二阶常系数非齐次线性微分方程

( −3ax − 3b + 4c ) cos 2 x − ( 3cx + 3d + 4a ) sin 2 x = x cos 2 x
(1 (2 y* = xk eλx Rm) ( x)cosωx + Rm ) ( x)sinωx
1 4 所以 a = − 3 , b = 0 , c = 0 , d = 9 于是得原方程的一个特解为 y* = − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
6
例 2 求解 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5
y
x=0
= 1, y ′
x =0
=2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 于是齐次方程的通解为 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x 由于 f ( x ) = 5e 0⋅ x , λ=0不是特征方程的根， 不是特征方程的根， 不是特征方程的根 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = A 代入方程， 代入方程，得 2 A = 5
（iii）如果λ 2 + pλ + q = 0且2λ + p = 0，即λ是特征方程的重根。 ） 是特征方程的重根。 是特征方程的重根 应是 次多项式. 次多项式 要使(3)式成立， 要使 式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式 令 式成立 Q( x) = x 2Qm ( x) 仍是比较(3)式两端的系数来确定 的系数。 仍是比较 式两端的系数来确定Qm (x) 的系数。
Q( x) = Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + L+ bm−1 x + bm
代入(3)式 代入 式，比较两端同次幂的系数即可确定bi (i = 0 ,1 ,2 L , m ),
y* = Q( x)e λ x . 进而得(1)的特解 进而得 的特解
2
2 是特征方程的单根。 是特征方程的单根 （ii）如果λ + pλ + q = 0, 且 2λ + p ≠ 0, 即λ是特征方程的单根。 ） 要使(3)成立 成立， 要使 成立， Q ' ( x ) 应是一个m 次多项式, 令 应是一个 次多项式 Q ( x ) = xQ m ( x ) 同样可以定出 Qm(x)的系数 bi (i = 0 ,1 ,2 L , m ),
的结论，对于此种类型，特解可设为： 由第一种情形及 定理 4 的结论，对于此种类型，特解可设为：
y* = xk Qm ( x)e(λ +iω) x + xk Qm ( x)e(λ −iω) x
改写为如下形式： 改写为如下形式： ′′ + py′ + qy = eλ x[ p (x) cosωx + p (x) sin ωx] y l n
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是
y"+ py'+qy = f ( x)
(1)
其中p、 是常数 是常数。 其中 、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 及 对应的齐次方程 由定理 ，只要求出 的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y = Y + y* . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 的通解 ， 即可求得 的通解 :
3
总之， 总之， 当 f ( x ) = pm ( x )e λ x 时，方程(1)具有形如 方程 具有形如
y* = xk Qm ( x)eλ x
λ不是特征根 不是特征根
y"+ py'+qy = f ( x)
的特解， 的特解， 其中 Qm (x) 是与 Pm (x) 同次 次)的多项式， 同次(m次 的多项式 的多项式， 0 其中 1 2 注： λ是特征方程的单根 是特征方程的单根 λ是特征方程的重根 是特征方程的重根
5 , 于是得原方程的一个特解为 y* = 5 所以 A = 2 2 x 2x 所求通解为 y = C1e + C2 e + 5 2
把 y
x =0
代入上式， = 1, y ′ x = 0 = 2 代入上式，得 C 1 = −5 C 2 =
2x
7 3x 5 所以原方程满足初始条件的特解为 y = −5e + e + 2 2
7
7 2
二 、 f ( x) = e [ pl ( x)cosω x + pn ( x)sinω x] 型
λx
Hale Waihona Puke eix + e−ix cos x = y′′ + py′ + qy = f1 ( x) + f2 ( x) 2 由欧拉公式： 由欧拉公式： ix −ix , sin x = e − e 2i 变为： 把 f ( x ) 变为：
f ( x ) = e λ x [ p l ( x ) cos ω x + p n ( x ) sin ω x ]
e iωx + e −iωx e iωx − e −iωx = eλx Pl + Pn 2 2i Pl Pn (λ + iω ) x Pl Pn (λ − iω ) x i e i e = − + + 2 2 2 2
k=
阶常系数非齐次线性微分方程， 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程，
是特征方程含根λ的重复次数 的重复次数， 但 k 是特征方程含根 的重复次数，即 不是特征方程的根， 若λ不是特征方程的根，k =0； 不是特征方程的根 ； 若λ是特征方程的 s 重根，k = s. 是特征方程的 重根，
= P ( x )e ( λ + iω ) x + P ( x )e ( λ − iω ) x f1 ( x) f 2 ( x)
8
Pl Pn P P 其中 P ( x ) = − i 与 P( x ) = l + n i 都是 m 次多项式， 次多项式， 2 2 2 2 m=max{ l , n }。 。 y′′ + py′ + qy = P ( x )e ( λ + iω ) x + P ( x )e ( λ − iω ) x
4
例 1 求下列方程的通解
(1) y"−2 y'−3 y = 3 x + 1; ( 2) y"−5 y'+6 y = xe 2 x .
解 （1）对应齐次方程的特征方程为 ） 所以特征根为： 所以特征根为： r1 = −1, r2 = 3
r 2 − 2r − 3 = 0
于是齐次方程的通解为： 于是齐次方程的通解为：Y = C 1 e − x + C 2 e 3 x
待定系数法来求出 。 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法 对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
λx 一 、 f ( x) = pm ( x)e 型
y " + py ' + qy = 0
其中λ 为常数，Pm ( x )是x 的一个 次多项式： 为常数， 的一个m 次多项式：
x 由于 f ( x) = e sin2x, (λ = 1,ω = 2, Pl ( x) = 0, Pn ( x) = 1, m = 0)
λ±iω=1±2i 是特征方程的根，取 ± ± 是特征方程的根，
y* = xe x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：
k = 1,
代入所给方程， 代入所给方程，得 A = − 1 , 4
B=0
1 x y* = − xe cos 2 x 于是得原方程的一个特解为 4 所求通解为 y = e x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ) − 1 xe x cos 2 x 4
11
的通解。 例 5 求方程 y' '+ y = e + cos x 的通解。
Pm ( x ) = a 0 x m + a 1 x m −1 + L + a m −1 x + a m .
1
y* = Q( x)e λ x 可能是方程 ′ 的特解 其中 λx 是某个多项式 可能是方程(1)的特解 其中Q(x)是某个多项式 的特解(其中 是某个多项式). 推测： 推测： λx ′ λx Q( x)e = Q ( x)e + λQ( x)e λx y*' = e λx [λQ ( x ) + Q ′( x )] 为了确定Q(x)，将 y* = Q ( x )e ,λx 为了确定 ， = Q′ ( x) + λQ( x) e y*′′ = e λx (λ 2 Q ( x ) + 2λQ ′( x ) + Q ′′( x ))
(
[
)
]
代入方程(1)并消去 代入方程 并消去e
λx
, 得
Q"( x) + (2λ0 p)Q'( x) + (λ 2+ 0 λ + q)Q( x) = Pm ( x) (3) p +
讨论： 讨论： （i）如果 λ 2 + pλ + q ≠ 0, 即λ不是特 征根。 要使 成立， ） 成立， 不是特 征根。 要使(3)成立 不妨设 Q(x)应是一 个m 次多项式， 应是一 次多项式，
[
]
所求通解为
y = C1 cos x + C 2 sin x − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x. 3 9