概率论与数理统计— 独立性

n 1 r
Rc 1, R s Rc.
即附加通路可使系统可靠性增加。
' 2 R 1 ( 1 r ) r (2 r ) 3）每对并联元件的可靠性为
系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为
' ' Rs ( R ' ) n r n (2 r ) n Rc (2 r ) n . 显然 Rs Rc.
P ( B ) P ( A1 A2 A10 )
1 P ( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A10 )
1 (0.8)10 0.893.
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,
A A1 A2 A3 A4 .
L
1 3
2 4
R
第一章 概率论的基本概念
由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独 立性，得到
P( A) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 )
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 例6 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式 联结 ( 称为串并联系统) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性.
1 2 4
解 以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件第i 个元件正常工作 ,
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) , P ( B ) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件互斥但不独立.
注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
伯恩斯坦反例 例3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?
解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 1 因此 P ( A) P ( B ) P ( C ) , 2 1 又由题意知 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) , 4
解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制 ,甲最终获胜, 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7
0.36.
因为 A2 ABC ABC ABC , 得 P ( A2 ) P ( ABC ABC ABC )
P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C )
A, B 相互独立 A 与 B, A 与 B , A 与 B相互独立.
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
p p p 2p p .
2 2 4 2 4
例10
甲、乙两人进行乒乓球 比赛, 每局甲胜的
概率为 p (p 1 2) , 问对甲而言, 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有 利 . 设各局胜负相 互独立.
由于AB =Φ，所以
P AB P 0
但是，由题设
P APB 0
所以， P AB P APB
这表明，事件 A 与 B 不相互独立． 互不相容与相互独立不能同时成立。
三事件两两相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
第六节
独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解
四、小结
请同学们思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系.
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB
例如
B
AB
A
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
因此 A，B，C 不相互独立.
第一章 概率论的基本概念
射击问题
例4 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若 10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的 概率是多少?
解 设事件 Ai 为“第 i 名射手击落飞机” ,
事件 B 为“击落飞机”,
i 1,2,,10.
则 B A1 A2 A10 ,
n n ' n 2 时 , ( 2 r ) 2 r , 即 R s Rs . 由数学归纳法可证明当
第一章 概率论的基本概念
例 8 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。 设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电 器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。 解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器 接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
2 2
1 1 1 当 p 时 , p2 p1 ; 当 p 时 , p2 p1 . 2 2 2 1 故当 p 时, 对甲来说采用五局三胜 制有利 . 2 1 当 p 时, 两种赛制甲最终获胜的 概率是 2 1 相同的, 都是 . 2
四、小结
1. A, B 两事件独立 P ( AB) P ( A) P ( B )
3
以 A 表示系统正常工作.
则有 A A1 A2 A3 A4 .
由事件的独立性 , 得系统的可靠性: P ( A) P ( A1 A2 ) P ( A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为:
3 3 4 3 p2 p p (1 p) p (1 p)2 . 2 2
3
由于 p2 p1 p2 (6 p3 15 p2 12 p 3) 3 p ( p 1) (2 p 1).
第一章 概率论的基本概念
例7 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r， 0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求 下列系统的可靠性：
n 1） 2）

3）
第一章 概率论的基本概念
解：1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各 元件都正常工作，故可靠性为 Rc r n 2）通路发生故障的概率为 ，两条通路同时 n 2 ( 1 r ) . 故系统的可靠性为 发生故障的概率为 R s 1 (1 r n ) 2 r n (2 r n ) Rc (2 Rc )
三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
则 P ( A) 0.4, P ( B) 0.5, P (C ) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC ,
故得 P ( A1 ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C )
0.41.
由 A3 ABC ,
得 P ( A3 ) P ( ABC )
P ( A) P ( B ) P (C )
0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
P 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458.
故有
1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 4 , 1 P ( BC ) P ( B ) P (C ) , 4 P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 , 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
A, B , C 三个事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ). 2. 重要结论
第一章 概率论的基本概念
设事件 A 与 B 满足：
P APB 0
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
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若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．
证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故
P AB P APB 0
所以，AB
第一章 概率论的基本概念