阿基米德三角形
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明# 阿基米德三角形的奇妙世界大家好呀！今天我要给大家聊聊一个超级有趣但又有点神秘的数学概念——阿基米德三角形。
这个三角形啊，它可不是普通的三角形，而是有着特殊魔力的“魔法”三角形哦！我们得知道什么是阿基米德三角形。
简单来说，就是当一个物体完全浸没在液体中时，它所受的浮力正好等于它排开液体的重量。
而这个重量呢，就像是一把神奇的钥匙，能够打开通往宝藏的秘密通道！想象一下，当你把一块石头丢进装满水的桶里，你会发现水位会上升，但是水位上升的速度并不是一成不变的。
这是因为阿基米德定理告诉我们，物体浸入液体中的体积与它受到的浮力成正比，而浮力又跟液体的密度和物体排开液体的体积有关。
所以啊，水位上升的速度就取决于这些因素啦！再来说说阿基米德三角形吧，它其实就是描述了一个物体在液体中受到的浮力与其排开液体的重量之间的关系。
这个关系就像是一个魔法公式，能够揭示出物体在水中的行为规律。
而且你知道吗？这个公式不仅适用于水，还适用于其他各种液体哦！那么，为什么阿基米德三角形这么神奇呢？其实啊，它背后隐藏着大自然的奥秘。
想象一下，当一个物体完全浸没在液体中时，它的表面会形成一个凹面，这个凹面就像是一张巨大的“吸盘”。
而这张“吸盘”呢，正是由阿基米德三角形所决定的。
当物体受到浮力作用时，它会试图通过改变形状来适应这个力的作用，而阿基米德三角形就是这个过程中的关键所在。
不过话说回来，虽然阿基米德三角形听起来挺有趣的，但它在实际生活中却并不常用。
因为在日常生活中，我们很少会遇到需要用到阿基米德定理的情况。
而且啊，计算阿基米德三角形的过程也比较复杂，不太适合日常使用。
但别担心，阿基米德三角形的魅力可不止于此哦！它还是物理学、工程学等领域的重要基础之一呢！通过研究阿基米德三角形，我们可以更好地理解物体在水中的行为规律，从而为设计更高效的船只、桥梁等基础设施提供有力支持。
总之啊，阿基米德三角形就像是数学世界的一颗璀璨明珠，虽然它在日常生活中可能不那么常见，但它所蕴含的智慧却是无穷无尽的。
抛物线的阿基米德三角形
抛物线的阿基米德三角形1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊点数学上酷炫的东西——抛物线的阿基米德三角形。
虽然这名字听上去有点儿拗口，但别担心，我会尽量让它变得轻松易懂。
准备好了吗？那咱们就开聊吧！2. 阿基米德三角形的由来阿基米德三角形，这个名字听起来是不是有点像古老的魔法咒语？其实，它的名字是为了纪念古希腊的大数学家阿基米德。
阿基米德不仅仅是在古代数学界的超级明星，还是个真正的天才。
他研究了各种几何图形，其中就包括了抛物线。
阿基米德三角形就是他研究抛物线时发现的一个有趣的特性。
2.1 阿基米德的巧思阿基米德观察到，当你在抛物线上选择一个点，然后拉一条直线与坐标轴交点，这条直线与抛物线所围成的三角形，总是有一个神奇的性质：无论你选择哪个点，这个三角形的面积都是相同的。
简而言之，就是这个三角形的面积不受点的位置影响，都是“铁板一块”。
2.2 抛物线的妙趣横生抛物线，听着是不是有点高深莫测？其实，它就是你在做草地上的小石子抛掷实验时产生的轨迹。
抛物线在数学中有许多妙趣横生的特性，比如它的对称性和焦点的概念。
这些特性不仅能帮助我们解各种数学难题，还能在现实生活中找到应用。
3. 如何理解阿基米德三角形那么，阿基米德三角形到底有什么特别的地方呢？这就要从它的“超能力”谈起了。
你可以把它想象成一个数学界的“万能钥匙”，它可以帮助你解决很多涉及抛物线的问题。
3.1 区域稳定性比如说，咱们可以想象把一个点在抛物线上移动，无论点移动到哪里，只要它还是在那条抛物线上，那个三角形的面积始终不变。
这种“稳定性”让我们在处理抛物线相关的计算时，能够省下不少功夫。
3.2 应用场景在实际应用中，阿基米德三角形的性质可以用来设计一些工程结构，比如桥梁和抛物线形状的天线。
正是因为它的这些独特性质，才能让工程师们在面对实际问题时，更加得心应手。
4. 结语好啦，今天的分享就到这里。
希望你们对抛物线的阿基米德三角形有了更深的了解。
虽然这个概念听起来有点复杂，但它的魅力和实用性确实不容小觑。
专题12 阿基米德三角形
专题12 阿基米德三角形第一讲 阿基米德三角形与切点弦问题一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．(如果弦过定点，那么弦与两条切线交点的轨迹构成一对极点极线．)一般情况下阿基米德三角形指的抛物线阿基米德三角形，它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴．性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线． 性质3：在性质2中，抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 性质5：底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ． 性质7 ：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠． 性质8：2AF BF QF ⋅=性质9 QM 的中点P 在抛物线上，且P 点处的切线与AB 平行．