第1讲绝对值不等式 (1)

合集下载

高中数学必修一高中数学第章(第课时)含有绝对值的不等式(一)公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1．理解含有绝对值的不等式的性质；2．培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；4．认识不等式证法的多样性、灵活性教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题我们知道，当a ＞0时，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ,|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质二、讲解新课：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a =a +b -b |-b |=|b |由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ②综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-三、讲解范例：例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||a d d c cb b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ad a c c b b a ∴,||2||2||||2||||ca cb b ac b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||ac ad d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a ac c a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++ac c a a c c a ad d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法例3 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abb a ++＜1 证明：|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a 由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立，所以 |1|abb a ++＜1 说明：此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性例4 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2∴|a +b |+|a -b |<2例5 已知21)(x x f += 当a ≠b 时求证：|||)()(|b a b f a f -<- 证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-= |||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤ 证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，f OB =||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-四、课堂练习：已知：|x －1|≤1,求证：（1）|2x ＋3|≤7; (2)|x 2－1|≤3证明：（1）∵|2x ＋3|=|2(x －1)＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7(2)|x 2－1|=|(x ＋1)(x －1)|=|(x －1)[(x －1)＋2]|≤|x －1||(x －1)＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=3五、小结：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性六、课后作业： 1:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε;(3)已知|h |<c ε, c <|x | (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n |=|a |n ,|b a |=ba 等证明:(1)证法1:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b |证法2:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立故(|a |+|b |)2≥|a +b |2又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0，所以|a |+|b |≥|a +b |, 即|a +b |≤|a |+|b |(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)，∴0≤|hk |＝|h |·|k |<ε·ε=ε(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε,∴c h x 11<⋅·c ε,即|xh |<ε 2:|x +x1|≥2(x ≠0) 分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1| 证法一:∵x 与x 1同号,∴|x +x1|=|x |+x 1∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,即|x +x 1|≥2 证法二:当x >0时,x +x1≥2x x 1⋅=2 当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-xx x x x ∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2 即|x +x1|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x +x 1|≤|x |+x 1,又|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,所以|x +x 1|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证: (1)|(A +B )-(a +b )|<ε；(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会证明:因为|A -a |<2ε,|B -b 2所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

1 第1讲绝对值不等式

知识点考纲下载绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |. (2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c . 不等式的证明会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)．了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 柯西不等式与排序不等式了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.(3)（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. (此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：会用向量递归方法讨论排序不等式.1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7. 解：因为|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）＋（x ＋3），x ≥2，－（x －2）＋（x ＋3），－3≤x <2，－（x －2）－（x ＋3），x <－3. 所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＋1>7或⎩⎨⎧－3≤x <2，5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2x －1>7. 解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <－4或x >3}．求函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值．解：因为y ＝|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，所以函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2019·湖北省五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．(2019·福建市第一学期高三期末考试)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0，3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[基础题组练]1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1. 2．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5. 当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．(2019·湖北荆州一模)已知函数f (x )＝|x －a |，不等式f (x )≤3的解集为[－6，0]． (1)求实数a 的值；(2)若f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，因为a －3≤x ≤a ＋3，又f (x )≤3的解集为[－6，0]，所以a ＝－3.(2)因为f (x )＋f (x ＋5)＝|x ＋3|＋|x ＋8|≥|x ＋3－(x ＋8)|＝5，又f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立，所以2m ≤5，即m ≤52.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时， f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.[综合题组练]1．(2019·湖南岳阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋2|－|2x －2|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若方程f （x ）2＋a ＝x 有三个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4≤3或⎩⎨⎧－1≤x ≤1，4x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，4≤3，解得x ≤34，所以不等式f (x )≤3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，34.(2)方程f （x ）2＋a ＝x 可变形为a ＝x ＋|x －1|－|x ＋1|，令h (x )＝x ＋|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1，作出函数h (x )的图象如图，于是由题意可得－1<a <1. 2．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1.则f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立⇔a ＋1>f (x )min ，由(1)知，当x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝52，则a ＋1>52，解得a >32，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 3．(2019·太原市模拟试题(一))已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|. (1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34，2，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤43；当12<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以12<x <1；当x ≤12时，f (x )＝2－3x ≤2，所以0≤x ≤12，综上可得原不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立，当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x ＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1，所以|x ＋m |≤2，即－2≤x ＋m ≤2，则－2－x ≤m ≤2－x ，且(－2－x )max ＝－114，(2－x )min ＝0，因此m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－114，0. 4．(综合型)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4. 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103.。

