弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
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弹性力学
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
uz=0=0，vz=0=0，w=w(x, y)
挠度函数w(x, y)
§ 9.1 基本概念3
基尔霍夫
§ 9.1 基本概念4
钱伟长
§ 9.1 基本概念5
钱学森
§9.2 薄板小挠度弯曲问题的 基本方程
小挠度薄板位移解法
位移与应变
u w z , x
x
u x
2w x 2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
v w z y
§ 9.2 基本方程2
薄板应力
x
Ez
1 2
2w ( x2
2w y 2 )
y
Ez
1 2Leabharlann 2w ( y 22w x2 )
xy
Ez
1 2
2w xy
§ 9.2 基本方程2
薄板弯曲内力
D
Ed 3 12(1 2
)
薄板弯曲刚度
M
x
D(2w x 2
2w) y 2
§9.1 薄板基本概念和基本假设
工程构件中板的形式多样
根据几何形状和变形分类
板——中面为平面
壳—— 曲面 小挠度的弯曲薄板
板壳理论
薄板——宽度与厚度比值在15以上
§ 9.1 基本概念2
小挠度薄板
几何特征
1/80≤d/b≤0.5
载荷形式
垂直于薄板中面的横向载荷
变形特点
挠度小于厚度的五分之一
基尔霍夫假设
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
uz=0=0，vz=0=0，w=w(x, y)
挠度函数w(x, y)
§ 9.1 基本概念3
基尔霍夫
§ 9.1 基本概念4
钱伟长
§ 9.1 基本概念5
钱学森
§9.2 薄板小挠度弯曲问题的 基本方程
小挠度薄板位移解法
位移与应变
u w z , x
x
u x
2w x 2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
v w z y
§ 9.2 基本方程2
薄板应力
x
Ez
1 2
2w ( x2
2w y 2 )
y
Ez
1 2Leabharlann 2w ( y 22w x2 )
xy
Ez
1 2
2w xy
§ 9.2 基本方程2
薄板弯曲内力
D
Ed 3 12(1 2
)
薄板弯曲刚度
M
x
D(2w x 2
2w) y 2
§9.1 薄板基本概念和基本假设
工程构件中板的形式多样
根据几何形状和变形分类
板——中面为平面
壳—— 曲面 小挠度的弯曲薄板
板壳理论
薄板——宽度与厚度比值在15以上
§ 9.1 基本概念2
小挠度薄板
几何特征
1/80≤d/b≤0.5
载荷形式
垂直于薄板中面的横向载荷
变形特点
挠度小于厚度的五分之一
基尔霍夫假设