【例21】（云南二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，经过l 上任意一点P 作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A 、B ． （1）求证：以AB 为直径的圆经过点P ； （2）比较AF FB 与2PF 的大小．【例22】（2005•江西）如图，设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点． （1）求APB △的重心G 的轨迹方程． （2）证明PFA PFB ∠=∠．第二讲 阿基米德三角形与面积问题【例23】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0)2E ，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【例24】（2008•山东）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，||AB =．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【例25】（2008•江西）设点00)(P x y ，，在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点1(0)M m，． （1）求证：三点A 、M 、B 共线．（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的重心G 所在曲线方程．【例26】（广州二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ． （1）求点D 的纵坐标；（2）证明：A 、B 、F 三点共线；（3）假设点D 的坐标为3(1)2-，，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【例27】(2021全国乙卷理科21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4． （1）求；（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．【例28】（2021•全国Ⅲ卷模拟）过直线上动点，作抛物线的切线、，、为切点，．（1）求抛物线方程；（2）若面积为32，求直线的斜率．2:2(0)C x py p =>F F 22:(4)1M x y ++=p P M PA PB C A B PAB∆1y =-M 22(0)x py p =>MA MB A B 90AMB ∠=︒MAB ∆AB。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！你们知道吗？这个名字来源于古希腊的伟大科学家阿基米德，他可是解决了无数难题呢！那么，阿基米德三角形到底是个啥东西呢？别着急，我们一起来揭开它的神秘面纱吧！咱们来简单介绍一下阿基米德三角形。
它是一个特殊的三角形，每条边上的三个顶点都在一个圆上。
这个圆心就是三角形的重心。
你们可能听过一个成语叫做“百折不挠”，其实就是形容阿基米德三角形的特点。
因为无论你怎么旋转这个三角形，它的形状都不会改变，永远都是一个特殊的三角形。
现在，我们来说说阿基米德三角形的一些常用结论。
第一个结论是：阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径。
这个结论有点儿难理解，我们来举个例子说明一下。
假设我们有一个阿基米德三角形ABC,其中AB=AC=3,BC=4。
我们可以用勾股定理求出这个三角形的高AD=√(AC^2-CD^2)=√5。
接下来，我们用正弦定理求出外接圆的半径R:R=√(AD^2+BD^2)/2=(√5+2)/2。
然后，我们用面积公式求出内切圆的半径r:S=1/2(BC+AC+AB)*r=1/2*9*r,解得r=(4-√5)/2。
所以，阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径，都等于(4-√5)/2。
第二个结论是：阿基米德三角形的周长等于三条边的和。
这个结论很简单，因为周长就是三条边的长度之和嘛！所以，如果我们知道一条边AB的长度，那么另外两条边的长度之和就等于AB。
这就像我们在生活中遇到的一些问题一样，只要知道了一部分信息，就能推导出其他的信息。
接下来，我们来说说阿基米德三角形的一个重要性质：当一个角的对边与另一个角的邻边成比例时，这两个角相等。
这个性质有时候在解决几何问题时非常有用。
比如，我们知道一个角的对边与另一个角的邻边成比例，那么我们就可以用正弦定理求出这两个角的大小。
具体方法是：设这两个角分别为A和B,那么根据正弦定理，有sin(A)/sin(B)=对边/邻边。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明在咱们的日常生活中，那些看似不起眼的小物件，往往隐藏着不为人知的科学秘密。
就像那个被我们经常忽略的厨房用品——锅盖，它其实是一个充满智慧的小发明，是阿基米德三角形的完美体现。
想象一下，当你打开那个老旧的锅盖时，是不是觉得里面藏着什么神秘的力量？没错，就是那个让锅盖稳稳当当站在锅边的秘密——阿基米德三角形。
