2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理

•一 分组法求和
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前 n 项 和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列， 可采用分组转化法求和．
【例 1】 已知等差数列an满足：a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求an的通项公式； (2)若 bn＝an＋qan(q＞0)，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析：(1)设数列an的首项为 a1，公差为 d， 则由 a5＝9，a2＋a6 ＝14，得a21a＋1＋4d6＝d＝9，14. 解得da＝1＝21.， 所以an的通项公式 an＝2n－1.
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得
其和．
(2)常见的裂项技巧
①nn1＋1＝1n－n＋1 1.
②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
• 4．错位相减法
• 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个 数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列 的前n项和公式就是用此法推导的．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时使用公式 Sn＝na12＋an较 为合理．( √ ) (2)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝a11－－aqn＋1.( √ ) (3)当 n≥2 时，n2－1 1＝n－1 1－n＋1 1.( × )
3．若数列an的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列an的前 n 项和为( C )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋… ＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝211－－22n＋2×nn2＋1－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n ＝2n＋1＋n2－2.
第五章
数列
第31讲 数列求和
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.熟练掌握等差、 等比数列的前n项和 公式．
2016，全国卷Ⅱ， 17T
2016，江苏卷，18T
利用公式求 数列的前n 项和；利用
2.掌握非等差、等比 2016，北京卷，12T 常见求和模
数列求和的几种常
型求数列的
见方法.
前n项和.
分值：5分
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
1．公式法与分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和．
①等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_2－__1__d.
②等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_，_a_1_11_－－__qq_n___q≠1. (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用 分组求和法分别求和后相加减．
• ＝3×5＝15.
5．已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝_(_n_－___1_)_·_2_n_＋__1.＋2
解析：∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2. ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋q2n－1. 当 q＞0 且 q≠1 时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－ 1)＝n2＋q11－－qq22n； 当 q＝1 时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．
百度文库
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22 －12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
(4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得．( ×)
(5)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整 数)．( √ )
解析：(1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1. (4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和． (5)正确．根据周期性可得．
2．数列an的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝(
B
)
A．9
B．99
C．10
D．100
解析：∵an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1.
∴ n＋1－1＝9，即 n＋1＝10.∴n＝99.
• 4．若数列的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则Aa1＋ a2＋a3＋…＋a10＝( )
• A．15
B．12
C．－12
D．－15
• 解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋a3＋…＋a10 • ＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28
• ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋ (－25＋28)