=﹣，则点P坐标为（0，﹣）．找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短．根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x=0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．25、已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP=∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．解：（1）如图所示．画法：①作点M关于射线OP的对称点M'，②连接M'N交OP于点A．③作点N关于射线OQ的对称点N'，④连接N'M交OQ于点B．（2）答：AM+AN与BM+BN的大小关系是：AM+AN=BM+BN．（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；（2）关键轴对称性质求出即可．26、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）解：如图作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求27、已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．解：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N′，连接MN′，与y轴交点为所求的点P，∵N（1，﹣1），∴N′（﹣1，﹣1），设直线MN′的解析式为y=kx+b，把M（3，2），N′（﹣1，﹣1）代入得：，解得，所以y=x﹣，令x=0，求得y=﹣，则点P坐标为（0，﹣）．找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短．根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x=0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．教师出题相关试题库：/teacher/paper/new?source=fromwk学生查看相关知识点：/teacher/lesson/prepare?source=fromwk 寻找同班同学，自己的老师：/home/class?source=fromwk。
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》教学课件PPT初二优秀公开课
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
A
连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥
C.
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
C′ D ′
于则是四A边D形=AFDF′D, ′D为平行四边形， 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
拓广探索题
1如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点 组 成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
A 图① B
A
P
O 图②
BO
A
M
N B
图③
课堂检测
D C
AP
PA
'
E
P
C' 图①
O
F
B
图② P''
B
A M'
E
M
N
O
B F
图③ N'
课堂小结 原 理 线段公理和垂线段最短
最短路径 问题
最 短路 径 问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
《13.4 课题学习 最短路径问题》课件PPT3
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景 深入探究
情景3：造桥选址问题 如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在 何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问 题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题 有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短， 应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景 合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课件新版新人教版
2019/5/25
最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/5/25
最新中小学教学课件
11
13.4 课题学习 最短路径问题
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.两点的所有连线中, 线段 最短. 2.连接直线外一点与直线上各点的所有连线中, 垂线段 最 短.
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我 们称它们为 最短路径 问题.
2.在解决最短路径问题时,我们通常利用 轴对称 、 平移 等 变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选 择.
互动课堂理解
利用轴对称求最短路径 【例题】 如图,在△ABC中,BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D,EF垂 直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一点P使PB+PD最小,则这个最 小值为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 分析根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B 关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出 结论.
轻松尝试应用
1
2
3
1.如图,A,B两点都在直线m的同侧,画图,在直线m上取点P,使PA+PB 最小,则下列示意图正确的是( ).
关闭
D
答案123轻 Nhomakorabea尝试应用
2.在直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使得它到A,B两点 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ).
数学人教版八年级上册最短路径.4最短路径问题.ppt
数学人教版八年级上册最短路径.4最短路径问题.ppt1、最短路径问题13.4济水一中韩延军问题一：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所以泵站建在点P可使输气管线最短P问题二：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B′P作法：〔1〕作点B关于直线L的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线L相交于点P．则：点P即为所求．问题：你能用所学的学问证明AC+BC最短吗？·lB′BA·C互动释疑证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．C′由轴2、对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中AB′＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短问题2：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最短的问题。
小结：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点，即为所确定的位置.B·lA·B′C同侧异侧作对称点练习一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，3、然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？反馈拓展BAlBAlB′P将军饮马能力提升1、如图：牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最终回到营地。
请你设计一条放牧路线，使牧马人所走的总路程最短。
ab草地河●pp1●●p2MN2、如图：为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路上设卡检查，然后到公路上设卡检查，最终再到达B地执行任务。
他们如何走才能使其总路程最短？ABA′B′DC能力提升归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称等改变把已知问题转化为简单解决的问题，从而做出最短路径的选4、择。
13.4-最短路径问题例题与讲解
13.4-最短路径问题例题与讲解13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC 的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共56张ppt)
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的应用 将军饮马问题有什么特点？ 如何发现并解决将军饮马问题？
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P 在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
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13.4 课题学习最短路径问题
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
所以直线l是线段BB′的垂直平分线．
因为点C与C′在直线l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．
解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点．
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化
到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
3．利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所
连线段的和最小的问题．
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．
(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．
解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，
以大于12
AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．
(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．
【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？
思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．
解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．
4．生活中的距离最短问题
由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．
【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？。