这个三角形可不是普通的三角形，它是一种特殊的几何形状，它的存在让锅盖能够稳稳当当地立在锅边，就像是有魔力一样。
那么，阿基米德三角形是怎么来的呢？这还得从古希腊的哲学家阿基米德说起。
有一天，阿基米德正在研究如何让物体浮起来，他发现如果物体完全浸入液体中，它会排开等于它自身体积的液体，而这部分液体的重量则正好等于物体本身的重力。
这就是著名的阿基米德原理。
但是，要让物体完全浸入液体中，物体的底部必须与容器底面接触，这样物体才能保持平衡。
可是，如果物体太大或太小，或者容器的形状不合适，就会导致物体无法完全浸入液体中，从而无法实现阿基米德原理。
为了解决这个问题，阿基米德想到了一个巧妙的办法。
他设计了一个特殊的盖子，这个盖子的形状恰好符合阿基米德三角形的原理。
也就是说，这个盖子的三条边分别对应着正三角形、正方形和等边三角形，它们共同构成了一个完美的多边形。
当锅盖放在锅边时，它的底部正好与锅边接触，而它的三个角正好卡在锅边形成的三个小三角形里。
这样一来，锅盖就能稳稳地立在锅边，不会因为液体的流动而移动了。
当然啦，这个故事听起来有点神奇，但在实际生活中，阿基米德三角形的应用可不止于此哦！比如说，我们在做菜的时候，经常会用到各种各样的模具来制作食物，这些模具的形状就是基于阿基米德三角形的原理设计的。
还有，当我们在玩一些智力游戏时，也会遇到需要运用到阿基米德三角形的问题。
比如，有一个经典的谜语是这样的：“什么东西有头无脚，有尾无身，有眼无眉？”答案是“鞋”，因为鞋子的形状就是一个典型的阿基米德三角形。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明阿基米德的“水之舞”在古希腊，有个名叫阿基米德的家伙，他不仅长得帅，而且聪明得让人惊叹。
有一次，国王请他去鉴定一个皇冠是不是纯金做的。
阿基米德拿起皇冠，对着太阳一照，然后大喊：“陛下，这皇冠是纯金做的！”国王听了很高兴，问：“那要是皇冠是假的呢？”阿基米德微微一笑，回答说：“那就证明您是纯金做的了！”这个故事告诉我们，有时候，真理并不总是显而易见的。
就像我们在生活中，有时候需要用一些聪明的办法来解决问题。
今天，我们就来聊聊阿基米德三角形的那些事儿。
咱们得知道什么是阿基米德三角形。
这个三角形是由三条线段组成的，它们首尾相连，形成一个等腰直角三角形。
想象一下，如果我们把一根棍子竖直插入水中，棍子的两端会分别浸入水中和空气中。
这时候，棍子就像是被赋予了魔法一样，能够在水中自由地“跳舞”。
你知道吗？阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我能翘起整个地球。
”这话可不是闹着玩的，它告诉我们，有时候一个小小的想法就能改变世界。
比如说，当我们遇到难题时，如果能找到那个合适的支点，说不定就能轻松解决问题。
那么，阿基米德三角形到底有什么用呢？其实，它的用处可多了去了。
在建筑学中，建筑师们经常利用阿基米德三角形的原理来设计桥梁、大楼等结构。
而在物理学中，阿基米德三角形也有着重要的地位，它可以用来计算物体在液体中的浮力。
话说回来，我们普通人在日常生活中也能发现阿基米德三角形的影子。
比如，我们在做菜的时候，经常会用到一些工具来测量食材的长度。
这些工具其实就是阿基米德三角形的变种，它们能够帮助我们更准确地完成烹饪工作。
当然啦，阿基米德三角形也不是万能的。
有时候，它也会遇到一些麻烦。
比如，当棍子太长或者太短时，它可能就无法像在水中那样自由地“跳舞”了。
这时候，我们就需要借助其他工具或者方法来解决这个问题。
总的来说，阿基米德三角形是一个非常有趣的概念。
它不仅仅是数学上的一个定理，更是我们生活中的一种智慧。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
导数阿基米德三角形
导数阿基米德三角形阿基米德三角形（Archimedes' Triangle）与导数的关系可以从几何和物理两个角度进行深入探讨。
首先，从纯几何的角度来看，阿基米德三角形是一个与抛物线及其准线紧密相关的三角形。
假设我们有一个开口向上的抛物线，其方程为 y = ax² + bx + c（a > 0），其准线为y = -p（p 是一个常数）。
现在，如果我们在抛物线上取任意一点 A，并从这个点作垂线到准线，交准线于点 B，再从点 A 作水平线交准线于点 C，那么形成的三角形 ABC 就是阿基米德三角形。
这个三角形有一个有趣的性质：其面积等于点 A 到抛物线焦点的距离与点 A 到准线距离的乘积的一半。
即，面积 S = (AF × AB) / 2，其中 AF 是点 A 到抛物线焦点的距离，AB 是点 A 到准线的距离。
接下来，我们引入导数的概念。
在微积分中，导数描述了一个函数在某一点处的斜率。
对于抛物线 y = ax² + bx + c，其导数 y' = 2ax + b 描述了函数在任何点处的切线斜率。
现在，让我们回到阿基米德三角形。
如果我们考虑抛物线上一个微小的变化量Δx，那么对应的Δy 就是函数在这个变化量下的增量。
而Δy / Δx 就是这个微小变化下的平均斜率，当Δx 趋近于 0 时，这个平均斜率就变成了函数在该点的导数。
因此，我们可以说，阿基米德三角形的面积变化与抛物线的导数有着密切的关系。
当我们在抛物线上移动时，随着Δx 的变化，阿基米德三角形的面积也会发生变化，而这个变化率就是抛物线的导数。