(复习指导)选修4—5 第1课时绝对值不等式含解析

选修4—5不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤,当且仅当时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔;②|ax+b|≥c⇔.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.3.基本不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:若a,b为正数,则a+b2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:若a,b,c为正数,则a+b+c3≥√abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:若a1,a2,…,a n为n个正数,则a1+a2+…+a nn ≥√a1a2…a nn,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;+|y-a|恒成立,求a的取值范围.(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+54解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a|(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)≤g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1x |=|x|+|1x |≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1x|>|a-2|+1恒成立,则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时绝对值不等式关键能力·学案突破例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。

高中数学课件第一节绝对值不等式

数学
首页
上一页
下一页
末页
第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集，则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立，即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此，由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－时，原不等式转化为－ 2

绝对值不等式(1)

10、已知函数f(x)=x2-x+c，
且 |a-b|＜1
求证： f a f b ＜2(|b|+1)
b
|+|
b c
c
|+| d
d |+| a
ห้องสมุดไป่ตู้
|≥ 4
2、已知|a|＜1，|b|＜1，
求证：
ab 1 ab
＜1
3、已知 f x 1 x2
求证： f a f b ≤ a b
4、函数y=|x-4|+|x+3|的最小值 7
5、函数y=|x-4|-|x+3|的最大值 7
悬在空中的金砂地。随着全部的摇钱树进入金砂地，悬在考场上空闪着金光的淡青色布帘形天光计量仪，立刻射出串串深白色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的火橙色巨大数据，只见与摇钱树有关的数据全都优良，总分是９０．４７分！第三个上场的是副考官女总裁腾霓玛娅婆婆，“她站起身：“小公民，本代表让你们理解享受一下！
一、绝对值不等式的性质
定理： |a|- |b|≤|a+b|≤|a|+|b|
推论 |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|
定理： |a|- |b|≤|a-b|≤|a|+|b|
注意
1、结构特征 2、两边“=”取到条件 3、应用
二、应用举例
1、设a、b、c、d都是不等于0的实数，
求证：｜ a
什么是高层次，什么叫民主，哈罗……”这时，女总；手游公益服；裁腾霓玛娅婆婆悠然把奇特的眉毛旋了旋，只见五道飘浮的很像插座般的冰霞，突然从摇晃的青兰花色水牛形态的胸部中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的玛瑙桃跳暗摇味在疯狂的空气中飘舞……接着破旧的钢灰色路灯造型的美辫有些收缩转化起来……水绿色白菜似的脖子露出深黄色的点点余气……极似气桶造型的肩膀露出暗灰色的飘飘余冷！紧接着像墨绿色的多趾奇峰蝎一样乱乐了一声，突然忽悠了一个滚地抖动的特技神功，身上立刻生出了五只极似匕首造型的白象牙色怪毛……最后耍起极似弯刀造型的脚一耍，萧洒地从里面喷出一道奇影，她抓住奇影残暴地一抖，一样光闪闪、金灿灿的法宝『褐鸟浪精樱桃袋』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“呱呜”的异响。忽然间女总裁腾霓玛娅婆婆旋风般地让自己淡紫色叉子造型的手指摇曳出亮黄色的车厢声，只见她细长的肩膀中，突然弹出五团翅膀状的手杖，随着女总裁腾霓玛娅婆婆的颤动，翅膀状的手杖像茅草一样在双腿上恬淡地编排出隐隐光烟……紧接着女总裁腾霓玛娅婆婆又连续使出二百七十四家双龙秤砣哭，只见她古古怪怪的暗橙色球拍模样的戒指中，猛然抖出四组抖舞着『金雪扇精球杆耳』的担架状的眼睛，随着女总裁腾霓玛娅婆婆的抖动，担架状的眼睛像树藤一样，朝着醉猫地光玉上面悬浮着的五根狗尾草飞掏过去！紧跟着女总裁腾霓玛娅婆婆也疯耍着法宝像天鹅般的怪影一样朝醉猫地光玉上面悬浮着的五根狗尾草飞跳过去。只见一簇蓝光闪过……巨蛋瞬间化作一组相当病态的浅绿色琼脂流，像拖着一串银光尾巴的玉柱一样直入碧天，而女总裁腾霓玛娅婆婆也顺势追了上去！就见在朗朗湛湛的丽日蓝天之上，拖着一串银光尾巴的玉柱在空中画了一条灿烂的曲线……忽然！玉柱像烟花一样炸开！顿时，密密麻麻的烟云状物质像雪崩一样从天穹之上倾泻下来……这时已经冲到玉柱之上的女总裁腾霓玛娅婆婆立刻舞动着『褐鸟浪精樱桃袋』像耍猎犬一样，把烟云状物质状玩的如漏斗般摇晃……很快，空中就出现了一个很像七臂扫帚模样的，正在欢快猛舞的巨大怪物…………随

