阿基米德三角形

y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
x0
，
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，y1 y2
2 px
代
入得 y0 y p(x x0 ) ，即为 Q 点的轨迹方程.
.
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
,
y
y
1t 2 x0 x 2
xt x02
4
，
解得
D，E
的横坐标分别是
xD
x02 4t 2(x0 1 t)
, xE
x02 4t 2(x0 t 1)
则
xE
xD
(1 t)
x02 4t x02 (t 1)2
，又 |
.
FP
|
x02 4
t
，
解题方法研究
有S
PDE
1| 2
FP | |
xE
xD
曲线 C 在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t） （t＜0），使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E， 且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值． 若不存在，说明理由．
.
解题方法研究
解：（1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
MB (2 x,1 y)
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
2p
2
∴ y1 y2 2 px
l
由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y1 y0
y12 2p
阿基米德三角形及其性质
.
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
.
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
C N D
.
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。 引理3：P为线段QM的中点。
C M1
N D
.
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p(x x1) ，过 B 的切线方程为 y2 y p(x x2 ) ，联立方程组得
等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线
所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ，
则S
ABI
S
QAB
S
QST
33 2 S1 2 S2
3
333
=
S 2
S
QST
2 S1
2 S2 =
(S 2
S1 S2 ) S
QST
=3S 2
ABI
S
QST ，∴ S
ABI
2S
QST ．
.
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又S
QAB
1 4 (1 2
x02 ) 4
4 x02 2
S
于是
QAB
4
(x02 4)[x02 (t 1)2 ]
S PDE 1 t
(x02 4t)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
.
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
1 2
，存在
x0
(2,
2)
，使得
x0 2
t 1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
②当 t 1时， t 1 1 x0 ,1 t 1 x0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定
2
22
2
相交，分别联立方程组
y y
t 1 2 x0 x 2
x
t
x02 4
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行． 证明：由性质 1 知
Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
对任意 x0 (2, 2) ，要使△ QAB 与△ PDE 的
面积之比是常数，只需
t
满足
4 (t 1)2 8t
4(t
1) 2
16t 2
，
解得 t=-1，此时△ QAB 与△ PDE 的面积之比为 2，故
存在 t=-1，使△ QAB 与△ P.DE 的面积之比是常数 2。
阿基米德三角形的性质
是 y t 1 x t ，直线 PB 的方程是 y 1 t x t ，曲线 C 在
2
2百度文库
点 Q 处的切线 l 的方程为 y x0 x x02 , 它与 y 轴的交点为 24
F (0,
x02 ) ，由于 2 4
x0
2.，因此 1
x0 2
1
解题方法研究
①当 1 t 0 时，
1
t
1 2