从物理的角度来看，阿基米德三角形和导数的关系还可以通过抛体运动来体现。
假设我们有一个物体从一个点被抛出，其运动轨迹是一个抛物线。
那么，这个物体在任意时刻的速度、加速度等物理量都可以通过抛物线的导数来描述。
而物体在任意时刻的位置与抛出点的距离，以及这个距离随时间的变化率，都与阿基米德三角形的面积和面积的变化率有关。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 培优点11 阿基米德三角形
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章培优点11 阿基米德三角形三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行.性质3 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P .下面关于△P AB 的描述正确的是A.点P 必在抛物线的准线上B.AP ⊥PBC.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则△P AB 的面积S的最小值为D.PF ⊥AB √√√先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y ＝px＋px0.证明如下：切线方程为y0y＝px＋px0.由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，即点P 在抛物线的准线上，A 正确；所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；综上，PF⊥AB，D正确；思维升华(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB 面积的最大值.由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b).因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，所以当b＝5时，t取得最大值，t max＝5，此时k＝0，能力提升1.若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△P AB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为√A.x－2y－1＝0B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0D.2x－y－2＝0123456设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△P AB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，即x－2y－1＝0.2.我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△P AB(P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②P A⊥PB；③PF⊥A B.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米德三角形”P AB的面积为√抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，依题意，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k2＝1，即k＝±1，当k＝1时，因为△P AB为“阿基米德三角形”，则直线PF的斜率k PF＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，点P必在抛物线的准线x＝－1上，3.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△P AB的面积最大值为√方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，32232(1)k 当k ＝0时，(S △P AB )max ＝32.4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2＝2py (p >0)上有两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线P A ，PB 相交于点P .则下列结论正确的为A.若弦AB 过焦点，则△P AB 为直角三角形且∠APB＝90°B.点P 的坐标是C.弦AB 所在直线的方程为(x 1＋x 2)x －2py －x 1x 2＝0D.△P AB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)√√√联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，所以P A⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确；化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.5.