第一讲不等式和绝对值不等式综合

1 已知：求函数y=x y=x（ 3x） 1. 已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成，分析一、原函数式可化为：分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，定值利用二次函数求某一区间的最值
分析二、分析二、挖掘隐含条件
3x＞ ∵3x+1-3x=1为定值， ∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0；为定值 3 1 3x＞可用均值不等式法 ∵0＜x＜，∴1-3x＞0 ∵0＜ 3 1 3x +1− 3x 2 1 1• ∴y=x（ 3x） 3x（ 3x） ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( )= 3 12
a,b, x, y ∈ R
+
x + y 的最小值 a b ay xb x 解： + y = ( x + y ) ⋅ 1 = ( x + y )( + ) = a + b + +
x y x y
a b ， + =1 且 x y
ay xb ≥ a+b+2 ⋅ = ( a + b)2 x y
ay xb = 当且仅当 x y
当且仅当a = b = c时,等号成立.
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念：关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
3
2
3x=1当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y

高二上学期数学教学课件ppt--第一节 (新)绝对值不等式

主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
例1；解不等式1 3x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不等式组 3x 4 1 3x 4 6
即3x643x
1或3x 46
4
1
x
1或x 10 x 3
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故
原不
解：
(Ⅰ) 或
(Ⅱ)
5x-6<6-x
-（5x-6）<6-x
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论，
当6进-x≦一0时步,反显然思无:不解等；式组当6中-x6>-0x时>0,转是化否为可-(以6-x去)<掉5x-6<(6-x)
解：由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x有>0更一般的结论：X<6
|f(x|)f|(>xg-)(|(6<x-g)x()x<5) x-6f(<x(6)->-gxg()x(x)<) f或(xf)5(-<x(x6g-)-6<(xx<-)g(<)65(-xxx)-)6
0<x<2
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法

