第1讲绝对值不等式 (1)

第1讲 绝对值不等式

1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.

(1)解不等式f (x )＞2；

(2)求函数y ＝f (x )的最小值.

解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.

原不等式可化为：

⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2

或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53

或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3， ∴x ＜－7或x ＞53.

∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）

画出f (x )的图象，如图所示.

求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，

知：f (x )min ＝－92.

2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.

(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；

(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤

|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；

|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋

|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.

(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋ |cos γ|，

而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.

(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值为4.

(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min

. 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集.

解不等式得－2≤x ≤2.

故实数x 的取值范围为[－2，2].

4.(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ).

(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；

(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值.

解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，

①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4.

②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解.

③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3.

∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).

(2)不等式f (x )≥3，

即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8，

∵当x ∈R 时，

恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，

又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ，

∴a ＋8≤3，即a ≤－5，

∴a 的最大值为－5.

5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .

(1)求M ；

(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.

(1)解 f (x )＝⎩

⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1） 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，

得x ≤43，故1≤x ≤43；

当x <1时，

由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.

所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.

(2)证明 由g (x )＝16x 2

－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |0≤x ≤34.

当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是

x 2f (x )＋x ·[f (x )]2

＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14. 6.(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.