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线－1的斜率为______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_____.所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，所以两切线的交点为P(0，－1)，Q处的切线分别交P A，PB于点M，N.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，由根与系数的关系得x1x2＝－2pb，设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，设点Q (x 0，y 0)，本课结束。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明导言：阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点，形成的小三角形和原大三角形的比例。
这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用，因此我们有必要深入研究它的性质和结论。
本文将通过多个结论的简单证明，来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。
一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部，连接三个顶点到相对边的中点，得到的三个边长相等的小三角形。
它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名，是一种特殊的三角形形态。
阿基米德三角形有许多重要的性质，其中最重要的包括：1）它是一个等边三角形；2）它内部的三个小三角形形成的比例是1：2。
二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1：2。
证明：设等边三角形的边长为a，那么每个小三角形的底边长为a/2，高为a乘以sin(60°)，即a*√3/2。
设三角形的底边为a，那么三个小三角形的面积可以表示为：S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1：1：1，即1：2：1。
2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆，该圆即等边三角形的外接圆。
它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是，r = a/√3。
证明：由于外接圆于三角形的三个顶点相切，所以三角形的高等于外接圆的半径。
因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。
在三角形中，高等于底边长度乘以sin(60°)，即a*√3/2。
所以外接圆的半径r等于a*√3/2，即r = a/√3。
三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。
其中包括：1、物体的密度计算在物理学中，我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。
阿基米德三角形性质及证明
阿基米德三角形性质及证明
阿基米德三角形（又称坐标三角形）是由阿基米德在其名著《几何原本》中派生的，它的特征是三边的长度都是正数，可以由三个向量的组合构成，例如从原点出发的三条实轴，阿基米德三角形有很多著名性质，其中最重要的两个是阿基米德定理（Pythagorean Theorem）和三角形和外接圆的关系，它们证明了阿基米德三角形具有非凡的性质。
阿基米德定理（Pythagorean Theorem）指出，在任何一个直角三角形中，斜边的平方总是等于两个直角边的平方之和，简记为a^2+b^2=c^2。
用向量语言表达为，对于向量a，b，c，有‖a‖^2+‖b‖^2=‖c‖^2，由它可以证明，在任何一个阿基米德三角形中，斜边的长度总是大于等于其它两边的两倍之和。
另一个著名的性质就是三角形和它的外接圆的关系，即任何一个阿基米德三角形，可以根据三条边的长度，求得该三角形的外接圆半径，即，外接圆的半径等于三边长度的和除以二，即R=a+b+c/2，即三角形的重心落在外接圆上，这也就叫做三角形的外心，它的位置在外接圆和内心的两个角的交点处。
通过以上介绍，可以看出，阿基米德三角形有着特殊的性质，包括阿基米德定理（Pythagorean Theorem）和三角形和外接圆的关系，它们都是三角几何中最为经典的定理之一。
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
ABI
2S
QST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明哎呀，今天咱们聊聊一个神奇的地方——阿基米德三角形。
你可能听说过这个名字，但是你知道它有什么用处吗？别急，听我慢慢道来。
我们得知道什么是阿基米德三角形。
它是一个古老的几何图形，由三个等边三角形组成。
这三个三角形的面积之和等于一个大三角形的面积。