不等式第一讲--绝对值不等式

第一讲含绝对值的不等式一、知识梳理知识点一：绝对值的几何意义1、绝对值的意义⑴意义：在数轴上a表示a对应的点到原点的距离，a b-表示a与b之间的距离.代数表达式为：(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩它的一个重要性质是：a b a b a b-≤±≤+⑵(0)x a a<>：(0)x a a>>：2、基本绝对值不等式的解法(0)x a a<>的解集为：{}x a x a-<<x a>的解集为：{|x x a<-或}x a>巧记方法为“小于找中间，大于找两边”知识点二、绝对值不等式的基本解法类型一：ax>()0>a；ax<()0>a；cbax>+()0>c；cbax<+()0>c；()0,><+<dcdbaxc例1、⑴258x-≤⑵237x->⑶325x<-+⑷652x+≤例2、⑴329x≤-<⑵2227x≤--<类型二：含有多个绝对值的不等式（平方法、零点分段法、几何意义法）例3、142x--<例4、⑴12+>-xx⑵xx≥+2例5、⑴2133x x-++<⑵125x x-++<类型三：()()x gxf>和()()x gxf<型不等式例6、（1）143-<-xx；（2）3215+>-xx；类型四：含有参数的不等式例7、()Raax∈<-+132例8、已知关于x的不等式2(3)2ax a x+>--；若a R∈，求不等式的解集A；设不等式212x +<的解集为B ，使得A B ⋂ 1|12x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值课后练习1、不等式32-5>x 的解集是（）。

A ．{}|4x x >B . {|1x x <或}4x >C . {}|14x x <<D . {|1x x <-或}4x >2、不等式210x -+<的解集是（）A ．{}|13x x <<B . {|1x x <或}3x >C . RD . ∅3、已知集合{}|13A x x =-<，B ={}|13x x ->，则A B = （）A ．{}|24x x -<<B . {}20x -<<C . {|20x x -<<或24}x <<D . {|0x x <或}4x >4、已知集合{||2|5},{|A x x B x =+>=|3|2}x -<，则A B = （）A ．{|7x x ≤或1}x >B . {|17}x x -≤<C . {}|x x R ∈D . {|7x x ≤-或3}x ≥5、集合{|0|1|3}x N x ∈<-<的真子集个数为（）A ．16B . 15C . 8D . 76、实数,a b 满足0ab >，那么（）A ．||||||a b a b -<+B . ||||a b a b +>-C . ||||a b a b +<-D . ||||||||a b a b -<+7、已知{||1|2},{||M x x N x x =-<=+2|4}≥，则下列结论正确的是（）A ．M N R =B . {|23}M N x x =≤<C . M N R =D . {|6}M N x x =<-。

绝对值不等式课件

时,a,b 同向(相当于 ab≥0),|a+b|=|a|+|b|;a,b 异向(相当于 ab<0)
时,|a+b|<|a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,如三角形的两边之
和大于第三边等.
这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和理解
定理.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”
∴ymax=4,ymin=-4.
4, < -1,
方法二:把此函数看作分段函数.∵y=|x-3|-|x+1|= 2-2,-1 ≤ ≤ 3,
-4, > 3,
∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨论的
方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含
绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但
这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
三、绝对值不等式的其他应用
活动与探究
例 3 已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求
要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的
形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不
一定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的
“尺度”更为准确.
一、利用绝对值三角不等式证明不等式
迁移与应用
已知 f(x)=x2-2x+7,且|x-m|<3,求证:

2020版高考数学不等式选讲第1讲绝对值不等式课件

含绝对值不等式解法的常用方法
1．(2018· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时， 2x＋4，x≤－1， f(x)＝2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.所以 a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤3， 2 解：(1)f(x)＝ 3 －x＋4，x＞， 2 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝或 x＝5. 3 故 f(x) ＞ 1 的解集为 {x|1 ＜ x ＜ 3} ； f(x) ＜－ 1 的解集为
1 xx＜或x＞5. 3
所以|f(x)|＞1
1 的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
3 1 设不等式|x－2|<a(a∈N )的解集为 A，且 ∈A， ∉A. 2 2
*
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

