大学工科微积分第一章复习

第一章复习

x.1 函数的极限及其连续性

概念：省略

注意事项

1． 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大

量，例如，x x x f y sin )(==是无界变量，但不是无穷大量。因为取

2

2π

π+

==n x x n 时，2

2)(π

π+

=n x f n ，当n 充分大时，)(n x f 可以大于一预先

给定的正数M ；取πn x x n 2==时，0)(=n x f 2． 记住常用的等价形式 当0→x 时，,~arctan ,~tan ,

~arcsin ,

~sin x x x x x x x x

n

x x x x e x x n

x

1~

1)1(,

21

~cos 1,

~1,

~)1ln(12-+--+ 例1 当0→x 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （A ）2

x 。 （2）x cos 1-。 （3）x x tan sin - （4）)1ln(2

x +。

（）

解：因为222

~)1ln(,2

1~

cos 1x x x x +-，所以选择C

练习 x

x

e x x cos ln cos lim 2

0-→

解 )]

1(cos 1ln[cos 11lim

cos ln cos lim

2

200-+-+-=-→→x x

e x x e x x x x 3

1

cos cos 1lim 1cos lim

)]1(cos 1ln[cos 1lim )]1(cos 1ln[1lim 02

0002

-=--+-=-+-+-+-=→→→→x x

x x x x

x e x x x x x

3． 若函数的表达式中包含有b a +

（或b a +），则在运算前通常要在分子分母乘

以其共轭根式b a -（或b a -），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求)1sin(lim 2

π+∞

→n n 。

解 ])1sin[(lim )1sin(lim 2

2πππn n n n n n +-+=+∞

→∞

→

n

n n n n n n n ++-=-+-=∞

→∞

→1sin

)1(lim )1sin()1(lim 2

2π

π

当∞→n 时，)(,01~

1sin

2

2

∞→→++++n n

n n

n π

π

又 1|)1(|=-n

，故0)1sin(lim 2

=+∞→πn n

练习 求])1(2121[lim -+++-+++∞

→n n n

解 原式＝22

)1()1(221lim 2)1(2)1(lim =-++⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+∞

→∞→n n n n n n n n n n n 4． e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim 该极限的特点：

⎩⎨

⎧∞与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中

（型未定式

121)1(

解题方法

（1） 若极限呈∞1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 （2） 凡是∞

1型未定式，其结果：底必定是e ，幂可这样确定： 设0)(lim =x u ，∞=)(lim x v ，则

)()(lim )]()[(lim ))(1ln()(lim ))(1ln()()(lim ))(1lim (x u x v x u x v x u x v x u x v x v e e e e x u ±±±±====±

这是因为 )(~))(1ln(x u x u ±±。

例3 求x

x x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+∞→1sin 1cos lim 。

解 原式＝22

2

2sin 1lim 1sin 1cos lim x

x x

x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→

因为12

2

sin

lim 22sin

lim ==⋅∞→∞

→x

x x

x x x ，所以原极限＝e 。

练习 求x

nx

x x x n e

e e 120lim ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+++→ 。 解 原式＝x

nx

x

x

x n n e e e 120

1lim ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-++++

→ ，

因为21)21(11lim 1lim 1lim 1)

1()1()1(lim 11lim 02002020+=

+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=-++-+-=⋅-+++→→→→→n n n

x e x e x e n x e e e n x n n e e e nx

x x x x x nx x x x nx x x x 5． 几个常用的极限

1)0(lim =>∞

→ααn n

特别地 1lim

=∞

→n

n n

2

arctan lim 2

arctan lim π

π

-

==

-∞

→+∞

→x x x x

π==-∞

→+∞

→x arc x arc x x cot lim 0cot lim ∞==+∞→-∞→x x x x e e lim 0

lim

1lim 0

=+→x x x

x.2 单调有界原理

单调有界数列必有极限

此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列}{n x 单调有

界；（2）设}{n x 的极限存在，记为l x n n =∞

→lim 代入给定的n x 的表达式中，则该式变为l 的代数方程，解之即得该数列的极限。

例4 已知数列}{n a ： ,11,,11,11

11121--++=++

==n n n a a

a a a a a ，求n n a ∞→lim 。

解 用数学归纳法可证得}{n a 单调增加：

2

3

11,11121=++

==a a a a ，显然21a a <。 假设k k a a <-1成立，于是

0)1)(1(111111111<++-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-----+k k k

k k k

k k k k a a a a a a a a a a

即 1+