这个大三角形的名字叫做“阿基米德三角形”，就是因为古希腊数学家阿基米德发现了它的规律而得名的。
那么，阿基米德三角形有什么用处呢？其实它的用处可大了去了。
比如说，我们可以用它来解决一些实际问题。
比如说，你知道怎么计算一个圆的面积吗？不要着急，让我给你讲讲阿基米德三角形的妙用。
我们知道，圆的面积公式是A = πr2,其中A是面积，r是半径。
但是，我们有没有想过，如果我们把一个圆切成很多小块，然后把这些小块拼成一个大三角形，这个大三角形的面积是不是也等于圆的面积呢？没错，你说对了！这就是阿基米德三角形的妙用之一。
我们可以把圆切成很多个小扇形，然后把这些小扇形拼成一个大三角形。
这个大三角形的面积就等于圆的面积。
而这个过程其实就是一个不断逼近的过程，我们可以通过不断地分割和拼接，最终得到一个精确的大三角形。
当然啦，这个过程可能会有点复杂，但是只要你掌握了阿基米德三角形的规律，就轻轻松松地搞定了。
所以啊，阿基米德三角形真的是个神奇的存在。
除了计算圆的面积之外，阿基米德三角形还有很多其他的用处。
比如说，我们可以用它来解决一些比例问题。
你知道怎么求两个数的比例吗？不要着急，让我给你讲讲阿基米德三角形的另一个妙用。
我们知道，求两个数的比例的方法有很多种。
比如说，我们可以用除法来求解：a/b = c/d。
但是，这种方法有时候会比较麻烦。
那么，有没有一种更简单、更直接的方法呢？答案是有的！我们可以用阿基米德三角形来求解两个数的比例。
具体方法是这样的：我们先画一个等边三角形ABC,然后把这个三角形分成两个等腰直角三角形ABD和BCD。
这样一来，我们就可以得到AB=AC=BC,而且AD=BD=DC。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊阿基米德三角形，听起来是不是有点学术？别担心，我们不会在这里搞得太复杂，咱们轻松聊聊这位古代科学家的聪明才智和他的三角形。
你要知道，阿基米德可是一位传奇人物，他的名字响亮得像是好莱坞明星一样！而他在几何学上搞出来的那些结论，更是让人拍手叫好。
你知道吗，他的三角形理论不仅仅是数学家们的“玩物”，还在我们的日常生活中有不少应用呢！今天就带你一探究竟。
2. 阿基米德三角形的基本概念2.1 什么是阿基米德三角形？首先，咱们得搞明白，什么叫阿基米德三角形。
简单来说，这种三角形的特别之处在于它的边长和角度之间有一些有趣的关系。
比如，三角形的边长是按照一定比例分配的，形成了让人意想不到的美感和和谐感。
就像做菜的时候，盐和糖的比例不对，味道就差得远了。
所以说，阿基米德三角形就像是数学中的“调味品”，它让整个几何学的味道更丰富。
2.2 阿基米德的名言阿基米德有句话说得好：“给我一个支点，我可以撬动整个地球。
”这句话不仅反映了他对物理学的理解，也可以用来形容他的三角形理论。
只要我们掌握了这些基本的关系，就能够在几何的世界里“撬动”更多的结论。
让我们一起来看看他都给我们留下了哪些“支点”吧！3. 常用结论3.1 边长比例的结论首先，阿基米德三角形的一个重要结论是关于边长的比例关系。
如果你有一个三角形，它的边长分别是a、b、c，阿基米德告诉我们，它们之间的关系是很特别的。
例如，假如a:b:c = 1:2:3，那么这个三角形就能形成一个和谐的图形。
就像是一个完美的乐队，所有乐器齐心协力地演奏出动听的旋律。
3.2 面积的秘密接下来，我们要揭开面积的秘密。
阿基米德还发现，三角形的面积和它的边长也有直接的关系。
他曾经通过简单的公式告诉我们，面积的计算方式其实很简单。
只要掌握了基本的边长，就能快速算出面积，简直是小菜一碟！就像你做一碗方便面的过程，准备好材料，简单煮一煮，美味立马到手。
阿基米德三角形9个结论
阿基米德三角形9个结论嘿，大家好！今天我们来聊聊一个有趣的数学话题，那就是阿基米德三角形。
别急，听上去可能有点高深，但其实它跟我们的日常生活还真有点儿关系。
阿基米德，那个古老的数学家，不仅会拉水，还会玩三角形！他总结出了关于三角形的九个结论，这可不是随便说说的哦，背后可是有大智慧呢。
1. 三角形的基本特性好吧，我们先从三角形的基本特性说起。
说到三角形，首先想到的就是它的三个边和三个角。
说白了，三角形就是由三条线段围成的一个小空间。
大家可能听说过，三角形的内角和是180度，这可真是个金科玉律。
你要是学数学的话，绝对能在考试中遇到！而且，三角形的边越长，所对应的角也越大，这跟咱们生活中的道理很像——力量和能量总是相辅相成的，对吧？1.1. 直角三角形的神奇接着咱们来说说直角三角形，这可是个特别的家伙。
只要一个角是90度，其他两个角自然就成了锐角。
阿基米德说，直角三角形的面积计算起来可简单得很，只要把两条直角边相乘，再除以二，简直就是个数学小白都能搞定的公式！这就像你去做菜，只要把材料混在一起，结果就能香喷喷地出锅。
1.2. 相似三角形的奥秘再来聊聊相似三角形，哇，这可是个神奇的现象！如果两个三角形的角相等，那它们的形状就完全一样，但大小可以不同，就像兄弟姐妹，一个高一个矮。
这个性质在建筑设计、艺术创作中可都用得上，甚至在生活中选衣服的时候，你总是会挑选合适的款式对吧？这就是相似的魅力！2. 三角形的面积与周长好的，接下来我们再深入一点，聊聊三角形的面积和周长。
大家都知道，周长就是把三条边加起来，而面积则有几种不同的计算方法。
比如，对于一般的三角形，可以用赫龙公式，这个名字听起来很高大上，但其实就是把三边加起来除以2，得到半周长，然后再进行一系列计算，最后得出结果。