2024_2025高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1

1.2.2 肯定值不等式的解法预习案一、预习目标及范围1．理解肯定值的几何意义，驾驭去肯定值的方法．2．会利用肯定值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用肯定值不等式解决实际问题．二、预习要点教材整理1 肯定值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集1．|ax ＋b |≤c ⇔ . 2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用肯定值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．三、预习检测1.不等式|x ＋1|＞3的解集是( )A ．{x |x ＜－4或x ＞2}B ．{x |－4＜x ＜2}C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D.{x |－4≤x ＜2} 2.不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 3.在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．探究案一、合作探究题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去肯定值符号，转化为不含肯定值符号的不等式．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.题型二、含参数的肯定值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】解f(x)≤3，由集合相等，求a→求y＝f(x)＋f(x＋5)的最小值，确定m的取值范围[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？题型三、含两个肯定值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以探讨去肯定值符号求解，还可以用数轴上肯定值的几何意义来求解；(2)可以分类探讨求解，也可以借助数轴利用肯定值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.二、随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，122．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2) 3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.参考答案预习检测：1.【解析】由|x ＋1|＞3，得x ＋1＞3或x ＋1＜－3，因此x ＜－4或x ＞2. 【答案】 A2.【解析】 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，依据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．【答案】 C3.【解析】不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，由肯定值的几何意义知(如图)，当－32≤x ≤32时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32随堂检测：1.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 B2.【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D 3.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0.∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32且x ≠－2。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。

高中数学第三章不等式3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式(1)aa高二数学

1 | a | | b | 1 | b | 1 | a | | b |
1 | a | 1 | b | 1 | a | | b |
知 | a | + | b | > | a b | .综上①②可知 | a | + | b | > | a b |
1 | a | 1 | b | 1 | a | | b |
2021/12/9
第十七页，共二十七页。
(2)若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1(x∈R)的解集为空集(kōnɡ jí),则实数a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(-1,0)
(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析:(2)由题意得(|x-1|-|x-2|)max<a2+a+1,
第二十二页，共二十七页。
方法技巧 (1)含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用 |a+b|≤|a|+|b|及推广形式(xíngshì)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.
课堂探究 (kètáng)
题型一利用绝对值三角(sānjiǎo)不等式证明不等式
【例 1】 (1)若|a-b|>c,|b-c|<a,求证:c<a;
(2)设ε>0,|x-a|< ,|y-b|< .求证:|2x+3y-2a-3b|<ε.
4
6
解:(1)由|a-b|>c及|b-c|<a得c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-
因为(|x-1|-|x-2|)max=2-1=1,

高考数学一轮总复习不等式选讲1绝对值不等式课件理

(1)求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a－1|的解集非空，求实数 a 的取值范围．解 (1)不等式 f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，
∴① x<－12，－2x－1＋3－2x≤6
或② －12≤x≤32， 2x＋1＋3－2x≤6
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或
x＝3；当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，故 f(x)>1 的解集
为{x|1<x<3}；f(x)<－1 的解集为xx<13
或x>5.所以|f(x)|>1

的解集为xx<13
2．[2017·南宁模拟]若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是_[_－__2_,4_]__．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3， ∴－2≤a≤4.
或③ x>32， 2x＋1＋2x－3≤6，
解①得－1≤x<－12，解②得－12≤x≤32，解③得32<x≤2，
即不等式的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即 f(x)的最小值等于 4， ∴|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
【变式训练 2】 [2017·唐山模拟]设不等式－2<|x－1| －|x＋2|<0 的解集为 M，a，b∈M.

绝对值不等式1

定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.
例1 已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε,求证|2x+3y-2a-3b|<5ε
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10 km和第 20 km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
知识回顾
1、绝对值|a|的定义是什么？它的几何意义又是什么？
2、向量形式的不等式是什么？它的几何意义是什么？
思考将向量的三角不等式中向量用实数替换，结
果一致吗？
绝对值不等式
定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立.
方法一：几何分析方法二：代数推理定理1/ 如果a,b是实数，则有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
Hale Waihona Puke 变题研究函数f(x)=|x+3|+2|x-1|的最值；函数y=|x+3|2|x-1|,你能总结得到什么结论？
课堂总结
思考你是从哪几个方面认识绝对值不等式的？所蕴涵的数学思想是什么？
课后探究已知f(x)=ax2+bx+c对一切x∈[-1,1]都有 |f(x)|≤1.求证：对一切x∈[-1,1]都有|2ax+b|≤4.
布置作业
1、课本P20习题1.2 1~5
2、关于x的不等式|x+2|-|x-2|>a解集为Φ，求a的范围.

