定积分知识点总结

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定积分知识点总结

北京航空航天大学

李权州

一、定积分定义与基本性质

1. 定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间［a,b ］上.我们在a 与b 之间插入一些分 点 a x 0 x 1 x 2 ... x n b . 而 将 该 区 间 任 意 分 为 若 干 段 . 以 || || 表 示 差 数 x i x i 1 x i (i 0,1,...,

n 1) 中最大者 .

在每个分区间 ［x i ,x i 1］ 中各取一个任意的点 x i .

x i

i

x i 1(i 0,1,...,n 1)

而做成总和

n1

f ( i ) x i

i0

然后建立这个总和的极限概念：

||

lim

|| 0

b

I f (x)dx

a

2•性质 设f(x)，g(x)在［a,b ］上可积，贝卩有下列性质 (1) 积分的保序性

bb

如果任意 x [a,b], f (x),g(x)，贝f (x)dx g(x)dx, 特别地，如果任意x ［a,b ］, f(x) 0,则f(x)dx 0

a

另用" "语言进行定义：

0，

0，在 || ||

时， 恒有

I|

则称该总和

0 时有极限 I .

总和

0时的极限即 f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为

(2)积分的线性性质

b b b

(f (x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx

a a a

b b

特别地，有cf (x)dx c f (x).

a a

设f(x)在［a,b］上可积，且连续，

(1)设c为［a,b］区间中的一个常数，则满足

b c b

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a a c

实际上，将a,b,c三点互换位置，等式仍然成立

(4)存在［a,b］，使得

f (x)dx (b a) f ()

a

二、达布定理

1.达布和

分别以m i和M i表示函数f(x)在区间［心人』里的下确界及上确界并且做总和

_ n n

S( , f) M i(X i X i 1),S( , f) m i (X i x 1)

i 1 i 1

S( ,f)称为f(x)相应于分割n的达布上和，S( ,f)称为f(x)相应于分割n的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.

回到一般情况，有上下界定义知道

m i f( i) M i

将这些不等式逐项各乘以X i( X i是正数)并依i求其总和，可以得到

S( , f) S( ,f)

推论1设f(x)在［a,b］上有界.设有两个分割，'，'是在的基础上的加密分割, 欢迎下载2

多加了k个新分店，则

S(, f) S( ', f) S( , f) k II II,

S( ,f) S( ', f) S( , f) k || ||, 这里M m,M,m分别为f在［a,b］上的上、下确界.

推论2设f(x)在［a,b］上有界.对于任意两个分割，’，有

m(b a) S( , f)S( , F) M (b a)

2. 达布定理

定义设f(x)在［a,b］上有界，定义

I inf{ S( , f) | 为［a,b］上一个分割}，

L sup{S( , f)| 为［a,b］上一个分割}。

称I为f(x)在［a,b］上的上积分，I为f(x)在［a,b］上的下积分.

定理对于f(x)在［a,b］上的有界函数，贝卩有

lim S( , f) I, lim S( , f) I.

|| || 0 || || 0一

3•函数可积分条件设f(x)在［a,b］上有界，下列命题等价：

(1) f(x)在［a,b］可积；

(2) I I;

n

(3) 对于［a,b］上的任何一个分害V , |l im0i(x i x i 1)0 ;

(4) 任给0，存在0，对于［a,b］上的任何分割，当|| || ，有

n

)

i(x X i 1

成立;

(5)任给0，在［a,b］存在一个分割，当|| ||时有

n

i(X i X i 1)

i 1

成立•

这里i M i m i为f(x)在区间［x i,x i1］上的振幅.

三、微积分基本定理

定理(Newton-Leibniz公式) 设f(x)在［a,b］上可积，且在［a,b］上有原函数F(x)，贝卩

b

f (x)dx F(b) F(a)

a

注：1.f(x)是f'x)的原函数，故当f' R(［a,b］)时，该公式可写为

b

f'(x)dx f (b) f (a)

a

2•上述定理并不是说可积函数一定有圆环数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值.

Newt on-Leib niz公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.

四、定积分的计算

除了利用Newton-Leibniz公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分.

b

1定积分中变量替换公式设要计算积分f(x)dx，这里f(x)是在区间［a,b］内连续的.

a

令x (t)，函数(t)具备下列条件：