听起来复杂，但只要动动脑筋就能搞定。
2.1. 运动中的三角形有趣的是，三角形在运动中也有它的身影。
想象一下，在跑步比赛中，运动员的起跑线和终点线形成了一个三角形，这个三角形的高和底边就决定了运动员的速度和跑道的设计。
阿基米德三角形是直角三角形证明
阿基米德三角形是直角三角形证明阿基米德三角形的定义：角A、B、C构成的正三角形，且∠C为直角。
阿基米德三角形是以古希腊数学家阿基米德命名的。
他注意到三条直线形成一个直角三角形，并发现了可以证明它的定理。
它成为在很多解决三角形的问题时的基础和有用的工具。
一、什么是阿基米德三角形？阿基米德三角形，也称为直角三角形，是一种三个角都直的三角形，每条边的长度分别是 a，b，c。
它可以由两条垂直的直线相交而成，相交点位于顶点。
二、阿基米德三角形的特点1. 顶点：阿基米德三角形有三个顶点：A、B、C，它们位于三条边的交点。
2. 边：阿基米德三角形有三条边：一条以A为一端，以B为另一端组成的边被称为AB，另一条以B为一端，以C为另一端组成的边被称为BC，最后一条以C为一端，以A为另一端的边被称为CA。
3. 角：阿基米德三角形有三个角，分别位于A、B、C。
每个角均有90度（π/2 弧度），它们分别称为 A、B、C的顶角。
三、阿基米德三角形的证明1. 勾股定理：首先，针对阿基米德三角形，阿基米德发现了勾股定理。
这一定理被称为a2 + b2 = c2，它表明在一个直角三角形中，勾股定理可以被用来计算直角三角形的两个邻边的平方和与对角线的平方之和相等。
2. 反証法：其次，反証法也可以被用来证明阿基米德三角形。
反証法也被称为反证法，它可以用来证明该定理是正确的，而不是错误的。
反証法需要考虑若干假设，如果当它们都不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
反証法需要提出一个相反假设，如果该相反假设不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
3. 角度之和：另外，通过使用角度之和法，还可以证明阿基米德三角形。
角度之和定理认为三角形的三个角的和应该等于180度（π弧度）。
在阿基米德三角形中，由于有三个直角，每个直角的角度都可以用90度（π/2 弧度）来表示，这样三个角的和就可以等于180度（π 弧度），这可以作为阿基米德三角形的证明。
阿基米德三角形几何证明
阿基米德三角形几何证明
阿基米德三角形几何证明是指利用阿基米德三角形的性质和定理来证明一些几何命题或求解几何问题。
在几何学中，阿基米德三角形是一种特殊三角形，它的三边与原三角形三边所在直线分别相切于三个半圆。
利用阿基米德三角形的性质和定理，可以证明一些重要的几何命题，例如海伦公式。
以下是阿基米德三角形几何证明：
1.利用阿基米德三角形证明海伦公式：假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，则三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2。
证明
过程可以通过构造三个阿基米德三角形，并利用它们的面积和性质来完成。
2.利用阿基米德三角形求三角形的面积：已知三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，可以构造三个阿基米德三角形，并利用它们的面积和性质来求解三
角形的面积。
3.利用阿基米德三角形证明余弦定理：假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，角C的余弦值为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
证明过程可以通过
构造三个阿基米德三角形，并利用它们的性质来完成。
总的来说，阿基米德三角形几何证明是一种重要的几何证明方法，它可以用于证明一些重要的几何定理和求解几何问题。
通过利用阿基米德三角形的性质和定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的几何问题。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明阿基米德那家伙，真是个大能人！他发明的阿基米德三角形，简直是数学界的“宝藏”，每次遇到它，都让人眼前一亮。
想象一下，一个三角形，三条边围成一个等腰直角，这不就是传说中的“黄金分割”吗？哈哈，是不是觉得特别亲切？就像我们小时候玩的跷跷板，两边翘得高高的，中间那条线，就是数学中的黄金比例。
说到阿基米德三角形，那可不仅仅是个几何问题，它还能帮我们解决实际生活中的问题呢！比如说，你知道为什么那些建筑总是那么稳固吗？那是因为建筑师们知道，只要设计好阿基米德三角形，就能让建筑稳稳当当。
再比如，我们在选鞋子时，总喜欢挑那种带“黄金比例”设计的，因为穿上去既舒服又好看。
不过，别以为阿基米德三角形只有这些用处哦。
它还是个“情感专家”，能帮助我们更好地理解爱情。
你知道吗，当两个人在公园里手牵手散步时，他们之间的距离就像是阿基米德三角形一样，既不会太远也不会太近，刚刚好。
这种距离感，就像是爱情中的默契和平衡，让人感到温暖和幸福。
阿基米德三角形还是个“时间管理大师”。
想想看，如果我们把一天的时间比作一个三角形，那么工作、休息、娱乐这三部分的比例，就应该像阿基米德三角形一样均衡。