第1讲绝对值不等式

解⑴法一令2x +仁0, x — 4 = 0分别得 X =- 2 x = 4.原不等式可化为:I xv — ^,1 —1= xv 4 i2 或 i 2[—x — 5> 2[lx — 3> 2或1x 》4,lx + 5>2. 『 1xv —- I — 2 = x V 4, 即I 2,或4 _ !xv- 7I x>5xv — 7 或 x> |.l x >— l ,•••原不等式的解集为j x ^v — 7或x >3]n—2丿f(x)= |2x+ 1|- |x -4|= lx — 3(— 2= xv4〕' x+ 5 (x>4)1： — X — 5 仪V画出f(x)的图象，如图所示.求得尸2与f(x)图象的交点为(一7, 2), ||, 2)xv — 7或 x> I p由图象知f(x) > 2的解集为Y1⑵由⑴的法二图象知：当x =—2时,9知：f(x)min = —2.(优质试题长沙一模)设a 3 丫均为实数.(1)证明：|cosa+ 9|< |cos a+ |sin 3, |sin(a+ 9|< |cos a+ |cos 3；⑵若 a+3+ 尸 0,证明：|COS a+ |cos 3+ |cos Y 》1. 证明 (1)|cosa+ 3| = |cos acos 3— sin ain 3=第1讲绝对值不等式1.设函数 f(x)= |2x + 1|— x — 4|. (1)解不等式f(x)>2; (2)求函数y = f(x)的最小值.|cos aos 3+ |sin ain 3= |cos a+ |sin g ； |si n(o+ 31 = |sin ocos 3+ cos ain 3= |sin ocos 3 + |cos ain 3= |cos O+ |cos 3.⑵由(1)知，|cos[ a+ (3+ Y]| = |cos O 0+ |sin( 3+ Y| = |cos o| + |cos 3+|cos Y, 而 a+ 3+ 尸 0,故 |cos M+ |cos 3+ |cos Y 》1. 3. (优质试题镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.小值为4.故实数x 的取值范围为[—2, 2].4. (优质试题广州二测)已知函数f(x)= log 2(|x + 1|+x — 2| — a). (1) 当a = 7时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)> 3的解集是R ，求实数a 的最大值.解 ⑴由题设知x +1|+x — 2|>7,①当x >2时，得X +1+ x — 2>7,解得x >4. ②当一1 = x = 2时，得X +1+ 2 — x >7,无解.③当 XV — 1 时，得一x — 1 — x + 2>7,解得 XV — 3. •••函数 f(x)的定义域为(一X,— 3)U (4,+^).(2)不等式 f(x)》3,即|x + 1|+ |x — 2|》a + 8,•••当 x € R 时,⑴求|2a +8++|2a —rn 的最小值;|a|(2)若不等式|2a +b + |2a — b|>|a|(|2 + x|+12— x|)恒成立，求实数x 的取值范围.解(1). • |2a +b |+(2a — b )》|2a + b + 2a — b] = |4a|_4.+ b]+ b]的最ici ici |a|‘|a||a| |a|⑵若不等式 |2a + b| + |2a — b|》|a|(|2 + x| + |2 — x|)恒成立，即 |2 + x| +|2 —|2a +b|+ |2a — bL 一「、 x|= ------ 匕/ ----- 恒成立， l2a + b|+ |2a — bp < |a| 丘门. . _ . |2a +b|+ |2a — b|( /+、r由(1)可知， ----- 匕 ----- 的最小值为 4.|a| 故 |2+x|+ |2-x|=|a| ••• x 的取值范围即为不等式|2+x|+ |2 — x|= 4的解集.恒有|x+ 1|+ |x—2|> |(x+ 1)—(x—2)|= 3,又不等式|x+1|+|x —2|>a+ 8的解集是R, --a+ 8W 3, 即卩aW —5, a的最大值为一5.5.设函数f(x)= 2|x—1|+ x—1, g(x)= 16x2—8x+1.记f(x)< 1 的解集为M ,g(x)<4 的解集为N.⑴求M ;2 2 1⑵当x€ (M n N)时，证明：x2f(x) + x[f(x)]2W4.'3x— 3, x€ [1，+ ^), ⑴解f(x)7-x, xe(—^, 1)当x> 1 时，由f(x) = 3x—3< 1,4 4得xW3，故1WxW 3；当x<1 时，由f(x)= 1 —xw 1 得x>0,故OWx<1.4所以f(x)W 1的解集为M = {X|OWxW3}.2(2)证明由g(x) = 16x —8x+ K4 得16< 4,解得一^WxW3.因此N = 1x|—4W XW31，故Mn N = *x|0W xW 4}当x€ (M n N)时，f(x)= 1 —X,于是X2f(x) + x [f(x)]2 = xf(x)[x + f(x)] = x f(x) = x(1 — x) =1—(x—2『W4.6.(优质试题郑州模拟)已知函数f(x)= |2x—a| + |2x+ 3|, g(x)=X—1|+ 2.(1)解不等式：|g(x)|v 5;(2)若对任意的x i€ R，都有X2€ R，使得f(x i) = g(x2)成立，求实数a的取值范围. 解(1)由Hx—1|+ 2|< 5,得一5< |x—1|+ 2< 5,所以一7v |x—1|v 3, 解不等式得—2< XV 4, 所以原不等式的解集是{x| —2<XV4}. (2)因为对任意的x i€ R，都有X2€ R, 使得f(x i)= g(X2)成立，所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又f(x) = |2x-a|+ |2x+ 3|> |2x-a-(2x + 3)|= |a+3|, g(x) = |x- 1| + 2> 2, 所以|a+ 3|》2,解得a>- 1或a<- 5,所以实数a的取值范围是{a|a>- 1或a<- 5}.。