这样，我们才能既高效地完成工作，又能享受生活的乐趣。
阿基米德三角形还有很多其他用途。
它可以帮助我们设计出更美观的艺术作品，让我们的生活更加丰富多彩；它还能帮助我们解决各种实际问题，让我们的生活变得更加便捷和舒适。
阿基米德三角形就像是一把神奇的钥匙，能够打开无数个隐藏在我们生活中的宝藏。
所以嘛，下次当你看到那个经典的“黄金分割”图案时，不妨多留意一下它背后的意义。
或许你会发现，原来阿基米德三角形不仅是一种数学上的奇迹，更是一个充满智慧和魅力的世界。
让我们一起来探索这个充满无限可能的数学世界吧！。
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.
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
.
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
.
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又S
QAB
1 4 (1 2
x02 ) 4
4 x02 2
S
于是
QAB
4
(x02 4)[x02 (t 1)2 ]
S PDE 1 t
(x02 4t)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
C N D
.
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。 引理3：P为线段QM的中点。
C M1
N D
.
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p(x x1) ，过 B 的切线方程为 y2 y p(x x2 ) ，联立方程组得
ABI
2S
QST ．
.
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
对任意 x0 (2, 2) ，要使△ QAB 与△ PDE 的
面积之比是常数，只需
t
满足
4 (t 1)2 8t
4(t
1) 2
16t 2
，
解得 t=-1，此时△ QAB 与△ PDE 的面积之比为 2，故
存在 t=-1，使△ QAB 与△ P.DE 的面积之比是常数 2。
阿基米德三角形的性质
是 y t 1 x t ，直线 PB 的方程是 y 1 t x t ，曲线 C 在
2
2
点 Q 处的切线 l 的方程为 y x0 x x02 , 它与 y 轴的交点为 24
F (0,
x02 ) ，由于 2 4
x0
2.，因此 1
x0 2
1
解题方法研究
①当 1 t 0 时，
1
t
1 2
,
y
y
1t 2 x0 x 2
xt x02
4
，
解得
D，E
的横坐标分别是
xD
x02 4t 2(x0 1 t)
, xE
x02 4t 2(x0 t 1)
则
xE
xD
(1 t)
x02 4t x02 (t 1)2
，又 |
.
FP
|
x02 4
t
，
解题方法研究
有S
PDE
1| 2
FP | |
xE
xD
x0
，
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，y1 y2
2 px
代
入得 y0 y p(x x0 ) ，即为 Q 点的轨迹方程.
.
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
2p
2
∴ y1 y2 2 px
l
由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y
(2,
2)
，使得
x0 2
t 1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
②当 t 1时， t 1 1 x0 ,1 t 1 x0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定
2
22
2
相交，分别联立方程组
y y
t 1 2 x0 x 2
x
t
x02 4
曲线 C 在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t） （t＜0），使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E， 且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值． 若不存在，说明理由．
.
解题方法研究
解：（1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
MB (2 x,1 y)
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行． 证明：由性质 1 知
Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线
所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ，
则S
ABI
S
QAB
S
QST
33 2 S1 2 S2
3
333
=
S 2
S
QST
2 S1
2 S2 =
(S 2
S1 S2 ) S
QST
=3S 2
ABI
S
QST ，∴ S