高中数学复习-绝对值不等式

令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－－22x，－－6，2＜x≤x＜－12，， 2x－4，x≥1.
作出函数的图象，如图所示.
由图象可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
基础诊断
考点突破
课堂总结
规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法,利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(－∞,a],(a,b],(b,＋∞)(此处设a＜b)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法,利用|x －a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2 ＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x －a|＋|x－b|和y2＝c的图象,结合图象求解.
基础诊断
考点突破
课堂总结
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R,则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( ) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
基础诊断
考点突破
课堂总结
－3x－1－a，x<－a2，当 a>2 时，f(x)＝x－1＋a，－a2≤x≤－1，
3x＋1＋a，x>－1，显然 x＝－a2时，f(x)min＝－a2－1＋a＝3，∴a＝8. 答案 D

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第1讲绝对值不等式
1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
(1)解不等式f (x )＞2；
(2)求函数y ＝f (x )的最小值.
解 (1)法一令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.
原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2
或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53
或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3， ∴x ＜－7或x ＞53.
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）
画出f (x )的图象，如图所示.
求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，
知：f (x )min ＝－92.
2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤
|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋
|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋ |cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.
(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4.
(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min
. 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集.
解不等式得－2≤x ≤2.
故实数x 的取值范围为[－2，2].
4.(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ).
(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；
(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值.
解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，
①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4.
②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解.
③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3.
∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
(2)不等式f (x )≥3，
即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8，
∵当x ∈R 时，
恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ，
∴a ＋8≤3，即a ≤－5，
∴a 的最大值为－5.
5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .
(1)求M ；
(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.
(1)解 f (x )＝⎩
⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，
得x ≤43，故1≤x ≤43；
当x <1时，
由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.
所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.
(2)证明由g (x )＝16x 2
－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0≤x ≤34.
当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是
x 2f (x )＋x ·[f (x )]2
＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14. 6.(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y ＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.。